练习
一元二次方程 $x^{2}-6x - 1 = 0$ 的两个根为 $x_{1}$,$x_{2}$,则 $x_{1}+x_{2}= $,$x_{1}x_{2}= $。

$6$，$-1$（按题目空顺序依次填写答案，本题为填空题，答案以文本形式呈现）

对于一元二次方程 $ax^{2} + bx + c = 0$（$a\neq0$），若方程的两个根为 $x_1$ 和 $x_2$，根据根与系数的关系（韦达定理）可知 $x_{1} + x_{2}=-\frac{b}{a}$，$x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}$。
在方程 $x^{2}-6x - 1 = 0$ 中，$a = 1$，$b = -6$，$c = -1$。
则 $x_{1} + x_{2}=-\frac{-6}{1}=6$，$x_{1}x_{2}=\frac{-1}{1}=-1$。

例 1 已知 $x_{1}$,$x_{2}$ 是一元二次方程 $2x^{2}+3x - 6 = 0$ 的两个根,求下列各式的值。
(1)$x_{1}+x_{2}$；(2)$x_{1}x_{2}$；
(3)$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}$；(4)$\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}$；
(5)$x_{1}^{2}x_{2}+x_{1}x_{2}^{2}$；(6)$(x_{1}-1)(x_{2}-1)$。

答题卡：
(1) 根据一元二次方程的根与系数关系（韦达定理）得：
$x_{1} + x_{2} = -\frac{b}{a} = -\frac{3}{2}$。
(2) 根据一元二次方程的根与系数关系（韦达定理）得：
$x_{1}x_{2} = \frac{c}{a} = -3$。
(3) 由完全平方公式，有：
$x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = (x_{1} + x_{2})^{2} - 2x_{1}x_{2} = \left(-\frac{3}{2}\right)^{2} - 2 × (-3) = \frac{9}{4} + 6 = \frac{33}{4}$。
(4) 通分后，利用根与系数关系得：
$\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} = \frac{x_{1} + x_{2}}{x_{1}x_{2}} = \frac{-\frac{3}{2}}{-3} = \frac{1}{2}$。
(5) 提取公因式后，利用根与系数关系得：
$x_{1}^{2}x_{2} + x_{1}x_{2}^{2} = x_{1}x_{2}(x_{1} + x_{2}) = -3 × \left(-\frac{3}{2}\right) = \frac{9}{2}$。
(6) 展开后，利用根与系数关系得：
$(x_{1} - 1)(x_{2} - 1) = x_{1}x_{2} - (x_{1} + x_{2}) + 1 = -3 - \left(-\frac{3}{2}\right) + 1 = -\frac{1}{2}$。

变式训练
(1)(2024 滨海新区二模)若一元二次方程 $x^{2}+5x - 6 = 0$ 的两个根分别为 $x_{1}$,$x_{2}$,则()
A. $x_{1}x_{2}= -6$
B. $x_{1}x_{2}= 6$
C. $x_{1}+x_{2}= 5$
D. $x_{1}+x_{2}= 7$
(2)已知 $\alpha$,$\beta$ 是关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}-2x - 5 = 0$ 的两个根,则 $\alpha^{2}\beta+\alpha\beta^{2}= $。

(1)A
(2)$-10$

(1)对于一元二次方程 $x^{2}+5x - 6 = 0$，其中 $a = 1$, $b = 5$, $c = -6$。
根据根与系数的关系，有 $x_{1}x_{2} = \frac{c}{a} = -6$，$x_{1}+x_{2} = -\frac{b}{a} = -5$。
对比选项，可知 $x_{1}x_{2} = -6$ 对应选项 A。
(2)已知 $\alpha$ 和 $\beta$ 是方程 $x^{2}-2x - 5 = 0$ 的两个根，根据根与系数的关系，有 $\alpha + \beta = -\frac{b}{a=1} = 2$，$\alpha\beta = \frac{c}{a} = -5$。
要求 $\alpha^{2}\beta + \alpha\beta^{2}$，可以将其改写为 $\alpha\beta(\alpha + \beta)$。
代入 $\alpha + \beta = 2$ 和 $\alpha\beta = -5$，得到 $\alpha^{2}\beta + \alpha\beta^{2} = -5 × 2 = -10$。

例 2 关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}-6x + k = 0$。
(1)如果方程的一个根为 $2$,求 $k$ 的值和方程的另一个根；
(2)如果 $x_{1}$,$x_{2}$ 是这个方程的两个根,且 $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+3x_{1}x_{2}= 25$,求 $k$ 的值。

(1)
设方程的另一根为$x_{0}$，
根据根与系数的关系，对于一元二次方程$ax^{2}+bx+c = 0(a\neq0)$，若方程的两根为$x_{1}$和$x_{2}$，则有$x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}$，$x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}$。
对于方程$x^{2}-6x + k = 0$，其中$a = 1$，$b=-6$，$c = k$。
已知一个根为$2$，由$x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}=6$，可得$2 + x_{0}=6$，解得$x_{0}=4$。
又因为$x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}=k$，所以$2×4 = k$，即$k = 8$。
(2)
因为$x_{1}$，$x_{2}$是方程$x^{2}-6x + k = 0$的两个根，
根据根与系数的关系，$x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}=6$，$x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}=k$。
已知$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+3x_{1}x_{2}=25$，
将$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}$代入上式可得：
$(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}+3x_{1}x_{2}=25$，
即$(x_{1}+x_{2})^{2}+x_{1}x_{2}=25$。
把$x_{1}+x_{2}=6$，$x_{1}x_{2}=k$代入$(x_{1}+x_{2})^{2}+x_{1}x_{2}=25$得：
$6^{2}+k = 25$，
$36 + k = 25$，
解得$k=-11$。
又因为方程$x^{2}-6x + k = 0$有实数根，所以$\Delta=b^{2}-4ac=(-6)^{2}-4k\geqslant0$，
即$36 - 4k\geqslant0$，$4k\leqslant36$，解得$k\leqslant9$。
所以$k=-11$符合题意。
综上，(1)中$k$的值为$8$，方程的另一个根为$4$；(2)中$k$的值为$-11$。

变式训练 (2024 叙永模拟)已知 $m$,$n$ 满足 $m^{2}-m - 2025 = 0$,$n^{2}-n - 2025 = 0$ ($m$,$n$ 是实数,且 $m\neq n$),则 $\frac{1}{m}+\frac{1}{n}= $。

$-\frac{1}{2025}$（填具体数值的简化形式，即$- \frac{1}{2025}$已是最简形式，直接填写该数值）

由题意，$m$ 和 $n$ 是方程 $x^{2} - x - 2025 = 0$ 的两个不相等的实数根。
根据一元二次方程的根与系数的关系，对于方程 $ax^{2} + bx + c = 0$，若 $m$ 和 $n$ 是其两个根，则有：
$m + n = -\frac{b}{a}$，
$mn = \frac{c}{a}$，
将方程 $x^{2} - x - 2025 = 0$ 的系数代入上述公式，得到：
$m + n = 1$，
$mn = -2025$，
接下来，计算 $\frac{1}{m} + \frac{1}{n}$：
$\frac{1}{m} + \frac{1}{n} = \frac{m + n}{mn} = \frac{1}{- 2025} = -\frac{1}{2025}$，

1. (2024 榆中二模)若 $x_{1}$,$x_{2}$ 是方程 $x^{2}-6x + 5 = 0$ 的两个根,则()
A.$x_{1}+x_{2}= -6$
B.$x_{1}+x_{2}= 6$
C.$x_{1}x_{2}= -\frac{5}{6}$
D.$x_{1}x_{2}= -5$

B

对于一元二次方程 $ax^{2} + bx + c = 0$，根与系数的关系为 $x_{1} + x_{2} = -\frac{b}{a}$，$x_{1}x_{2} = \frac{c}{a}$。
方程 $x^{2} - 6x + 5 = 0$ 中，$a = 1$，$b = -6$，$c = 5$。
因此，$x_{1} + x_{2} = -\frac{-6}{1} = 6$，$x_{1}x_{2} = \frac{5}{1} = 5$（但选项中仅涉及和与积的正负及数值，选项B的数值正确且符号正确，而其他选项的数值或符号错误）。

2. 关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}+2x + k + 1 = 0$ 的两根 $x_{1}$,$x_{2}$ 满足 $x_{1}+x_{2}-x_{1}x_{2}\lt -1$,则 $k$ 的取值范围是()
A.$k\gt -2$
B.$k\gt 2$
C.$-2\lt k\leq0$
D.$0\leq k\lt 2$

C

根据一元二次方程的根与系数关系，对于方程 $x^{2} + 2x + k + 1 = 0$，设两根为 $x_1$ 和 $x_2$，则：
$x_1 + x_2 = -b/a = -2, \quad x_1x_2 = c/a = k + 1$，
题目给出不等式 $x_1 + x_2 - x_1x_2 ＜ -1$，代入上述关系得：
$-2 - (k + 1) ＜ -1$，
化简不等式：
$-2 - k - 1 ＜ -1 \implies -k - 3 ＜ -1 \implies -k ＜ 2 \implies k ＞ -2$，
同时，方程有实数根的条件是判别式 $\Delta \geq 0$：
$\Delta = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 × 1 × (k + 1) = 4 - 4(k + 1) = 4 - 4k - 4 = -4k \geq 0$，
解得：
$-4k \geq 0 \implies k \leq 0$，
综合以上两个条件，$k$ 的取值范围为 $-2 ＜ k \leq 0$。