用配方法解一元二次方程的步骤：一移,移项；二化,将二次项系数化为；三配,在方程的两边同时加上,将原方程化为$(x + m)^2 = n$的形式；四开平方,注意$n的取值(n \geq 0)$；五求解,运用直接开平方法求解。

1；一次项系数一半的平方

一移，移项；二化，将二次项系数化为1；三配，在方程的两边同时加上一次项系数一半的平方，将原方程化为$(x + m)^2 = n$的形式；四开平方，注意$n$的取值$(n \geq 0)$；五求解，运用直接开平方法求解。

思考 用配方法将方程化为$(x + m)^2 = n$的形式,从而直接开平方求解方程,体现了怎样的数学思想？达到了怎样的目的？

体现了转化思想，达到了降次目的。

用配方法将方程化为$(x + m)^2 = n$的形式，体现了转化的数学思想，将一元二次方程转化为可以直接开平方的形式，达到了降次的目的，使方程变得简单易解。

练习(1)$x^2 - 8x +$$= (x - 4)^2$；(2)方程$x^2 - 6x = 7$的解为。

(1) $16$
(2) $x_1 = 7,x_2 = -1$

(1) 根据完全平方公式，$(x - 4)^2 = x^2 - 8x + 16$，
所以，$x^2 - 8x + \underline{\hspace{1em}} = (x - 4)^2$的空格中应填写的数为$16$。
(2) 对于方程 $x^2 - 6x = 7$，
配方得：$x^2 - 6x + 9 = 7 + 9$，
即$(x - 3)^2 = 16$，
开方得：$x - 3 = \pm 4$，
解得：$x_1 = 7$，$x_2 = -1$。

例1 用适当的数或式填空：
(1)$x^2 -$$+ 9 = (x - 3)^2$；
(2)$2x^2 - 4x +$$= 2(x -$$)^2$；
(3)若$x^2 + px + 16$是一个完全平方式,则$p$的值为。
名师导引 (1)配方时要注意,当二次项系数为1时,常数项应等于一次项系数一半的平方；当二次项系数不为1时,要先将二次项系数化为1。(2)一个二次三项式为一个完全平方式,它的一次项系数的符号有两种情况。

(1) $6x$
(2) $2$, $1$
(3) $\pm 8$

(1) 根据完全平方公式 $(x - 3)^2 = x^2 - 6x + 9$，对比题中表达式 $x^2 - \underline{\hspace{3em}} + 9$，可知一次项应为 $-6x$，因此填入 $6x$。
(2) 将 $2x^2 - 4x$ 配方：先提取二次项系数 $2$，得 $2(x^2 - 2x)$。对 $x^2 - 2x$ 配方，需加 $1$，故原式为 $2(x^2 - 2x + 1 - 1) + \underline{\hspace{2em}} = 2(x - 1)^2 - 2 + \underline{\hspace{2em}}$。为保持等式成立，需补足常数项 $2$，因此填入 $2$ 和 $1$。
(3) 若 $x^2 + px + 16$ 为完全平方式，则形如 $(x \pm 4)^2 = x^2 \pm 8x + 16$，故 $p = \pm 8$。

变式训练 (1)二次三项式$x^2 - 2x - 3化为a(x + h)^2 + k$的形式是。
(2)用配方法解方程$2x^2 + 3x - 1 = 0$,配方正确的是()
A. $(3x + 1)^2 = 1$
B. $\left(x + \dfrac{3}{4}\right)^2 = \dfrac{17}{16}$
C. $(x + \dfrac{3}{4})^2 = \dfrac{1}{2}$
D. $(x + 3)^2 = \dfrac{1}{3}$

(1)
$x^2 - 2x - 3$
$=x^2 - 2x + 1 - 1 - 3$
$=(x - 1)^2 - 4$
(2)
方程$2x^2 + 3x - 1 = 0$，
二次项系数化为$1$得：$x^{2}+\frac{3}{2}x-\frac{1}{2}=0$，
移项得：$x^{2}+\frac{3}{2}x=\frac{1}{2}$，
配方得：$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{1}{2}+\frac{9}{16}$，
$\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{17}{16}$。
故答案为：(1)$(x - 1)^2 - 4$；(2)B。

例2 解方程：
(1)$x^2 - 4x - 5 = 0$；(2)$2x^2 - 1 = -5x$。
名师导引 用配方法解一元二次方程时,注意先将等式的一边转化为完全平方式,再求解。

(1)
$x^{2}-4x - 5=0$
移项得$x^{2}-4x = 5$
配方，$x^{2}-4x+4=5 + 4$
即$(x - 2)^{2}=9$
开平方得$x - 2=\pm3$
当$x - 2 = 3$时，$x=5$
当$x - 2=-3$时，$x=-1$
所以方程的解为$x_{1}=5$，$x_{2}=-1$
(2)
将方程$2x^{2}-1=-5x$化为一般形式为$2x^{2}+5x - 1=0$
二次项系数化为$1$，$x^{2}+\frac{5}{2}x-\frac{1}{2}=0$
移项得$x^{2}+\frac{5}{2}x=\frac{1}{2}$
配方，$x^{2}+\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=\frac{1}{2}+\frac{25}{16}$
即$(x+\frac{5}{4})^{2}=\frac{33}{16}$
开平方得$x+\frac{5}{4}=\pm\frac{\sqrt{33}}{4}$
当$x+\frac{5}{4}=\frac{\sqrt{33}}{4}$时，$x=\frac{-5 + \sqrt{33}}{4}$
当$x+\frac{5}{4}=-\frac{\sqrt{33}}{4}$时，$x=\frac{-5-\sqrt{33}}{4}$
所以方程的解为$x_{1}=\frac{-5+\sqrt{33}}{4}$，$x_{2}=\frac{-5 - \sqrt{33}}{4}$

变式训练 解方程：
(1)$x^2 - 6x + 1 = 0$；(2)$x^2 + 4\sqrt{2}x - 1 = 0$。

(1)
首先，将常数项移到等号右边：$x^{2}-6x=-1$。
接着，进行配方：在等式两边加上$9$，得到$x^{2}-6x + 9=-1 + 9$。
根据完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，可将上式化为$(x - 3)^{2}=8$。
然后，开平方：$x - 3=\pm\sqrt{8}=\pm2\sqrt{2}$。
最后，求解$x$：$x_1=3 + 2\sqrt{2}$，$x_2=3 - 2\sqrt{2}$。
(2)
首先，将常数项移到等号右边：$x^{2}+4\sqrt{2}x=1$。
接着，进行配方：在等式两边加上$(4\sqrt{2}÷2)^2=(2\sqrt{2})^2 = 8$，得到$x^{2}+4\sqrt{2}x+8=1 + 8$。
根据完全平方公式$(a + b)^2=a^2+2ab+b^2$，可将上式化为$(x + 2\sqrt{2})^{2}=9$。
然后，开平方：$x+2\sqrt{2}=\pm3$。
最后，求解$x$：$x_1=-2\sqrt{2}+3$，$x_2=-2\sqrt{2}-3$。
综上，答案为：(1)$x_1=3 + 2\sqrt{2}$，$x_2=3 - 2\sqrt{2}$；(2)$x_1=-2\sqrt{2}+3$，$x_2=-2\sqrt{2}-3$。

例3 我们知道$x^2 \geq 0$,$(a \pm b)^2 \geq 0$,这一性质在数学中有着广泛的应用,比如,探究多项式$2x^2 + 4x - 5$的最小值时,我们可以这样处理：
原式$= 2(x^2 + 2x) - 5$
$= 2[(x + 1)^2 - 1^2] - 5$
$= 2(x + 1)^2 - 7$
因为$(x + 1)^2 \geq 0$,所以$2(x + 1)^2 - 7 \geq 0 - 7$,即$2(x + 1)^2 - 7 \geq -7$,所以$2x^2 + 4x - 5的最小值是-7$。
请根据上面的探究思路,解答下列问题：
(1)多项式$5(x - 3)^2 + 1$的最小值是；
(2)求多项式$4x^2 - 16x + 3$的最小值。

(1)$1$；(2)$-13$。

(1)
对于多项式$5(x - 3)^2 + 1$，因为$(x - 3)^2\geq0$，所以$5(x - 3)^2\geq0$，则$5(x - 3)^2 + 1\geq1$，所以多项式$5(x - 3)^2 + 1$的最小值是$1$。
(2)
$4x^{2}-16x + 3$
$=4(x^{2}-4x)+3$
$=4[(x - 2)^{2}-4]+3$
$=4(x - 2)^{2}-16 + 3$
$=4(x - 2)^{2}-13$
因为$(x - 2)^{2}\geq0$，所以$4(x - 2)^{2}\geq0$，则$4(x - 2)^{2}-13\geq - 13$，所以多项式$4x^{2}-16x + 3$的最小值是$-13$。