2. 若一元二次方程$(x - 6)^2 = 25$可转化为两个一元一次方程,其中一个一元一次方程是$x - 6 = 5$,则另一个一元一次方程是()
A.$x + 6 = -5$
B.$x + 6 = 5$
C.$x - 6 = 5$
D.$x - 6 = -5$

D

因为$(x - 6)^2 = 25$，根据平方根的定义，$x - 6 = \pm5$，已知一个一元一次方程是$x - 6 = 5$，则另一个是$x - 6 = -5$。

3. 一元二次方程$x^2 - 2 = 0$的两个根为。

$x_1 = \sqrt{2}$，$x_2 = -\sqrt{2}$

$x^2 - 2 = 0$，移项得$x^2 = 2$，开平方得$x = \pm\sqrt{2}$。

4. (常考题)已知一元二次方程$(x - 3)^2 = 1的两个解恰好分别是等腰\triangle ABC$的底边长和腰长,则$\triangle ABC$的周长为。

答题卡作答：
解方程：
$(x - 3)^2 = 1$
$x - 3 = \pm 1$
$x_1 = 4, \quad x_2 = 2$
当等腰$\triangle ABC$的腰长为$2$，底边长为$4$时：
由于$2 + 2 = 4$，不满足三角形的三边关系（任意两边之和大于第三边），所以不能构成三角形。
当等腰$\triangle ABC$的腰长为$4$，底边长为$2$时：
由于$4 + 4 ＞ 2$，$4 + 2 ＞ 4$，$4 - 2 ＜ 4$，满足三角形的三边关系，所以能构成三角形。
此时，等腰$\triangle ABC$的周长为：
$4 + 4 + 2 = 10$
故答案为：$10$。

5. 解方程：
(1)$2x^2 - 8 = 0$；(2)$(x + 3)^2 = 5$；
(3)$(2x - 1)^2 = 0$；(4)$(2y - 5)^2 = 4(3y - 1)^2$。

(1) $2x^2 - 8 = 0$
$2x^2 = 8$
$x^2 = 4$
$x = \pm 2$
$\therefore x_1 = 2$, $x_2 = -2$
(2) $(x + 3)^2 = 5$
$x + 3 = \pm \sqrt{5}$
$x = -3 \pm \sqrt{5}$
$\therefore x_1 = -3 + \sqrt{5}$, $x_2 = -3 - \sqrt{5}$
(3) $(2x - 1)^2 = 0$
$2x - 1 = 0$
$x = \frac{1}{2}$
$\therefore x_1 = x_2 = \frac{1}{2}$
(4) $(2y - 5)^2 = 4(3y - 1)^2$
$2y - 5 = \pm 2(3y - 1)$
当 $2y - 5 = 2(3y - 1)$ 时：
$2y - 5 = 6y - 2$
$-4y = 3$
$y = -\frac{3}{4}$
当 $2y - 5 = -2(3y - 1)$ 时：
$2y - 5 = -6y + 2$
$8y = 7$
$y = \frac{7}{8}$
$\therefore y_1 = -\frac{3}{4}$, $y_2 = \frac{7}{8}$

6. 对于实数$p$,$q$,我们用符号$\min\{p, q\}表示p$,$q$两个数中较小的数,如$\min\{1, 2\} = 1$,若$\min\{(x - 1)^2, x^2\} = 1$,求$x$的值。

$x=2$或$x=-1$

情况一：$(x-1)^2 \leq x^2$时，$\min\{(x-1)^2, x^2\}=(x-1)^2=1$
1. 解不等式$(x-1)^2 \leq x^2$：
$x^2 - 2x + 1 \leq x^2 \implies -2x + 1 \leq 0 \implies x \geq \frac{1}{2}$。
2. 解方程$(x-1)^2=1$：
$x-1 = \pm1 \implies x=2$或$x=0$。
3. 检验：$x=2$满足$x \geq \frac{1}{2}$；$x=0$不满足$x \geq \frac{1}{2}$（舍去）。
情况二：$x^2 ＜ (x-1)^2$时，$\min\{(x-1)^2, x^2\}=x^2=1$
1. 解不等式$x^2 ＜ (x-1)^2$：
$x^2 ＜ x^2 - 2x + 1 \implies 0 ＜ -2x + 1 \implies x ＜ \frac{1}{2}$。
2. 解方程$x^2=1$：
$x=\pm1$。
3. 检验：$x=-1$满足$x ＜ \frac{1}{2}$；$x=1$不满足$x ＜ \frac{1}{2}$（舍去）。
结论
$x=2$或$x=-1$。

7. (2023 龙口期末)已知一元二次方程$a(x + m)^2 + n = 0(a \neq 0)的两个根分别为-3$,$1$,则方程$a(x + m - 2)^2 + n = 0(a \neq 0)$的两个根分别为()
A.$1$,$5$
B.$-1$,$3$
C.$-3$,$1$
D.$-1$,$5$

B

对于方程$a(x + m)^2 + n = 0$，解得$x = -m \pm \sqrt{-\frac{n}{a}}$，其根为-3和1。方程$a(x + m - 2)^2 + n = 0$可化为$(x + m - 2)^2 = -\frac{n}{a}$，解得$x = 2 - m \pm \sqrt{-\frac{n}{a}}$，即原方程根加2。故新根为$-3 + 2 = -1$，$1 + 2 = 3$。

8. 如图,在长和宽分别是$m$,$n的矩形纸片的四角处各剪去一个边长为x$的小正方形。
(1)用$m$,$n$,$x$表示纸片剩余部分的面积；
(2)当$m = 8$,$n = 6$,且剪去部分的面积等于剩余部分的面积时,求正方形的边长。

(1)矩形面积为$mn$，四个小正方形面积和为$4x^{2}$，所以剩余部分面积$S = mn - 4x^{2}$。
(2)由题意得$4x^{2}=mn - 4x^{2}$，把$m = 8$，$n = 6$代入$4x^{2}=mn - 4x^{2}$得：
$4x^{2}=8×6 - 4x^{2}$，
$8x^{2}=48$，
$x^{2}=6$，
因为$x\gt0$，所以$x=\sqrt{6}$。
综上，答案为（1）$S = mn - 4x^{2}$；（2）$\sqrt{6}$。