例 1 计算：
(1)$(\frac{5}{3y})^2$；
(2)$(\frac{3x^2y}{-5z^3})^3$.

(1)
$(\frac{5}{3y})^2=\frac{5^2}{(3y)^2}=\frac{25}{9y^{2}}$。
(2)
$(\frac{3x^{2}y}{-5z^{3}})^3=\frac{(3x^{2}y)^3}{(-5z^{3})^3}=\frac{3^{3}· (x^{2})^3· y^{3}}{(-5)^3· (z^{3})^3}=\frac{27x^{6}y^{3}}{-125z^{9}}=-\frac{27x^{6}y^{3}}{125z^{9}}$。

例 2 计算：

(1)$(-\frac{b^2}{2a})÷(-\frac{b}{a^2})^3÷(\frac{1}{ab})^3$；
(2)$\frac{m^2 - n^2}{(m - n)^2}·(\frac{n - m}{mn})^2÷\frac{m + n}{m}$.

(1) $\frac{a^8b^2}{2}$；(2) $\frac{m - n}{mn^2}$

(1) $(-\frac{b^2}{2a})÷(-\frac{b}{a^2})^3÷(\frac{1}{ab})^3$
$=(-\frac{b^2}{2a})÷(-\frac{b^3}{a^6})÷(\frac{1}{a^3b^3})$
$=(-\frac{b^2}{2a})×(-\frac{a^6}{b^3})×(a^3b^3)$
$=\frac{b^2·a^6·a^3b^3}{2a·b^3}$
$=\frac{a^{6+3}·b^{2+3}}{2a·b^3}$
$=\frac{a^9b^5}{2ab^3}$
$=\frac{a^8b^2}{2}$
(2) $\frac{m^2 - n^2}{(m - n)^2}·(\frac{n - m}{mn})^2÷\frac{m + n}{m}$
$=\frac{(m - n)(m + n)}{(m - n)^2}·\frac{(m - n)^2}{m^2n^2}·\frac{m}{m + n}$
$=\frac{(m - n)(m + n)·(m - n)^2·m}{(m - n)^2·m^2n^2·(m + n)}$
$=\frac{m - n}{mn^2}$

例 3 计算：$(x + \frac{1}{x})(x^2 + \frac{1}{x^2})(x^4 + \frac{1}{x^4})·(x^8 + \frac{1}{x^8})(x^{16} + \frac{1}{x^{16}})(x^2 - 1)$.

答题卡作答：
当 $x = 1$ 或 $x = -1$ 时，原式 $= 0$。
当 $x \neq 0$ 且 $x \neq \pm 1$ 时：
原式
$= \frac{(x - \frac{1}{x})(x + \frac{1}{x})(x^{2} + \frac{1}{x^{2}})(x^{4} + \frac{1}{x^{4}})(x^{8} + \frac{1}{x^{8}})(x^{16} + \frac{1}{x^{16}})(x^{2} - 1)}{x - \frac{1}{x}}$
$= \frac{(x^{2} - \frac{1}{x^{2}})(x^{2} + \frac{1}{x^{2}})(x^{4} + \frac{1}{x^{4}})(x^{8} + \frac{1}{x^{8}})(x^{16} + \frac{1}{x^{16}})(x^{2} - 1)}{\frac{x^{2} - 1}{x}}$
$= \frac{x^{32} - \frac{1}{x^{32}}}{\frac{x^{2} - 1}{x}} · (x^{2} - 1)$
$= (x^{32} - \frac{1}{x^{32}}) · x$
$= x^{33} - \frac{1}{x^{31}}$
最终结论：
当 $x = \pm 1$ 时，原式 $= 0$；
当 $x \neq 0$ 且 $x \neq \pm 1$ 时，原式 $= x^{33} - \frac{1}{x^{31}}$。

计算：
(1)$\frac{1}{8}a^2b^2÷(-\frac{3a}{4b^2})·(\frac{3b^2}{2a})^2$；
(2)$\frac{a - 1}{a + 2}·\frac{a^2 - 4}{a^2 - 2a + 1}÷\frac{a - 3}{a^2 - 1}$.

(1)
$\;\;\;\;\frac{1}{8}a^2b^2 ÷ (-\frac{3a}{4b^2}) \cdot (\frac{3b^2}{2a})^2$
$=\frac{1}{8}a^2b^2 × (-\frac{4b^2}{3a}) \cdot \frac{9b^4}{4a^2}$
$=-\frac{1}{8} × \frac{4}{3} × \frac{9}{4} × \frac{a^2b^2 \cdot b^2 \cdot b^4}{a \cdot a^2}$
$=-\frac{3}{8} × \frac{b^{2+2+4}}{a^{1+2-2}}$
$ = -\frac{3}{8} × \frac{b^8}{a}$
$ = -\frac{3b^8}{8a}$
(2)
$\;\;\;\;\frac{a - 1}{a + 2} \cdot \frac{a^2 - 4}{a^2 - 2a + 1} ÷ \frac{a - 3}{a^2 - 1}$
$=\frac{a - 1}{a + 2} \cdot \frac{(a + 2)(a - 2)}{(a - 1)^2} ÷ \frac{a - 3}{(a + 1)(a - 1)}$
$=\frac{a - 1}{a + 2} \cdot \frac{(a + 2)(a - 2)}{(a - 1)^2} \cdot \frac{(a + 1)(a - 1)}{a - 3}$
$=\frac{(a - 2)(a + 1)}{a - 3}$
$=\frac{a^2 - a - 2}{a - 3}$