7. 【数学应用】如图,一个工人拿一架$2.5\ m$长的梯子,一头放在离墙$0.7\ m的A$处,另一头靠在墙$B$处。如果梯子的顶部滑下$0.4\ m$,那么梯子的底部向外滑出多远？

解:因为$BC=\sqrt{2.5^{2}-0.7^{2}}=2.4\ (m)$,所以当一直角边的长为$2.4-0.4=2(m)$,斜边的长为2.5 m时,另一直角边的长为$\sqrt{2.5^{2}-2^{2}}=1.5(m)$,故梯子的底部向外滑出$1.5-0.7=0.8(m)$。

解:在直角三角形$ABC$中，$AB = 2.5\ m$，$AC = 0.7\ m$，根据勾股定理可得$BC=\sqrt{AB^{2}-AC^{2}}=\sqrt{2.5^{2}-0.7^{2}} = 2.4\ m$。
梯子顶部滑下$0.4\ m$后，$B'C=BC - 0.4=2.4 - 0.4=2\ m$，此时梯子底部到墙的距离为$A'C=\sqrt{AB^{2}-B'C^{2}}=\sqrt{2.5^{2}-2^{2}} = 1.5\ m$。
则梯子底部向外滑出的距离为$A'C - AC=1.5 - 0.7=0.8\ m$。
答：梯子的底部向外滑出$0.8\ m$。

8. 如图,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle C = 90^{\circ}$,$D为AC$上一点,且$DA = DB = 5$。已知$\triangle DAB的面积为10$,则$DC$的长为。

3

解：在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C=90^{\circ}$，$D$在$AC$上，$DA=DB=5$。
$\triangle DAB$面积为$10$，设$BC=h$，则$S_{\triangle DAB}=\frac{1}{2}× DA× BC=10$，即$\frac{1}{2}×5× h=10$，解得$h=4$，即$BC=4$。
在$Rt\triangle BCD$中，$DB=5$，$BC=4$，由勾股定理得$DC=\sqrt{DB^{2}-BC^{2}}=\sqrt{5^{2}-4^{2}}=\sqrt{25-16}=\sqrt{9}=3$。
答案：$3$

9. 已知直角三角形的三边长分别为$6$,$7$,$x$,则$x^{2}= $。

13或85

当$x$为直角边时，$x^{2}=7^{2}-6^{2}=49 - 36=13$；
当$x$为斜边时，$x^{2}=6^{2}+7^{2}=36 + 49=85$。
13或85

10. 在$Rt\triangle ABC$中,$\angle C = 90^{\circ}$,$AC + BC = 15$,$AB = 11$,求$Rt\triangle ABC$的面积。

解:在$Rt\triangle ABC$中,$\angle C=90^{\circ}$,$AB=11$,所以$AC^{2}+BC^{2}=AB^{2}$,所以$AC^{2}+BC^{2}=121$。又因为$AC+BC=15$,所以$(AC+BC)^{2}=225$,所以$AC^{2}+BC^{2}+2AC\cdot BC=225$,所以$AC\cdot BC=52$,所以$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot BC=\frac{1}{2}×52=26$。

解:在$Rt\triangle ABC$中,$\angle C=90^{\circ}$,$AB=11$,
$\therefore AC^{2}+BC^{2}=AB^{2}=11^{2}=121$。
$\because AC + BC = 15$,
$\therefore (AC + BC)^{2}=15^{2}=225$,
即$AC^{2}+BC^{2}+2AC\cdot BC=225$。
将$AC^{2}+BC^{2}=121$代入上式,得$121 + 2AC\cdot BC=225$,
$\therefore 2AC\cdot BC=104$,
$\therefore AC\cdot BC=52$。
$\therefore S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot BC=\frac{1}{2}×52=26$。

11. 【综合与实践】有一个面积为$1$的正方形,经过一次“生长”后,在它的左右肩上各生出两个小正方形(如图①),其中三个正方形围成的三角形是直角三角形,再经过一次“生长”后,生出四个正方形(如图②),如果按此规律继续“生长”下去,它将变得枝繁叶茂,好像一棵树,这棵树叫“毕达哥拉斯树”,也叫“勾股树”。那么当它“生长”了$2028$次后,所形成的图形中所有正方形的面积和是______。

2029

初始正方形面积为$1$。
生长$1$次后，新增两个小正方形面积之和等于初始正方形面积$1$，所有正方形面积和为$1 + 1=2$。
生长$2$次后，新增四个小正方形面积之和等于生长$1$次后新增的两个小正方形面积之和$1$，所有正方形面积和为$2 + 1=3$。
依此类推，每生长$1$次，所有正方形面积和增加$1$。
生长$n$次后，所有正方形面积和为$1 + n$。
当$n = 2028$时，面积和为$1+2028=2029$。
2029