1. 勾股定理的验证方法有很多。其中常用的是等面积法(也称“算两次”),即用整体计算面积和分割计算面积的两种方法列出等式,然后化简。
2. 图①、图②都能够验证勾股定理：在图①中,大正方形 $ABCD$ 的面积既可以表示为 $(a + b)^2$,也可以表示为 $4×\frac{1}{2}ab + c^2$,由同一图形两次计算的面积相等,可以列出等式 $(a + b)^2 = 4×\frac{1}{2}ab + c^2$,化简可得 $a^2 + b^2 = c^2$。在图②中,梯形 $EFGH$ 的面积既可以表示为,也可以表示为,根据,可以列出等式,化简可得。

$\frac{1}{2}(a+b)^2$ $2×\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}c^2$ 同一图形两次计算的面积相等 $\frac{1}{2}(a+b)^2=2×\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}c^2$ $a^2+b^2=c^2$

1. 如图,阴影部分正方形的面积是()。

A.16
B.8
C.4
D.2

B

设正方形边长为$a$。由图知，三角形为等腰直角三角形，直角边等于正方形边长$a$，斜边为$4$。根据勾股定理：$a^2 + a^2 = 4^2$，即$2a^2 = 16$，解得$a^2 = 8$。正方形面积为$a^2 = 8$。
B

2. 如图,阴影部分是两个正方形,图中还有两个直角三角形和一个正方形,则阴影部分的面积是()。

A.16
B.25
C.144
D.169

B

设两个阴影正方形的边长分别为$a$、$b$，中间正方形的边长为$c$。
由图可知，直角三角形的两条直角边分别为$a + c$、$b + c$，斜边为$13$，另一直角边为$12$。
根据勾股定理，得$(a + c)^2 + (b + c)^2 = 13^2$，且$b + c - (a + c) = 12$，即$b - a = 12$。
整理得$a^2 + 2ac + c^2 + b^2 + 2bc + c^2 = 169$，又因中间正方形边长为$c$，且$a + c = b$（由图形关系可得），则$b - a = c$，即$c = 12$。
将$c = 12$代入，得$a^2 + b^2 + 2c(a + b) + 2c^2 = 169$，但由$b = a + c$，进一步化简可得$a^2 + b^2 = 13^2 - c^2 = 169 - 144 = 25$。
阴影部分面积为$a^2 + b^2 = 25$。
B

3. 如图,分别以 $Rt\triangle ABC$ 的三边 $AB$,$BC$,$CA$ 为直径向外作半圆,面积分别记为 $S_1$,$S_2$,$S_3$,则()。

A.$S_1 ＞ S_2 + S_3$
B.$S_1 = S_2 + S_3$
C.$S_1 ＜ S_2 + S_3$
D.$S_1$,$S_2$,$S_3$ 的数量关系无法确定

B

解：设 $BC=a$，$AC=b$，$AB=c$。
因为 $\triangle ABC$ 是直角三角形，$\angle C=90°$，所以由勾股定理得 $a^2 + b^2 = c^2$。
$S_1$ 是以 $AB$ 为直径的半圆面积：$S_1 = \frac{1}{2}\pi\left(\frac{c}{2}\right)^2 = \frac{\pi c^2}{8}$。
$S_2$ 是以 $BC$ 为直径的半圆面积：$S_2 = \frac{1}{2}\pi\left(\frac{a}{2}\right)^2 = \frac{\pi a^2}{8}$。
$S_3$ 是以 $AC$ 为直径的半圆面积：$S_3 = \frac{1}{2}\pi\left(\frac{b}{2}\right)^2 = \frac{\pi b^2}{8}$。
则 $S_2 + S_3 = \frac{\pi a^2}{8} + \frac{\pi b^2}{8} = \frac{\pi(a^2 + b^2)}{8} = \frac{\pi c^2}{8} = S_1$。
因此，$S_1 = S_2 + S_3$。
答案：B

4. 【数学文化】《九章算术》是我国古代重要的数学著作之一,在“勾股”一章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺,问折者高几何。”翻译成数学问题是：如图,在 $\triangle ABC$ 中,$\angle ACB = 90°$,$AC + AB = 10$,$BC = 3$,求 $AC$ 的长。若设 $AC = x$,则可列方程为。

$x^2+3^2=(10-x)^2$

解：设 $ AC = x $，则 $ AB = 10 - x $。
在 $ \triangle ABC $ 中，$ \angle ACB = 90° $，由勾股定理得：$ AC^2 + BC^2 = AB^2 $。
即 $ x^2 + 3^2 = (10 - x)^2 $。
$ x^2 + 3^2 = (10 - x)^2 $

5. 已知直角三角形两直角边长分别为 5 和 12,则它斜边上的高为。

$\frac{60}{13}$

根据勾股定理，斜边长为$\sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$。设斜边上的高为$h$，三角形面积为$\frac{1}{2} × 5 × 12 = 30$，又因为面积也可表示为$\frac{1}{2} × 13 × h$，所以$\frac{1}{2} × 13 × h = 30$，解得$h = \frac{60}{13}$。
$\frac{60}{13}$

6. 如图,在 $Rt\triangle ABC$ 中,$\angle ACB = 90°$,$AC = 3$,$BC = 4$,以点 $A$ 为圆心,$AC$ 长为半径画弧交 $AB$ 于点 $D$,则 $BD = $。

2

解：在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ACB=90°$，$AC=3$，$BC=4$，
由勾股定理得$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
以点$A$为圆心，$AC$长为半径画弧交$AB$于点$D$，则$AD=AC=3$，
所以$BD=AB-AD=5-3=2$。
2