一、计算下面各题。
1.0.9+0.09+0.009+0.0009+…
【拓展题】
2.$\frac{3}{4}+\frac{3}{16}+\frac{3}{64}+\frac{3}{256}+\frac{3}{1024}+\frac{3}{4096}$

1. 解析：本题考查了无限小数加法的简便运算。通过观察发现，后一个数都是前一个数的$\frac{1}{10}$，那么所有数相加，和无限接近于1，且比1小，所以$0.9 + 0.09 + 0.009 + 0.0009+\cdots=0.999\cdots\approx1$（实际小于1 ），在小学数学中，对于此类无限循环小数相加，可理解为结果无限接近1 ，一般写为0.999…（9循环），也可根据题目要求保留一定小数位数，这里按常规理解给出答案。
答案：$0.9 + 0.09 + 0.009 + 0.0009+\cdots = 0.999\cdots$（9循环）
2. 解析：本题考查了分数加法的简便运算。观察式子可知，这是一个等比数列求和，首项$a_1=\frac{3}{4}$，公比$q = \frac{1}{4}$。我们可以采用错位相减法来求解。设$S=\frac{3}{4}+\frac{3}{16}+\frac{3}{64}+\frac{3}{256}+\frac{3}{1024}+\frac{3}{4096}$，两边同时乘以$\frac{1}{4}$得$\frac{1}{4}S=\frac{3}{16}+\frac{3}{64}+\frac{3}{256}+\frac{3}{1024}+\frac{3}{4096}+\frac{3}{16384}$，然后用$S-\frac{1}{4}S$可消去中间项进行化简计算。
$S-\frac{1}{4}S=\frac{3}{4}-\frac{3}{16384}$
$\frac{3}{4}S=\frac{3}{4}-\frac{3}{16384}$
$S = 1-\frac{1}{4096}=\frac{4095}{4096}$
答案：$\frac{4095}{4096}$

二、试着通过下右图中阴影部分的面积推导出$(a+b)(a-b)= a^2 - b^2$这个式子。

阴影部分是长为(a+b)、宽为(a-b)的长方形，其面积为(a+b)(a-b)。
大长方形面积为a(a+b)=a²+ab，空白部分是边长为b的正方形和长为b、宽为(a-b)的长方形，面积和为b²+b(a-b)=b²+ab-b²=ab。
阴影部分面积=大长方形面积-空白部分面积=(a²+ab)-ab=a²。
所以(a+b)(a-b)=a²-b²。

三、【拓展题】下右图是用大小相同的黑、白两种三角形瓷砖铺成的图形。按照图中铺瓷砖的规律一直铺下去,第4个图形有多少个黑色小三角形和多少个白色小三角形？第8个图形呢？你能找出其中的规律吗？

解析：
本题考查数与形，需要根据图形找出黑色三角形和白色三角形个数的规律。
观察黑色三角形：
第1个图形黑色三角形个数：1个；
第2个图形黑色三角形个数：1+2=3（个）；
第3个图形黑色三角形个数：1+2+3=6（个）；
以此类推，第n个图形黑色三角形个数为从1加到n的和，即$\frac{n(n + 1)}{2}$。
观察白色三角形：
第1个图形白色三角形个数：3=1+2个；
第2个图形白色三角形个数：6=1+2+3个；
第3个图形白色三角形个数：10=1+2+3+4个；
以此类推，第n个图形白色三角形个数为从2加到(n + 1)的和，即$\frac{(n + 1)(n + 2)}{2}$。
当n = 4时：
黑色三角形个数：$\frac{4×(4 + 1)}{2}=\frac{4×5}{2}=10$（个）；
白色三角形个数：$\frac{(4 + 1)×(4 + 2)}{2}=\frac{5×6}{2}=15$（个）。
当n = 8时：
黑色三角形个数：$\frac{8×(8 + 1)}{2}=\frac{8×9}{2}=36$（个）；
白色三角形个数：$\frac{(8 + 1)×(8 + 2)}{2}=\frac{9×10}{2}=45$（个）。
答案：
第4个图形有10个黑色小三角形和15个白色小三角形；
第8个图形有36个黑色小三角形和45个白色小三角形；
规律：第n个图形中黑色小三角形的个数是$\frac{n(n + 1)}{2}$，白色小三角形的个数是$\frac{(n + 1)(n + 2)}{2}$。