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一、算一算,填一填。
1. $1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{4} - \frac{1}{8} - … - \frac{1}{64} = $
2. $\frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{27} + \frac{1}{81} + \frac{1}{243} + … = $
1. $1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{4} - \frac{1}{8} - … - \frac{1}{64} = $
$\frac{1}{64}$
2. $\frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{27} + \frac{1}{81} + \frac{1}{243} + … = $
$\frac{1}{2}$
答案
1.
解析：本题可通过设未知数，利用减法的性质进行简便计算。设$S = 1-\frac{1}{2}-\frac{1}{4}-\frac{1}{8}-\cdots-\frac{1}{64}$，先求出$1 - S$的值，再计算$S$。
$1 - S=1-(1 - \frac{1}{2}-\frac{1}{4}-\frac{1}{8}-\cdots-\frac{1}{64})$
$=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\cdots+\frac{1}{64}$
设$T=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\cdots+\frac{1}{64}$，则$2T = 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{32}$，$2T - T=T=1-\frac{1}{64}=\frac{63}{64}$。
因为$1 - S = T=\frac{63}{64}$，所以$S=1-\frac{63}{64}=\frac{1}{64}$。
答案：$\frac{1}{64}$
2.
解析：本题可设$S=\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\frac{1}{27}+\frac{1}{81}+\frac{1}{243}+\cdots$，然后给等式两边同时乘以$3$，再通过两式相减求出$S$的值。
设$S = \frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\frac{1}{27}+\frac{1}{81}+\frac{1}{243}+\cdots$ ①
两边同时乘以$3$得：$3S = 1+\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\frac{1}{27}+\frac{1}{81}+\cdots$ ②
由② - ①得：
$3S - S=(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\frac{1}{27}+\frac{1}{81}+\cdots)-(\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\frac{1}{27}+\frac{1}{81}+\frac{1}{243}+\cdots)$
$2S = 1-\frac{1}{243}+\cdots$（后面无限趋近于$0$，可看作$0$）
$2S = 1-\lim_{n \to \infty}\frac{1}{3^{n}} = 1$
解得$S=\frac{1}{2}×(1÷(1 - \frac{1}{3}))=\frac{1}{2}×\frac{3}{2}=\frac{1}{2}×\frac{3}{2 - 1}=\frac{1}{2}×\frac{3}{1}=\frac{1}{2}÷(1-\frac{1}{3})=\frac{1}{2}×\frac{3}{2}=\frac{3 - 1}{2×(3 - 1 - 1)}=\frac{1}{2}$（利用等比数列求和公式$S=\frac{a_1}{1 - q}$，其中$a_1=\frac{1}{3}$，$q=\frac{1}{3}$）
$S=\frac{\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{3}}=\frac{1}{2}$
答案：$\frac{1}{2}$
解析：本题可通过设未知数，利用减法的性质进行简便计算。设$S = 1-\frac{1}{2}-\frac{1}{4}-\frac{1}{8}-\cdots-\frac{1}{64}$，先求出$1 - S$的值，再计算$S$。
$1 - S=1-(1 - \frac{1}{2}-\frac{1}{4}-\frac{1}{8}-\cdots-\frac{1}{64})$
$=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\cdots+\frac{1}{64}$
设$T=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\cdots+\frac{1}{64}$，则$2T = 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{32}$，$2T - T=T=1-\frac{1}{64}=\frac{63}{64}$。
因为$1 - S = T=\frac{63}{64}$，所以$S=1-\frac{63}{64}=\frac{1}{64}$。
答案：$\frac{1}{64}$
2.
解析：本题可设$S=\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\frac{1}{27}+\frac{1}{81}+\frac{1}{243}+\cdots$，然后给等式两边同时乘以$3$，再通过两式相减求出$S$的值。
设$S = \frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\frac{1}{27}+\frac{1}{81}+\frac{1}{243}+\cdots$ ①
两边同时乘以$3$得：$3S = 1+\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\frac{1}{27}+\frac{1}{81}+\cdots$ ②
由② - ①得：
$3S - S=(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\frac{1}{27}+\frac{1}{81}+\cdots)-(\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\frac{1}{27}+\frac{1}{81}+\frac{1}{243}+\cdots)$
$2S = 1-\frac{1}{243}+\cdots$（后面无限趋近于$0$，可看作$0$）
$2S = 1-\lim_{n \to \infty}\frac{1}{3^{n}} = 1$
解得$S=\frac{1}{2}×(1÷(1 - \frac{1}{3}))=\frac{1}{2}×\frac{3}{2}=\frac{1}{2}×\frac{3}{2 - 1}=\frac{1}{2}×\frac{3}{1}=\frac{1}{2}÷(1-\frac{1}{3})=\frac{1}{2}×\frac{3}{2}=\frac{3 - 1}{2×(3 - 1 - 1)}=\frac{1}{2}$（利用等比数列求和公式$S=\frac{a_1}{1 - q}$，其中$a_1=\frac{1}{3}$，$q=\frac{1}{3}$）
$S=\frac{\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{3}}=\frac{1}{2}$
答案：$\frac{1}{2}$
1 + 1 = 1×2 1 + 2 + 2 + 1 = 2×3 1 + 2 + 3 + 3 + 2 + 1 = (
1 + 2 + 3 + 4 + 4 + 3 + 2 + 1 = (
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = (
3
)×(4
)1 + 2 + 3 + 4 + 4 + 3 + 2 + 1 = (
4
)×(5
)1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = (
8
)×(9
) = (72
)答案
解析：本题可通过观察前面给出的等式，找出等式两边的规律，进而得出后面式子的结果。
观察已知的等式：
$1 + 1 = 1×2$，其中等式左边是$1$以对称的形式相加，等式右边是$1$和$1 + 1$的乘积；
$1 + 2 + 2 + 1 = 2×3$，等式左边是$2$以对称的形式相加，等式右边是$2$和$2 + 1$的乘积。
由此可总结规律：等式左边是某个数$n$以对称的形式相加，等式右边是$n$和$n + 1$的乘积。
对于$1 + 2 + 3 + 3 + 2 + 1$，这里是$3$以对称的形式相加，根据上述规律，其结果应为$3×(3 + 1)=3×4$。
对于$1 + 2 + 3 + 4 + 4 + 3 + 2 + 1$，是$4$以对称的形式相加，结果应为$4×(4 + 1)=4×5$。
对于$1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1$，是$8$以对称的形式相加，结果应为$8×(8 + 1)=8×9 = 72$。
答案：$3$；$4$；$4$；$5$；$8$；$9$；$72$。
观察已知的等式：
$1 + 1 = 1×2$，其中等式左边是$1$以对称的形式相加，等式右边是$1$和$1 + 1$的乘积；
$1 + 2 + 2 + 1 = 2×3$，等式左边是$2$以对称的形式相加，等式右边是$2$和$2 + 1$的乘积。
由此可总结规律：等式左边是某个数$n$以对称的形式相加，等式右边是$n$和$n + 1$的乘积。
对于$1 + 2 + 3 + 3 + 2 + 1$，这里是$3$以对称的形式相加，根据上述规律，其结果应为$3×(3 + 1)=3×4$。
对于$1 + 2 + 3 + 4 + 4 + 3 + 2 + 1$，是$4$以对称的形式相加，结果应为$4×(4 + 1)=4×5$。
对于$1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1$，是$8$以对称的形式相加，结果应为$8×(8 + 1)=8×9 = 72$。
答案：$3$；$4$；$4$；$5$；$8$；$9$；$72$。
三、搭建如图1所示的单顶帐篷需要17根钢管。如果这样的帐篷按图2、图3的方式串起来搭建,那么搭建8顶这样的帐篷需要多少根这样的钢管？20顶呢？
答案
1顶帐篷：17根
2顶帐篷：17+11=28根
3顶帐篷：28+11=39根
规律：每多搭1顶帐篷增加11根钢管，n顶帐篷需要钢管数为17+11(n-1)=11n+6
8顶帐篷：11×8+6=94根
20顶帐篷：11×20+6=226根
答：搭建8顶帐篷需要94根钢管，搭建20顶帐篷需要226根钢管。
2顶帐篷：17+11=28根
3顶帐篷：28+11=39根
规律：每多搭1顶帐篷增加11根钢管，n顶帐篷需要钢管数为17+11(n-1)=11n+6
8顶帐篷：11×8+6=94根
20顶帐篷：11×20+6=226根
答：搭建8顶帐篷需要94根钢管，搭建20顶帐篷需要226根钢管。
四、芳芳和爷爷、奶奶、爸爸、妈妈进行家庭跳棋比赛,每两人之间都要赛1盘。已知爷爷已经赛了4盘,奶奶赛了3盘,爸爸赛了2盘,妈妈赛了1盘。芳芳赛了几盘？分别是和谁比赛的？(先画图连一连)
答案
画图连线（描述）：用五个点分别代表芳芳（F）、爷爷（Y）、奶奶（N）、爸爸（B）、妈妈（M）。
爷爷赛4盘：Y与F、N、B、M各连一条线。
妈妈赛1盘：仅与Y相连（已完成）。
奶奶赛3盘：已与Y相连，需再连2盘，因M无其他连线，故N与F、B相连。
爸爸赛2盘：已与Y、N相连（已完成）。
由图可知，芳芳与爷爷、奶奶相连。
芳芳赛了2盘，分别和爷爷、奶奶比赛。
爷爷赛4盘：Y与F、N、B、M各连一条线。
妈妈赛1盘：仅与Y相连（已完成）。
奶奶赛3盘：已与Y相连，需再连2盘，因M无其他连线，故N与F、B相连。
爸爸赛2盘：已与Y、N相连（已完成）。
由图可知，芳芳与爷爷、奶奶相连。
芳芳赛了2盘，分别和爷爷、奶奶比赛。
五、【拓展题】甲、乙两地相距30 km,张华骑摩托车,李铭开车,两人同时从甲地出发去乙地,当张华骑行到全程的$\frac{1}{3}$时,李铭正好到达乙地。李铭到乙地后立即返回,与张华相向而行。两人相遇时,张华共行了全程的几分之几？
答案
当张华骑行到全程的$\frac{1}{3}$时，张华行驶的路程为$30×\frac{1}{3} = 10$km，此时李铭到达乙地，行驶了30km。
因为两人同时出发，所以所用时间相同，根据路程与速度成正比，李铭速度是张华速度的$30÷10 = 3$倍。
设张华速度为$v$，则李铭速度为$3v$。此时张华距离乙地还有$30 - 10 = 20$km，李铭从乙地返回与张华相向而行，两人相遇时所用时间为$t$，则$vt + 3vt=20$，$4vt = 20$，$vt=5$km。
相遇时张华共行驶了$10 + 5 = 15$km，占全程的$15÷30=\frac{1}{2}$。
答：张华共行了全程的$\frac{1}{2}$。
因为两人同时出发，所以所用时间相同，根据路程与速度成正比，李铭速度是张华速度的$30÷10 = 3$倍。
设张华速度为$v$，则李铭速度为$3v$。此时张华距离乙地还有$30 - 10 = 20$km，李铭从乙地返回与张华相向而行，两人相遇时所用时间为$t$，则$vt + 3vt=20$，$4vt = 20$，$vt=5$km。
相遇时张华共行驶了$10 + 5 = 15$km，占全程的$15÷30=\frac{1}{2}$。
答：张华共行了全程的$\frac{1}{2}$。
