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1. $-3^5$表示的意义是(
A.3和5相乘的相反数
B.5个3相乘的相反数
C.3个－5相乘
D.3个5相乘的相反数
B
).A.3和5相乘的相反数
B.5个3相乘的相反数
C.3个－5相乘
D.3个5相乘的相反数
答案
1. B
解析
【分析】
首先回忆乘方的定义：$a^n$表示n个相同因数a相乘的积。本题要先明确$-3^5$的运算顺序：没有括号时，先计算乘方$3^5$，再求它的相反数，再逐一对应选项判断即可。首先$3^5$的意义是5个3相乘，因此$-3^5$就是5个3相乘的相反数，再排除错误选项：A选项3和5相乘是$3×5$，不符合乘方意义；C选项是$(-5)^3$的意义；D选项是$-5^3$的意义，均不符合要求。
【解析】
根据乘方的定义：$a^n$表示n个a相乘的积。
$-3^5$的运算顺序为先算乘方$3^5$，再取相反数：
1. $3^5$表示5个3相乘；
2. 因此$-3^5$表示5个3相乘的相反数。
逐一分析选项：
A. 3和5相乘为$3×5$，不符合乘方意义，错误；
B. 符合上述推导，正确；
C. 3个-5相乘表示为$(-5)^3$，和$-3^5$意义不同，错误；
D. 3个5相乘的相反数表示为$-5^3$，和$-3^5$意义不同，错误。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 乘方的意义
2. 乘方运算顺序
【点评】
本题是乘方意义的基础考查题，易错点是混淆负号是否属于底数，做题时要注意区分$-a^n$和$(-a)^n$的含义，明确先算乘方再算符号的运算顺序，即可快速判断。
【难度系数】
0.7
首先回忆乘方的定义：$a^n$表示n个相同因数a相乘的积。本题要先明确$-3^5$的运算顺序：没有括号时，先计算乘方$3^5$，再求它的相反数，再逐一对应选项判断即可。首先$3^5$的意义是5个3相乘，因此$-3^5$就是5个3相乘的相反数，再排除错误选项：A选项3和5相乘是$3×5$，不符合乘方意义；C选项是$(-5)^3$的意义；D选项是$-5^3$的意义，均不符合要求。
【解析】
根据乘方的定义：$a^n$表示n个a相乘的积。
$-3^5$的运算顺序为先算乘方$3^5$，再取相反数：
1. $3^5$表示5个3相乘；
2. 因此$-3^5$表示5个3相乘的相反数。
逐一分析选项：
A. 3和5相乘为$3×5$，不符合乘方意义，错误；
B. 符合上述推导，正确；
C. 3个-5相乘表示为$(-5)^3$，和$-3^5$意义不同，错误；
D. 3个5相乘的相反数表示为$-5^3$，和$-3^5$意义不同，错误。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 乘方的意义
2. 乘方运算顺序
【点评】
本题是乘方意义的基础考查题，易错点是混淆负号是否属于底数，做题时要注意区分$-a^n$和$(-a)^n$的含义，明确先算乘方再算符号的运算顺序，即可快速判断。
【难度系数】
0.7
2. 化简$(-1)^{2027}$的结果为(
A.2 027
B.−2 027
C.1
D.−1
D
).A.2 027
B.−2 027
C.1
D.−1
答案
2. D
解析
【分析】
要化简$(-1)^{2027}$，首先需掌握负数乘方的符号规律：负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；我们可以总结出$(-1)^n$的固定规律：当n为正奇数时，$(-1)^n=-1$，当n为正偶数时，$(-1)^n=1$。接下来只需判断指数2027的奇偶性，就能直接推导结果。
【解析】
1. 先判断指数的奇偶性：2027不能被2整除，属于正奇数。
2. 根据$(-1)$的幂的运算规律：当指数为正奇数时，$(-1)$的幂的结果为-1，因此$(-1)^{2027}=-1$。
【答案】
D
【知识点】
有理数乘方运算；负数幂的符号规律
【点评】
本题属于乘方运算的基础题型，核心考查$-1$的幂的运算规律，只要能准确判断指数的奇偶性即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
要化简$(-1)^{2027}$，首先需掌握负数乘方的符号规律：负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；我们可以总结出$(-1)^n$的固定规律：当n为正奇数时，$(-1)^n=-1$，当n为正偶数时，$(-1)^n=1$。接下来只需判断指数2027的奇偶性，就能直接推导结果。
【解析】
1. 先判断指数的奇偶性：2027不能被2整除，属于正奇数。
2. 根据$(-1)$的幂的运算规律：当指数为正奇数时，$(-1)$的幂的结果为-1，因此$(-1)^{2027}=-1$。
【答案】
D
【知识点】
有理数乘方运算；负数幂的符号规律
【点评】
本题属于乘方运算的基础题型，核心考查$-1$的幂的运算规律，只要能准确判断指数的奇偶性即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
3. $-2×2×2×2$改写成幂的形式为
$-2^4$
.答案
3. $-2^4$
解析
【分析】
解题时先回忆乘方的定义：乘方是求n个相同因数乘积的运算，n个相同因数a相乘可以记作$a^n$，其中a是底数，n是指数。第一步先找原式中重复相乘的相同因数，第二步数相同因数的个数，第三步判断符号是否属于底数：本题中原式是负号加4个2相乘，负号没有和2一起作为重复相乘的因数，所以底数是2不是-2，结合乘方的书写规则就能得到结果。
【解析】
根据乘方的定义：n个相同因数a相乘的形式可记为$a^n$。
观察式子$-2×2×2×2$：
1. 重复相乘的相同因数为2，一共有4个2相乘，4个2相乘可写为$2^4$；
2. 式子最前面的负号不属于相乘的因数，因此负号保留在幂的前面。
综上，改写后的幂的形式为$-2^4$。
【答案】
$-2^4$
【知识点】
乘方的定义，幂的书写
【点评】
本题是乘方概念的基础应用题，易错点是易误将负号归入底数，写成$(-2)^4$，解题时需先明确重复相乘的因数具体是什么，再准确书写幂的形式。
【难度系数】
0.7
解题时先回忆乘方的定义：乘方是求n个相同因数乘积的运算，n个相同因数a相乘可以记作$a^n$，其中a是底数，n是指数。第一步先找原式中重复相乘的相同因数，第二步数相同因数的个数，第三步判断符号是否属于底数：本题中原式是负号加4个2相乘，负号没有和2一起作为重复相乘的因数，所以底数是2不是-2，结合乘方的书写规则就能得到结果。
【解析】
根据乘方的定义：n个相同因数a相乘的形式可记为$a^n$。
观察式子$-2×2×2×2$：
1. 重复相乘的相同因数为2，一共有4个2相乘，4个2相乘可写为$2^4$；
2. 式子最前面的负号不属于相乘的因数，因此负号保留在幂的前面。
综上，改写后的幂的形式为$-2^4$。
【答案】
$-2^4$
【知识点】
乘方的定义，幂的书写
【点评】
本题是乘方概念的基础应用题，易错点是易误将负号归入底数，写成$(-2)^4$，解题时需先明确重复相乘的因数具体是什么，再准确书写幂的形式。
【难度系数】
0.7
4.计算:
(1)$(-1)^{405}=$
(2)$(-0.2)^2=$
(3)$(-\dfrac{1}{2})^2=$
(4)$(-1\dfrac{1}{2})^4=$
(1)$(-1)^{405}=$
-1
;(2)$(-0.2)^2=$
0.04
;(3)$(-\dfrac{1}{2})^2=$
$\dfrac{1}{4}$
;(4)$(-1\dfrac{1}{2})^4=$
$\dfrac{81}{16}$
.答案
4. (1) -1 (2) 0.04 (3) $\dfrac{1}{4}$ (4) $\dfrac{81}{16}$
解析
【分析】
解决乘方运算类题目，首先要明确乘方的意义：n个相同因数a的乘积记作$a^n$，同时牢记负数乘方的符号规律：负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。解题步骤可分为：①判断底数的正负，②根据指数的奇偶性确定结果的符号，③计算底数绝对值的乘方结果，④若底数为带分数，需先化为假分数再参与运算。
【解析】
(1) 底数为$-1$，指数405是奇数，根据负数的奇次幂为负，可得$(-1)^{405}=-1$；
(2) 底数为$-0.2$，指数2是偶数，根据负数的偶次幂为正，可得$(-0.2)^2=0.2^2=0.2×0.2=0.04$；
(3) 底数为$-\dfrac{1}{2}$，指数2是偶数，根据负数的偶次幂为正，可得$(-\dfrac{1}{2})^2=(\dfrac{1}{2})^2=\dfrac{1}{2}×\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{4}$；
(4) 先将带分数$-1\dfrac{1}{2}$化为假分数$-\dfrac{3}{2}$，指数4是偶数，根据负数的偶次幂为正，可得$(-1\dfrac{1}{2})^4=(-\dfrac{3}{2})^4=(\dfrac{3}{2})^4=\dfrac{3×3×3×3}{2×2×2×2}=\dfrac{81}{16}$。
【答案】
(1) $-1$；(2) $0.04$；(3) $\dfrac{1}{4}$；(4) $\dfrac{81}{16}$
【知识点】
乘方运算，负数幂符号规律，有理数乘法
【点评】
本题是乘方章节的基础巩固题型，重点考查负数乘方符号规律的应用，需注意带分数参与乘方运算时要先转化为假分数再计算，做题时先定符号再算绝对值，可有效降低错误率。
【难度系数】
0.8
解决乘方运算类题目，首先要明确乘方的意义：n个相同因数a的乘积记作$a^n$，同时牢记负数乘方的符号规律：负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。解题步骤可分为：①判断底数的正负，②根据指数的奇偶性确定结果的符号，③计算底数绝对值的乘方结果，④若底数为带分数，需先化为假分数再参与运算。
【解析】
(1) 底数为$-1$，指数405是奇数，根据负数的奇次幂为负，可得$(-1)^{405}=-1$；
(2) 底数为$-0.2$，指数2是偶数，根据负数的偶次幂为正，可得$(-0.2)^2=0.2^2=0.2×0.2=0.04$；
(3) 底数为$-\dfrac{1}{2}$，指数2是偶数，根据负数的偶次幂为正，可得$(-\dfrac{1}{2})^2=(\dfrac{1}{2})^2=\dfrac{1}{2}×\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{4}$；
(4) 先将带分数$-1\dfrac{1}{2}$化为假分数$-\dfrac{3}{2}$，指数4是偶数，根据负数的偶次幂为正，可得$(-1\dfrac{1}{2})^4=(-\dfrac{3}{2})^4=(\dfrac{3}{2})^4=\dfrac{3×3×3×3}{2×2×2×2}=\dfrac{81}{16}$。
【答案】
(1) $-1$；(2) $0.04$；(3) $\dfrac{1}{4}$；(4) $\dfrac{81}{16}$
【知识点】
乘方运算，负数幂符号规律，有理数乘法
【点评】
本题是乘方章节的基础巩固题型，重点考查负数乘方符号规律的应用，需注意带分数参与乘方运算时要先转化为假分数再计算，做题时先定符号再算绝对值，可有效降低错误率。
【难度系数】
0.8
5. 下列各组数中，运算结果相等的是(
A.$(-5)^3$与$-5^3$
B.$2^3$与$3^2$
C.$-2^2$与$(-2)^2$
D.$(\dfrac{3}{4})^2$与$\dfrac{3^2}{4}$
A
).A.$(-5)^3$与$-5^3$
B.$2^3$与$3^2$
C.$-2^2$与$(-2)^2$
D.$(\dfrac{3}{4})^2$与$\dfrac{3^2}{4}$
答案
5. A 解析 A 项中，$(-5)^3 = -125,-5^3=-125$,故相等,符合题意；
B 项中,$2^3=8,3^2=9$,故不相等,不符合题意；
C 项中,$-2^2=-4,(-2)^2=4$,故不相等,不符合题意；
D 项中,$(\dfrac{3}{4})^2=\dfrac{9}{16},\dfrac{3^2}{4}=\dfrac{9}{4}$,故不相等,不符合题意.
故选 A.
B 项中,$2^3=8,3^2=9$,故不相等,不符合题意；
C 项中,$-2^2=-4,(-2)^2=4$,故不相等,不符合题意；
D 项中,$(\dfrac{3}{4})^2=\dfrac{9}{16},\dfrac{3^2}{4}=\dfrac{9}{4}$,故不相等,不符合题意.
故选 A.
解析
【分析】
本题考查乘方的运算，解题思路为：首先明确乘方的定义，即n个相同因数a的乘积记作$a^n$，运算时先准确判定每个式子的底数（带括号时底数为括号内的整体，不带括号时底数为负号后面的正数或单独的数），再分别计算每个选项中两个式子的结果，对比结果是否相等即可选出正确答案。
【解析】
我们逐一计算各选项的运算结果进行对比：
A项：$(-5)^3$表示3个$-5$相乘，即$(-5)×(-5)×(-5)=-125$；$-5^3$表示3个5相乘的相反数，即$-(5×5×5)=-125$，二者结果相等，符合题意。
B项：$2^3=2×2×2=8$，$3^2=3×3=9$，$8≠9$，二者结果不相等，不符合题意。
C项：$-2^2$表示2的平方的相反数，即$-(2×2)=-4$；$(-2)^2$表示2个$-2$相乘，即$(-2)×(-2)=4$，$-4≠4$，二者结果不相等，不符合题意。
D项：$(\dfrac{3}{4})^2=\dfrac{3}{4}×\dfrac{3}{4}=\dfrac{9}{16}$，$\dfrac{3^2}{4}=\dfrac{9}{4}$，$\dfrac{9}{16}≠\dfrac{9}{4}$，二者结果不相等，不符合题意。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
乘方运算；底数的判定
【点评】
本题是乘方部分的基础常考题，主要考查乘方运算中几类易混淆的形式：带括号与不带括号的负数乘方、分数乘方与分子单独乘方的区别，做题时只要先明确底数再计算，就能避免概念混淆导致的错误。
【难度系数】
0.8
本题考查乘方的运算，解题思路为：首先明确乘方的定义，即n个相同因数a的乘积记作$a^n$，运算时先准确判定每个式子的底数（带括号时底数为括号内的整体，不带括号时底数为负号后面的正数或单独的数），再分别计算每个选项中两个式子的结果，对比结果是否相等即可选出正确答案。
【解析】
我们逐一计算各选项的运算结果进行对比：
A项：$(-5)^3$表示3个$-5$相乘，即$(-5)×(-5)×(-5)=-125$；$-5^3$表示3个5相乘的相反数，即$-(5×5×5)=-125$，二者结果相等，符合题意。
B项：$2^3=2×2×2=8$，$3^2=3×3=9$，$8≠9$，二者结果不相等，不符合题意。
C项：$-2^2$表示2的平方的相反数，即$-(2×2)=-4$；$(-2)^2$表示2个$-2$相乘，即$(-2)×(-2)=4$，$-4≠4$，二者结果不相等，不符合题意。
D项：$(\dfrac{3}{4})^2=\dfrac{3}{4}×\dfrac{3}{4}=\dfrac{9}{16}$，$\dfrac{3^2}{4}=\dfrac{9}{4}$，$\dfrac{9}{16}≠\dfrac{9}{4}$，二者结果不相等，不符合题意。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
乘方运算；底数的判定
【点评】
本题是乘方部分的基础常考题，主要考查乘方运算中几类易混淆的形式：带括号与不带括号的负数乘方、分数乘方与分子单独乘方的区别，做题时只要先明确底数再计算，就能避免概念混淆导致的错误。
【难度系数】
0.8
6. 在数$(-3)^2, (-2)^3, -4^9, -2^4$中，正数有
1
个.答案
6. 1
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确有理数乘方的运算规则，尤其要区分底数带括号和不带括号的差异，再结合乘方的符号法则判断每个数的正负，最后统计正数的个数即可。解题步骤可分为三步：第一步分别计算四个数的结果，第二步逐个判断是否为正数，第三步统计正数的数量。
【解析】
我们逐个计算每个数并判断正负：
1. 计算$(-3)^2$：表示2个$-3$相乘，即$(-3)×(-3)=9$，$9＞0$，是正数；
2. 计算$(-2)^3$：表示3个$-2$相乘，即$(-2)×(-2)×(-2)=-8$，$-8＜0$，是负数；
3. 计算$-4^9$：这里底数是4，先算$4^9$得正数，再添加负号，结果为负数；
4. 计算$-2^4$：这里底数是2，先算$2^4=16$，再添加负号得$-16$，$-16＜0$，是负数。
综上，正数只有$(-3)^2$这1个。
【答案】
1
【知识点】
有理数乘方运算，乘方符号判断
【点评】
本题是乘方运算的基础题型，易错点是容易混淆带括号与不带括号的乘方的底数，进而导致符号判断错误，做题时需先明确底数再进行运算。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先需要明确有理数乘方的运算规则，尤其要区分底数带括号和不带括号的差异，再结合乘方的符号法则判断每个数的正负，最后统计正数的个数即可。解题步骤可分为三步：第一步分别计算四个数的结果，第二步逐个判断是否为正数，第三步统计正数的数量。
【解析】
我们逐个计算每个数并判断正负：
1. 计算$(-3)^2$：表示2个$-3$相乘，即$(-3)×(-3)=9$，$9＞0$，是正数；
2. 计算$(-2)^3$：表示3个$-2$相乘，即$(-2)×(-2)×(-2)=-8$，$-8＜0$，是负数；
3. 计算$-4^9$：这里底数是4，先算$4^9$得正数，再添加负号，结果为负数；
4. 计算$-2^4$：这里底数是2，先算$2^4=16$，再添加负号得$-16$，$-16＜0$，是负数。
综上，正数只有$(-3)^2$这1个。
【答案】
1
【知识点】
有理数乘方运算，乘方符号判断
【点评】
本题是乘方运算的基础题型，易错点是容易混淆带括号与不带括号的乘方的底数，进而导致符号判断错误，做题时需先明确底数再进行运算。
【难度系数】
0.7
7.拉面馆的师傅用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合、拉伸，反复多次，就能拉成许多细面条.示意图如图所示.
(1)第3次捏合后，可以拉出
(2)若拉出128根细面条，则捏合的次数是多少？
(1)第3次捏合后，可以拉出
8
根细面条；(2)若拉出128根细面条，则捏合的次数是多少？
答案
7. (1) 8 解析 根据题意,得 $2^3=8$,故第 3 次捏合后可以拉出 8 根细面条.
(2) 解 由于 $128=2^7$,因此若拉出 128根细面条,则捏合的次数是 7,故捏合了7次.
(2) 解 由于 $128=2^7$,因此若拉出 128根细面条,则捏合的次数是 7,故捏合了7次.
解析
【分析】
首先观察每次捏合后面条的数量变化：第1次捏合后有2根，即2的1次方；第2次捏合后有4根，即2的2次方，可归纳得出规律：第n次捏合后，细面条的数量为2的n次方。(1)求第3次的数量，直接代入n=3计算2的3次方即可；(2)已知面条总数为128，只需找到正整数n使得2的n次方等于128，即可得到捏合次数。
【解析】
(1) 由题意可总结规律：第n次捏合后，细面条的根数为$2^n$。
当$n=3$时，$2^3=2×2×2=8$，因此第3次捏合后可以拉出8根细面条。
(2) 设捏合的次数为$n$，根据规律可得等式$2^n=128$。
因为$2^7=2×2×2×2×2×2×2=128$，所以$n=7$，即拉出128根细面条时捏合的次数是7次。
【答案】
(1) $\boxed{8}$；(2) $\boxed{7}$次
【知识点】
乘方的意义；乘方运算；规律探究
【点评】
本题结合生活中的拉面场景考查乘方的实际应用，解题核心是通过观察特例归纳出捏合次数与面条数量的乘方关系，将实际问题转化为乘方计算问题，侧重考查学生的规律归纳能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.8
首先观察每次捏合后面条的数量变化：第1次捏合后有2根，即2的1次方；第2次捏合后有4根，即2的2次方，可归纳得出规律：第n次捏合后，细面条的数量为2的n次方。(1)求第3次的数量，直接代入n=3计算2的3次方即可；(2)已知面条总数为128，只需找到正整数n使得2的n次方等于128，即可得到捏合次数。
【解析】
(1) 由题意可总结规律：第n次捏合后，细面条的根数为$2^n$。
当$n=3$时，$2^3=2×2×2=8$，因此第3次捏合后可以拉出8根细面条。
(2) 设捏合的次数为$n$，根据规律可得等式$2^n=128$。
因为$2^7=2×2×2×2×2×2×2=128$，所以$n=7$，即拉出128根细面条时捏合的次数是7次。
【答案】
(1) $\boxed{8}$；(2) $\boxed{7}$次
【知识点】
乘方的意义；乘方运算；规律探究
【点评】
本题结合生活中的拉面场景考查乘方的实际应用，解题核心是通过观察特例归纳出捏合次数与面条数量的乘方关系，将实际问题转化为乘方计算问题，侧重考查学生的规律归纳能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.8
