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典例1 约分：
(1)$\frac{5xy}{20x^2y}$；(2)$\frac{a^2+ab}{ab+b^2}$.
规律方法 如果分式的分子、分母都是单项式，那么直接约去分子、分母的公因式；如果分式的分子、分母中至少有一个多项式，那么先分解因式，再约去分子、分母的公因式.
举一反三 约分：
(1)$\frac{3x^3y^2}{6x^2y^3}$；(2)
$\frac{x^2-16}{x^2-8x+16}$.
典例解析
(1)$\frac{5xy}{20x^2y}$；(2)$\frac{a^2+ab}{ab+b^2}$.
规律方法 如果分式的分子、分母都是单项式，那么直接约去分子、分母的公因式；如果分式的分子、分母中至少有一个多项式，那么先分解因式，再约去分子、分母的公因式.
举一反三 约分：
(1)$\frac{3x^3y^2}{6x^2y^3}$；(2)
$\frac{x^2-16}{x^2-8x+16}$.典例解析
答案
1. $\frac{3x^3y^2}{6x^2y^3} = \frac{3x^2y^2 · x}{3x^2y^2 · 2y} = \frac{x}{2y}.$
2. $\frac{x^2-16}{x^2-8x+16} = \frac{(x+4)(x-4)}{(x-4)^2} = \frac{x+4}{x-4}.$
2. $\frac{x^2-16}{x^2-8x+16} = \frac{(x+4)(x-4)}{(x-4)^2} = \frac{x+4}{x-4}.$
解析
【分析】
约分需根据分子分母的形式选择对应方法：(1)第一小题分子分母都是单项式，先确定公因式：系数的最大公约数为3，相同字母x的最低次幂是$x^2$，y的最低次幂是$y^2$，得到公因式$3x^2y^2$，约去公因式即可化简。(2)第二小题分子分母都是多项式，先利用公式因式分解：分子$x^2-16$是平方差形式，分解为$(x+4)(x-4)$；分母$x^2-8x+16$是完全平方形式，分解为$(x-4)^2$，再约去公因式$(x-4)$即可得到最简分式。
【解析】
(1) $\frac{3x^3y^2}{6x^2y^3} = \frac{3x^2y^2 · x}{3x^2y^2 · 2y} = \frac{x}{2y}$
(2) $\frac{x^2-16}{x^2-8x+16} = \frac{(x+4)(x-4)}{(x-4)^2} = \frac{x+4}{x-4}$
【答案】
(1) $\boxed{\dfrac{x}{2y}}$；(2) $\boxed{\dfrac{x+4}{x-4}}$
【知识点】
分式约分、平方差公式、完全平方公式
【点评】
本题是分式约分的基础题型，覆盖了单项式、多项式两类分式的约分方法，解题关键是准确找到分子分母的公因式，多项式类分式需先分解因式再约分，掌握因式分解的基本公式是解题的基础。
【难度系数】
0.85
约分需根据分子分母的形式选择对应方法：(1)第一小题分子分母都是单项式，先确定公因式：系数的最大公约数为3，相同字母x的最低次幂是$x^2$，y的最低次幂是$y^2$，得到公因式$3x^2y^2$，约去公因式即可化简。(2)第二小题分子分母都是多项式，先利用公式因式分解：分子$x^2-16$是平方差形式，分解为$(x+4)(x-4)$；分母$x^2-8x+16$是完全平方形式，分解为$(x-4)^2$，再约去公因式$(x-4)$即可得到最简分式。
【解析】
(1) $\frac{3x^3y^2}{6x^2y^3} = \frac{3x^2y^2 · x}{3x^2y^2 · 2y} = \frac{x}{2y}$
(2) $\frac{x^2-16}{x^2-8x+16} = \frac{(x+4)(x-4)}{(x-4)^2} = \frac{x+4}{x-4}$
【答案】
(1) $\boxed{\dfrac{x}{2y}}$；(2) $\boxed{\dfrac{x+4}{x-4}}$
【知识点】
分式约分、平方差公式、完全平方公式
【点评】
本题是分式约分的基础题型，覆盖了单项式、多项式两类分式的约分方法，解题关键是准确找到分子分母的公因式，多项式类分式需先分解因式再约分，掌握因式分解的基本公式是解题的基础。
【难度系数】
0.85
典例2 通分：
(1)$\frac{1}{a^2b}, -\frac{2}{ab^2}$;(2)$\frac{1}{x^2 - y^2}, \frac{1}{x^2 + xy}$.
规律方法 通分的一般步骤：
(1)将所有分式的分母化为乘积的形式，当分母为多项式时，应进行因式分解；
(2)确定最简公分母，即各分母的所有因式的最高次幂的积；
(3)将分子、分母乘同一个因式，使分母变为最简公分母。
(1)$\frac{1}{a^2b}, -\frac{2}{ab^2}$;(2)$\frac{1}{x^2 - y^2}, \frac{1}{x^2 + xy}$.
规律方法 通分的一般步骤：
(1)将所有分式的分母化为乘积的形式，当分母为多项式时，应进行因式分解；
(2)确定最简公分母，即各分母的所有因式的最高次幂的积；
(3)将分子、分母乘同一个因式，使分母变为最简公分母。
答案
解：
(1) 两个分式的分母分别为$a^2b$、$ab^2$，可得最简公分母是$a^2b^2$。
$\frac{1}{a^2b} = \frac{1 · b}{a^2b · b} = \frac{b}{a^2b^2}$，
$-\frac{2}{ab^2} = -\frac{2 · a}{ab^2 · a} = -\frac{2a}{a^2b^2}$。
(2) 先对分母因式分解：
$x^2 - y^2 = (x+y)(x-y)$，
$x^2 + xy = x(x+y)$，
可得最简公分母是$x(x+y)(x-y)$。
$\frac{1}{x^2 - y^2} = \frac{1 · x}{(x+y)(x-y) · x} = \frac{x}{x(x+y)(x-y)}$，
$\frac{1}{x^2 + xy} = \frac{1 · (x-y)}{x(x+y) · (x-y)} = \frac{x-y}{x(x+y)(x-y)}$。
(1) 两个分式的分母分别为$a^2b$、$ab^2$，可得最简公分母是$a^2b^2$。
$\frac{1}{a^2b} = \frac{1 · b}{a^2b · b} = \frac{b}{a^2b^2}$，
$-\frac{2}{ab^2} = -\frac{2 · a}{ab^2 · a} = -\frac{2a}{a^2b^2}$。
(2) 先对分母因式分解：
$x^2 - y^2 = (x+y)(x-y)$，
$x^2 + xy = x(x+y)$，
可得最简公分母是$x(x+y)(x-y)$。
$\frac{1}{x^2 - y^2} = \frac{1 · x}{(x+y)(x-y) · x} = \frac{x}{x(x+y)(x-y)}$，
$\frac{1}{x^2 + xy} = \frac{1 · (x-y)}{x(x+y) · (x-y)} = \frac{x-y}{x(x+y)(x-y)}$。
解析
【分析】
通分的核心是先确定各分式的最简公分母，再利用分式的基本性质将各分式的分母统一为最简公分母。①对于(1)中分母为单项式的情况：最简公分母取各分母系数的最小公倍数、相同字母的最高次幂的乘积，得到$a^2b^2$后，分别给两个分式的分子、分母同乘各自缺少的因式即可。②对于(2)中分母为多项式的情况：先对分母因式分解，$x^2-y^2$用平方差公式分解，$x^2+xy$用提公因式法分解，再根据分解后的因式确定最简公分母，最后给各分式的分子、分母同乘缺少的因式完成通分。
【解析】
(1) 两个分式的分母分别为$a^2b$、$ab^2$，可得最简公分母是$a^2b^2$。
$\frac{1}{a^2b} = \frac{1 · b}{a^2b · b} = \frac{b}{a^2b^2}$，
$-\frac{2}{ab^2} = -\frac{2 · a}{ab^2 · a} = -\frac{2a}{a^2b^2}$。
(2) 先对分母因式分解：
$x^2 - y^2 = (x+y)(x-y)$，
$x^2 + xy = x(x+y)$，
可得最简公分母是$x(x+y)(x-y)$。
$\frac{1}{x^2 - y^2} = \frac{1 · x}{(x+y)(x-y) · x} = \frac{x}{x(x+y)(x-y)}$，
$\frac{1}{x^2 + xy} = \frac{1 · (x-y)}{x(x+y) · (x-y)} = \frac{x-y}{x(x+y)(x-y)}$。
【答案】
(1) $\frac{b}{a^2b^2}, -\frac{2a}{a^2b^2}$；
(2) $\frac{x}{x(x+y)(x-y)}, \frac{x-y}{x(x+y)(x-y)}$
【知识点】
分式通分，因式分解，最简公分母确定
【点评】
本题是分式通分的基础题型，重点考查通分的标准步骤，需要注意当分母为多项式时，必须先因式分解再确定最简公分母，避免找错公分母，掌握本题是后续学习分式加减运算的重要基础。
【难度系数】
0.8
通分的核心是先确定各分式的最简公分母，再利用分式的基本性质将各分式的分母统一为最简公分母。①对于(1)中分母为单项式的情况：最简公分母取各分母系数的最小公倍数、相同字母的最高次幂的乘积，得到$a^2b^2$后，分别给两个分式的分子、分母同乘各自缺少的因式即可。②对于(2)中分母为多项式的情况：先对分母因式分解，$x^2-y^2$用平方差公式分解，$x^2+xy$用提公因式法分解，再根据分解后的因式确定最简公分母，最后给各分式的分子、分母同乘缺少的因式完成通分。
【解析】
(1) 两个分式的分母分别为$a^2b$、$ab^2$，可得最简公分母是$a^2b^2$。
$\frac{1}{a^2b} = \frac{1 · b}{a^2b · b} = \frac{b}{a^2b^2}$，
$-\frac{2}{ab^2} = -\frac{2 · a}{ab^2 · a} = -\frac{2a}{a^2b^2}$。
(2) 先对分母因式分解：
$x^2 - y^2 = (x+y)(x-y)$，
$x^2 + xy = x(x+y)$，
可得最简公分母是$x(x+y)(x-y)$。
$\frac{1}{x^2 - y^2} = \frac{1 · x}{(x+y)(x-y) · x} = \frac{x}{x(x+y)(x-y)}$，
$\frac{1}{x^2 + xy} = \frac{1 · (x-y)}{x(x+y) · (x-y)} = \frac{x-y}{x(x+y)(x-y)}$。
【答案】
(1) $\frac{b}{a^2b^2}, -\frac{2a}{a^2b^2}$；
(2) $\frac{x}{x(x+y)(x-y)}, \frac{x-y}{x(x+y)(x-y)}$
【知识点】
分式通分，因式分解，最简公分母确定
【点评】
本题是分式通分的基础题型，重点考查通分的标准步骤，需要注意当分母为多项式时，必须先因式分解再确定最简公分母，避免找错公分母，掌握本题是后续学习分式加减运算的重要基础。
【难度系数】
0.8
举一反三 通分：
(1)$\frac{1}{4a^2},\frac{b}{2ac}$；(2)$\frac{2}{9-3a},\frac{a-1}{a^2-9}$.
$\frac{1}{a^2b}=\frac{b}{a^2b^2},-\frac{2}{ab^2}=-\frac{2a}{a^2b^2}.$
(2)最简公分母是$x(x+y)(x-y).$
$\frac{1}{x^2-y^2}=\frac{x}{x(x+y)(x-y)}=\frac{x}{x^3-xy^2},$
$\frac{1}{x^2+xy}=\frac{x-y}{x(x+y)(x-y)}=\frac{x-y}{x^3-xy^2}.$
(1)$\frac{1}{4a^2},\frac{b}{2ac}$；(2)$\frac{2}{9-3a},\frac{a-1}{a^2-9}$.
$\frac{1}{a^2b}=\frac{b}{a^2b^2},-\frac{2}{ab^2}=-\frac{2a}{a^2b^2}.$
(2)最简公分母是$x(x+y)(x-y).$
$\frac{1}{x^2-y^2}=\frac{x}{x(x+y)(x-y)}=\frac{x}{x^3-xy^2},$
$\frac{1}{x^2+xy}=\frac{x-y}{x(x+y)(x-y)}=\frac{x-y}{x^3-xy^2}.$
答案
1. 最简公分母是$4a^2c$.
$\frac{1}{4a^2} = \frac{1 · c}{4a^2 · c} = \frac{c}{4a^2c},$
$\frac{b}{2ac} = \frac{b · 2a}{2ac · 2a} = \frac{2ab}{4a^2c}.$
2. 最简公分母是$3(a+3)(a-3).$
$\frac{2}{9-3a} = -\frac{2}{3(a-3)}$
$= -\frac{2 · (a+3)}{3(a-3) · (a+3)}$
$= -\frac{2a+6}{3a^2-27},$
$\frac{a-1}{a^2-9} = \frac{a-1}{(a+3)(a-3)}$
$= \frac{(a-1) · 3}{(a+3)(a-3) · 3}$
$= \frac{3a-3}{3a^2-27}.$
$\frac{1}{4a^2} = \frac{1 · c}{4a^2 · c} = \frac{c}{4a^2c},$
$\frac{b}{2ac} = \frac{b · 2a}{2ac · 2a} = \frac{2ab}{4a^2c}.$
2. 最简公分母是$3(a+3)(a-3).$
$\frac{2}{9-3a} = -\frac{2}{3(a-3)}$
$= -\frac{2 · (a+3)}{3(a-3) · (a+3)}$
$= -\frac{2a+6}{3a^2-27},$
$\frac{a-1}{a^2-9} = \frac{a-1}{(a+3)(a-3)}$
$= \frac{(a-1) · 3}{(a+3)(a-3) · 3}$
$= \frac{3a-3}{3a^2-27}.$
解析
【分析】
通分的核心是先确定各分式的最简公分母，再根据分式的基本性质，将各分式的分子分母同乘适当的整式，使分母都变为最简公分母。解题步骤如下：1. 找最简公分母：若分母是单项式，取各分母系数的最小公倍数、相同字母的最高次幂、所有不同字母的乘积作为最简公分母；若分母是多项式，先对各分母因式分解，再类比单项式的方法找最简公分母。2. 利用分式基本性质，给每个分式的分子、分母同乘原分母缺少的因式，完成通分。本题(1)的分母是单项式，可直接按规则找公分母；(2)的分母是多项式，需先因式分解再找公分母，同时注意符号的处理。
【解析】
(1) 先确定最简公分母：分母分别为$4a^2$和$2ac$，系数4和2的最小公倍数是4，$a$的最高次幂是$a^2$，还有单独的因式$c$，因此最简公分母是$4a^2c$。
根据分式的基本性质变形：
$\frac{1}{4a^2} = \frac{1 · c}{4a^2 · c} = \frac{c}{4a^2c}$
$\frac{b}{2ac} = \frac{b · 2a}{2ac · 2a} = \frac{2ab}{4a^2c}$
(2) 先对分母因式分解：$9-3a=3(3-a)=-3(a-3)$，$a^2-9=(a+3)(a-3)$。
确定最简公分母：系数最小公倍数是3，因式有$(a-3)$、$(a+3)$，因此最简公分母是$3(a+3)(a-3)$。
根据分式的基本性质变形：
$\frac{2}{9-3a} = -\frac{2}{3(a-3)} = -\frac{2 · (a+3)}{3(a-3) · (a+3)} = -\frac{2a+6}{3a^2-27}$
$\frac{a-1}{a^2-9} = \frac{a-1}{(a+3)(a-3)} = \frac{(a-1) · 3}{(a+3)(a-3) · 3} = \frac{3a-3}{3a^2-27}$
【答案】
1. 最简公分母是$4a^2c$.
$\frac{1}{4a^2} = \frac{1 · c}{4a^2 · c} = \frac{c}{4a^2c},$
$\frac{b}{2ac} = \frac{b · 2a}{2ac · 2a} = \frac{2ab}{4a^2c}.$
2. 最简公分母是$3(a+3)(a-3).$
$\frac{2}{9-3a} = -\frac{2}{3(a-3)}$
$= -\frac{2 · (a+3)}{3(a-3) · (a+3)}$
$= -\frac{2a+6}{3a^2-27},$
$\frac{a-1}{a^2-9} = \frac{a-1}{(a+3)(a-3)}$
$= \frac{(a-1) · 3}{(a+3)(a-3) · 3}$
$= \frac{3a-3}{3a^2-27}.$
【知识点】
分式通分，最简公分母确定，因式分解
【点评】
本题是分式通分的基础题型，解题关键是熟练掌握最简公分母的确定方法，注意多项式分母要先因式分解，变形时注意符号的处理，为后续分式的加减运算打好基础。
【难度系数】
0.8
通分的核心是先确定各分式的最简公分母，再根据分式的基本性质，将各分式的分子分母同乘适当的整式，使分母都变为最简公分母。解题步骤如下：1. 找最简公分母：若分母是单项式，取各分母系数的最小公倍数、相同字母的最高次幂、所有不同字母的乘积作为最简公分母；若分母是多项式，先对各分母因式分解，再类比单项式的方法找最简公分母。2. 利用分式基本性质，给每个分式的分子、分母同乘原分母缺少的因式，完成通分。本题(1)的分母是单项式，可直接按规则找公分母；(2)的分母是多项式，需先因式分解再找公分母，同时注意符号的处理。
【解析】
(1) 先确定最简公分母：分母分别为$4a^2$和$2ac$，系数4和2的最小公倍数是4，$a$的最高次幂是$a^2$，还有单独的因式$c$，因此最简公分母是$4a^2c$。
根据分式的基本性质变形：
$\frac{1}{4a^2} = \frac{1 · c}{4a^2 · c} = \frac{c}{4a^2c}$
$\frac{b}{2ac} = \frac{b · 2a}{2ac · 2a} = \frac{2ab}{4a^2c}$
(2) 先对分母因式分解：$9-3a=3(3-a)=-3(a-3)$，$a^2-9=(a+3)(a-3)$。
确定最简公分母：系数最小公倍数是3，因式有$(a-3)$、$(a+3)$，因此最简公分母是$3(a+3)(a-3)$。
根据分式的基本性质变形：
$\frac{2}{9-3a} = -\frac{2}{3(a-3)} = -\frac{2 · (a+3)}{3(a-3) · (a+3)} = -\frac{2a+6}{3a^2-27}$
$\frac{a-1}{a^2-9} = \frac{a-1}{(a+3)(a-3)} = \frac{(a-1) · 3}{(a+3)(a-3) · 3} = \frac{3a-3}{3a^2-27}$
【答案】
1. 最简公分母是$4a^2c$.
$\frac{1}{4a^2} = \frac{1 · c}{4a^2 · c} = \frac{c}{4a^2c},$
$\frac{b}{2ac} = \frac{b · 2a}{2ac · 2a} = \frac{2ab}{4a^2c}.$
2. 最简公分母是$3(a+3)(a-3).$
$\frac{2}{9-3a} = -\frac{2}{3(a-3)}$
$= -\frac{2 · (a+3)}{3(a-3) · (a+3)}$
$= -\frac{2a+6}{3a^2-27},$
$\frac{a-1}{a^2-9} = \frac{a-1}{(a+3)(a-3)}$
$= \frac{(a-1) · 3}{(a+3)(a-3) · 3}$
$= \frac{3a-3}{3a^2-27}.$
【知识点】
分式通分，最简公分母确定，因式分解
【点评】
本题是分式通分的基础题型，解题关键是熟练掌握最简公分母的确定方法，注意多项式分母要先因式分解，变形时注意符号的处理，为后续分式的加减运算打好基础。
【难度系数】
0.8
