登录
2. 把分式$\frac{x+y}{x}$中的$x,y$的值同时扩大为原来的2倍,则分式的值(
A.不变
B.扩大为原来的2倍
C.扩大为原来的4倍
D.缩小为原来的一半
A
).A.不变
B.扩大为原来的2倍
C.扩大为原来的4倍
D.缩小为原来的一半
答案
2. A
解析
【分析】
要判断x、y同时扩大为原来的2倍后分式的值的变化情况，我们可以按以下思路思考：首先将原分式中的x替换为2x、y替换为2y，写出变化后的新分式，再利用分式的基本性质对新分式进行化简，最后将化简后的结果和原分式对比，即可判断分式值的变化情况。
【解析】
将原分式$\frac{x+y}{x}$中的$x$、$y$都替换为原来的2倍，即$x$变为$2x$，$y$变为$2y$，代入得到新分式：
$\frac{2x+2y}{2x}$
对分子提取公因式2，可得：
$\frac{2(x+y)}{2x}$
根据分式的基本性质，分子分母同时除以不为0的2，约分后得：
$\frac{x+y}{x}$
该结果和原分式完全相同，因此分式的值不变。
【答案】
A
【知识点】
分式的基本性质、分式的化简
【点评】
本题是分式性质的基础应用题型，解题核心是准确代入变化后的变量，通过化简对比得到结论，掌握分式的基本性质即可轻松解答。
【难度系数】
0.9
要判断x、y同时扩大为原来的2倍后分式的值的变化情况，我们可以按以下思路思考：首先将原分式中的x替换为2x、y替换为2y，写出变化后的新分式，再利用分式的基本性质对新分式进行化简，最后将化简后的结果和原分式对比，即可判断分式值的变化情况。
【解析】
将原分式$\frac{x+y}{x}$中的$x$、$y$都替换为原来的2倍，即$x$变为$2x$，$y$变为$2y$，代入得到新分式：
$\frac{2x+2y}{2x}$
对分子提取公因式2，可得：
$\frac{2(x+y)}{2x}$
根据分式的基本性质，分子分母同时除以不为0的2，约分后得：
$\frac{x+y}{x}$
该结果和原分式完全相同，因此分式的值不变。
【答案】
A
【知识点】
分式的基本性质、分式的化简
【点评】
本题是分式性质的基础应用题型，解题核心是准确代入变化后的变量，通过化简对比得到结论，掌握分式的基本性质即可轻松解答。
【难度系数】
0.9
3. 下列分式从左到右的变形中，一定成立的是(
A.$\frac{a}{b}=\frac{a+m}{b+m}$
B.$\frac{am}{bm}=\frac{a}{b}$
C.$\frac{a}{b}=\frac{am}{bm}$
D.$\frac{a}{b}=\frac{a-m}{b-m}$
B
).A.$\frac{a}{b}=\frac{a+m}{b+m}$
B.$\frac{am}{bm}=\frac{a}{b}$
C.$\frac{a}{b}=\frac{am}{bm}$
D.$\frac{a}{b}=\frac{a-m}{b-m}$
答案
3. B
解析
【分析】
本题考查分式基本性质的应用，解题思路如下：首先明确分式基本性质的核心：分式的分子、分母只能同时乘或除以同一个不为0的整式，分式的值才不变，加减同一个整式的变形不成立。第一步先排除分子分母做加减运算的A、D选项；第二步对比B、C选项，判断变形是否满足“乘除的整式不为0”的前提条件，即可得出正确答案。
【解析】
根据分式的基本性质：分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变，逐一分析选项：
1. 分析选项A、D：两个选项都是对分式的分子、分母同时加或减m，不符合分式基本性质要求的乘除运算，变形不成立，排除A、D；
2. 分析选项B：左边$\frac{am}{bm}$是有意义的分式，因此分母$bm≠0$，即隐含$m≠0$的条件，符合分式基本性质中“除以的整式不为0”的要求，分子分母同时除以m可得$\frac{a}{b}$，变形一定成立；
3. 分析选项C：该变形是分子分母同时乘m，但未给出$m≠0$的限制，若$m=0$，右边$\frac{am}{bm}$的分母为0，无意义，因此变形不一定成立，排除C。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
分式的基本性质、分式有意义的条件
【点评】
本题是分式性质的基础易考题，易错点是容易忽略分式基本性质中“乘除的整式不能为0”的前提，要注意区分B、C选项的隐含条件差异：B选项左侧分式有意义已经保证了m≠0，而C选项没有m≠0的限制，因此不一定成立。
【难度系数】
0.7
本题考查分式基本性质的应用，解题思路如下：首先明确分式基本性质的核心：分式的分子、分母只能同时乘或除以同一个不为0的整式，分式的值才不变，加减同一个整式的变形不成立。第一步先排除分子分母做加减运算的A、D选项；第二步对比B、C选项，判断变形是否满足“乘除的整式不为0”的前提条件，即可得出正确答案。
【解析】
根据分式的基本性质：分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变，逐一分析选项：
1. 分析选项A、D：两个选项都是对分式的分子、分母同时加或减m，不符合分式基本性质要求的乘除运算，变形不成立，排除A、D；
2. 分析选项B：左边$\frac{am}{bm}$是有意义的分式，因此分母$bm≠0$，即隐含$m≠0$的条件，符合分式基本性质中“除以的整式不为0”的要求，分子分母同时除以m可得$\frac{a}{b}$，变形一定成立；
3. 分析选项C：该变形是分子分母同时乘m，但未给出$m≠0$的限制，若$m=0$，右边$\frac{am}{bm}$的分母为0，无意义，因此变形不一定成立，排除C。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
分式的基本性质、分式有意义的条件
【点评】
本题是分式性质的基础易考题，易错点是容易忽略分式基本性质中“乘除的整式不能为0”的前提，要注意区分B、C选项的隐含条件差异：B选项左侧分式有意义已经保证了m≠0，而C选项没有m≠0的限制，因此不一定成立。
【难度系数】
0.7
4.填空：
(1)$\frac{3x^2y}{5xy^2}=\frac{(\quad)}{5y}$；
$\frac{y}{3x}=\frac{(\quad)}{15x^2y}(y≠0)$。
(1)$\frac{3x^2y}{5xy^2}=\frac{(\quad)}{5y}$；
$\frac{y}{3x}=\frac{(\quad)}{15x^2y}(y≠0)$。答案
(1) 3x (2) 5xy²
解析
【分析】
本题考查分式基本性质的应用，解题思路如下：
1. 回忆分式基本性质：分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。
2. 第(1)小题：先对比等式左右两边的分母，判断分母的运算方式，再对分子做相同的运算即可得到括号内的式子；
3. 第(2)小题：同样先对比等式左右两边的分母，判断分母的运算方式，结合y≠0的条件，对分子做相同运算得到结果。
【解析】
(1) 观察等式两边的分母：左边分母为$5xy^2$，右边分母为$5y$，可得$5xy^2 ÷ xy = 5y$。
根据分式的基本性质，分子也需要除以不为0的整式$xy$（原分式有意义，故$xy≠0$）：
左边分子为$3x^2y$，$3x^2y ÷ xy = 3x$，因此括号内应填$3x$。
(2) 观察等式两边的分母：左边分母为$3x$，右边分母为$15x^2y$，可得$3x × 5xy = 15x^2y$。
已知$y≠0$，故$5xy≠0$，根据分式的基本性质，分子也需要乘$5xy$：
左边分子为$y$，$y × 5xy = 5xy^2$，因此括号内应填$5xy^2$。
【答案】
(1) $3x$；(2) $5xy^2$
【知识点】
分式的基本性质；分式约分；分式通分
【点评】
本题是分式性质的基础应用题型，核心是找准分子或分母的变化规律，运算时要注意保证所乘除的整式不为0，熟练掌握分式基本性质即可快速解题。
【难度系数】
0.9
本题考查分式基本性质的应用，解题思路如下：
1. 回忆分式基本性质：分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。
2. 第(1)小题：先对比等式左右两边的分母，判断分母的运算方式，再对分子做相同的运算即可得到括号内的式子；
3. 第(2)小题：同样先对比等式左右两边的分母，判断分母的运算方式，结合y≠0的条件，对分子做相同运算得到结果。
【解析】
(1) 观察等式两边的分母：左边分母为$5xy^2$，右边分母为$5y$，可得$5xy^2 ÷ xy = 5y$。
根据分式的基本性质，分子也需要除以不为0的整式$xy$（原分式有意义，故$xy≠0$）：
左边分子为$3x^2y$，$3x^2y ÷ xy = 3x$，因此括号内应填$3x$。
(2) 观察等式两边的分母：左边分母为$3x$，右边分母为$15x^2y$，可得$3x × 5xy = 15x^2y$。
已知$y≠0$，故$5xy≠0$，根据分式的基本性质，分子也需要乘$5xy$：
左边分子为$y$，$y × 5xy = 5xy^2$，因此括号内应填$5xy^2$。
【答案】
(1) $3x$；(2) $5xy^2$
【知识点】
分式的基本性质；分式约分；分式通分
【点评】
本题是分式性质的基础应用题型，核心是找准分子或分母的变化规律，运算时要注意保证所乘除的整式不为0，熟练掌握分式基本性质即可快速解题。
【难度系数】
0.9
5. 不改变分式的值，把下列分式中分子与分母的各项系数化为整数：
(1) $\frac{0.2x - 0.3y}{0.6x + 0.1y}$
(2) $\frac{\frac{1}{3}x - \frac{1}{2}y}{\frac{1}{2}x + \frac{1}{3}y}$
(1) $\frac{0.2x - 0.3y}{0.6x + 0.1y}$
(2) $\frac{\frac{1}{3}x - \frac{1}{2}y}{\frac{1}{2}x + \frac{1}{3}y}$答案
5. 解 （1）$\frac{0.2x - 0.3y}{0.6x + 0.1y} =\frac{(0.2x - 0.3y)×10}{(0.6x + 0.1y)×10}=\frac{2x - 3y}{6x + y}$
（2）$\frac{\frac{1}{3}x - \frac{1}{2}y}{\frac{1}{2}x + \frac{1}{3}y} =\frac{(\frac{1}{3}x - \frac{1}{2}y)×6}{(\frac{1}{2}x + \frac{1}{3}y)×6}=\frac{2x - 3y}{3x + 2y}$
（2）$\frac{\frac{1}{3}x - \frac{1}{2}y}{\frac{1}{2}x + \frac{1}{3}y} =\frac{(\frac{1}{3}x - \frac{1}{2}y)×6}{(\frac{1}{2}x + \frac{1}{3}y)×6}=\frac{2x - 3y}{3x + 2y}$
解析
【分析】
要把分式分子分母的各项系数化为整数且不改变分式的值，需依据分式的基本性质：分式的分子与分母同乘一个不等于0的数，分式的值不变。
对于(1)，分子分母的系数都是一位小数，因此给分子、分母同时乘10，即可将所有系数化为整数，注意每一项都要乘10，不能漏乘。
对于(2)，分子分母的系数是分数，分母分别为3和2，先求出2和3的最小公倍数是6，给分子、分母同时乘6，就可以消去分数，将系数化为整数，同样要保证分子、分母的每一项都乘6。
【解析】
(1) 根据分式的基本性质，给分子分母同时乘10：
$\frac{0.2x - 0.3y}{0.6x + 0.1y} =\frac{(0.2x - 0.3y)×10}{(0.6x + 0.1y)×10}=\frac{2x - 3y}{6x + y}$
(2) 根据分式的基本性质，给分子分母同时乘2和3的最小公倍数6：
$\frac{\frac{1}{3}x - \frac{1}{2}y}{\frac{1}{2}x + \frac{1}{3}y} =\frac{(\frac{1}{3}x - \frac{1}{2}y)×6}{(\frac{1}{2}x + \frac{1}{3}y)×6}=\frac{2x - 3y}{3x + 2y}$
【答案】
(1) $\frac{2x - 3y}{6x + y}$；(2) $\frac{2x - 3y}{3x + 2y}$
【知识点】
1. 分式的基本性质
2. 最小公倍数应用
【点评】
本题是分式化简的基础题型，解题核心是熟练掌握分式的基本性质，易错点是乘公因数时漏乘分子或分母中的某一项，计算时要格外注意。
【难度系数】
0.8
要把分式分子分母的各项系数化为整数且不改变分式的值，需依据分式的基本性质：分式的分子与分母同乘一个不等于0的数，分式的值不变。
对于(1)，分子分母的系数都是一位小数，因此给分子、分母同时乘10，即可将所有系数化为整数，注意每一项都要乘10，不能漏乘。
对于(2)，分子分母的系数是分数，分母分别为3和2，先求出2和3的最小公倍数是6，给分子、分母同时乘6，就可以消去分数，将系数化为整数，同样要保证分子、分母的每一项都乘6。
【解析】
(1) 根据分式的基本性质，给分子分母同时乘10：
$\frac{0.2x - 0.3y}{0.6x + 0.1y} =\frac{(0.2x - 0.3y)×10}{(0.6x + 0.1y)×10}=\frac{2x - 3y}{6x + y}$
(2) 根据分式的基本性质，给分子分母同时乘2和3的最小公倍数6：
$\frac{\frac{1}{3}x - \frac{1}{2}y}{\frac{1}{2}x + \frac{1}{3}y} =\frac{(\frac{1}{3}x - \frac{1}{2}y)×6}{(\frac{1}{2}x + \frac{1}{3}y)×6}=\frac{2x - 3y}{3x + 2y}$
【答案】
(1) $\frac{2x - 3y}{6x + y}$；(2) $\frac{2x - 3y}{3x + 2y}$
【知识点】
1. 分式的基本性质
2. 最小公倍数应用
【点评】
本题是分式化简的基础题型，解题核心是熟练掌握分式的基本性质，易错点是乘公因数时漏乘分子或分母中的某一项，计算时要格外注意。
【难度系数】
0.8
6. 在括号里填上使等式成立的式子：
$\frac{2x + \frac{1}{3}y}{\frac{5}{6}x - y} = \frac{(\quad)}{5x - 6y}.$
括号内的式子为________。
$\frac{2x + \frac{1}{3}y}{\frac{5}{6}x - y} = \frac{(\quad)}{5x - 6y}.$
括号内的式子为________。
答案
12x + 2y 解析 $\frac{2x + \frac{1}{3}y}{\frac{5}{6}x - y} =\frac{6(2x + \frac{1}{3}y)}{6(\frac{5}{6}x - y)}=\frac{12x + 2y}{5x - 6y}$
解析
【分析】
本题可利用分式的基本性质求解。首先观察等式左右两边分母的变化：左边分母为$\frac{5}{6}x - y$，右边分母为$5x - 6y$，计算可得右边分母是左边分母乘6得到的。根据分式的基本性质，要使分式值不变，分子也需要同时乘6，再计算乘6后的结果即可得到括号内的式子。
【解析】
根据分式的基本性质：分式的分子与分母乘同一个不等于0的整式，分式的值不变。
观察分母的变化：$6×(\frac{5}{6}x - y)=5x - 6y$，即分母乘了6，因此分子也要乘6。
对左边分子乘6计算：
$6×(2x + \frac{1}{3}y)=6×2x + 6×\frac{1}{3}y=12x + 2y$
因此括号内的式子为$12x + 2y$。
【答案】
$12x + 2y$
【知识点】
分式的基本性质、整式乘法运算
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是先找到分母的变形规律，确定分子分母同乘的非零数，计算分子时要注意给每一项都乘这个数，避免漏乘出错。
【难度系数】
0.8
本题可利用分式的基本性质求解。首先观察等式左右两边分母的变化：左边分母为$\frac{5}{6}x - y$，右边分母为$5x - 6y$，计算可得右边分母是左边分母乘6得到的。根据分式的基本性质，要使分式值不变，分子也需要同时乘6，再计算乘6后的结果即可得到括号内的式子。
【解析】
根据分式的基本性质：分式的分子与分母乘同一个不等于0的整式，分式的值不变。
观察分母的变化：$6×(\frac{5}{6}x - y)=5x - 6y$，即分母乘了6，因此分子也要乘6。
对左边分子乘6计算：
$6×(2x + \frac{1}{3}y)=6×2x + 6×\frac{1}{3}y=12x + 2y$
因此括号内的式子为$12x + 2y$。
【答案】
$12x + 2y$
【知识点】
分式的基本性质、整式乘法运算
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是先找到分母的变形规律，确定分子分母同乘的非零数，计算分子时要注意给每一项都乘这个数，避免漏乘出错。
【难度系数】
0.8
7. 不改变分式的值，把下列分式中分子与分母的最高次项的系数化为正数：
(1)$\dfrac{2 - a - a^2}{-a^3 + 3a - 1}$；
(2)$\dfrac{1 - x - x^2}{1 + x^2 + x^3}$；
(3)$-\dfrac{1 - a^3}{a^2 - a + 1}$.
(1)$\dfrac{2 - a - a^2}{-a^3 + 3a - 1}$；
(2)$\dfrac{1 - x - x^2}{1 + x^2 + x^3}$；
(3)$-\dfrac{1 - a^3}{a^2 - a + 1}$.
答案
解 (1)$\frac{2 - a - a^2}{-a^3 + 3a - 1} =\frac{-a^2 - a + 2}{-a^3 + 3a - 1}=\frac{-(a^2 + a - 2)}{-(a^3 - 3a + 1)}=\frac{a^2 + a - 2}{a^3 - 3a + 1}$
(2) $\frac{1 - x - x^2}{1 + x^2 + x^3} = \frac{-x^2 - x + 1}{x^3 + x^2 + 1} =\frac{-(x^2 + x - 1)}{x^3 + x^2 + 1}=-\frac{x^2 + x - 1}{x^3 + x^2 + 1}$
(3) $-\frac{1 - a^3}{a^2 - a + 1} = -\frac{-a^3 + 1}{a^2 - a + 1}=-\frac{-(a^3 - 1)}{a^2 - a + 1}=\frac{a^3 - 1}{a^2 - a + 1}$
(2) $\frac{1 - x - x^2}{1 + x^2 + x^3} = \frac{-x^2 - x + 1}{x^3 + x^2 + 1} =\frac{-(x^2 + x - 1)}{x^3 + x^2 + 1}=-\frac{x^2 + x - 1}{x^3 + x^2 + 1}$
(3) $-\frac{1 - a^3}{a^2 - a + 1} = -\frac{-a^3 + 1}{a^2 - a + 1}=-\frac{-(a^3 - 1)}{a^2 - a + 1}=\frac{a^3 - 1}{a^2 - a + 1}$
解析
【分析】
要解决这类问题，核心依据是分式的基本性质和分式的符号法则（分式的分子、分母、分式本身的符号，改变其中任意两个，分式的值不变）。解题可按三步进行：第一步，将分子、分母均按同一字母的降幂排列，明确最高次项的系数符号；第二步，若分子或分母的最高次项系数为负，对该整体提取负号，将负号移到括号外；第三步，根据分式符号法则调整符号，保证最终分子、分母最高次项系数为正，且分式的值不变，注意不要忽略分式本身自带的符号。
【解析】
(1) 先将分子、分母按$a$的降幂排列，再分别提取负号抵消：
$\dfrac{2 - a - a^2}{-a^3 + 3a - 1} =\dfrac{-a^2 - a + 2}{-a^3 + 3a - 1}=\dfrac{-(a^2 + a - 2)}{-(a^3 - 3a + 1)}=\dfrac{a^2 + a - 2}{a^3 - 3a + 1}$
(2) 先将分子、分母按$x$的降幂排列，分子最高次项系数为负，提取负号后移到分式前：
$\dfrac{1 - x - x^2}{1 + x^2 + x^3} = \dfrac{-x^2 - x + 1}{x^3 + x^2 + 1} =\dfrac{-(x^2 + x - 1)}{x^3 + x^2 + 1}=-\dfrac{x^2 + x - 1}{x^3 + x^2 + 1}$
(3) 先将分子按$a$的降幂排列，提取负号后与分式本身的负号抵消：
$-\dfrac{1 - a^3}{a^2 - a + 1} = -\dfrac{-a^3 + 1}{a^2 - a + 1}=-\dfrac{-(a^3 - 1)}{a^2 - a + 1}=\dfrac{a^3 - 1}{a^2 - a + 1}$
【答案】
(1)$\dfrac{a^2 + a - 2}{a^3 - 3a + 1}$；
(2)$-\dfrac{x^2 + x - 1}{x^3 + x^2 + 1}$；
(3)$\dfrac{a^3 - 1}{a^2 - a + 1}$
【知识点】
分式的基本性质；分式的符号法则
【点评】
本题是分式变形的基础题型，解题的关键是准确把握分式符号变换的规则，注意先整理多项式的排列顺序，避免看错最高次项的符号，同时不要遗漏分式本身自带的符号。
【难度系数】
0.8
要解决这类问题，核心依据是分式的基本性质和分式的符号法则（分式的分子、分母、分式本身的符号，改变其中任意两个，分式的值不变）。解题可按三步进行：第一步，将分子、分母均按同一字母的降幂排列，明确最高次项的系数符号；第二步，若分子或分母的最高次项系数为负，对该整体提取负号，将负号移到括号外；第三步，根据分式符号法则调整符号，保证最终分子、分母最高次项系数为正，且分式的值不变，注意不要忽略分式本身自带的符号。
【解析】
(1) 先将分子、分母按$a$的降幂排列，再分别提取负号抵消：
$\dfrac{2 - a - a^2}{-a^3 + 3a - 1} =\dfrac{-a^2 - a + 2}{-a^3 + 3a - 1}=\dfrac{-(a^2 + a - 2)}{-(a^3 - 3a + 1)}=\dfrac{a^2 + a - 2}{a^3 - 3a + 1}$
(2) 先将分子、分母按$x$的降幂排列，分子最高次项系数为负，提取负号后移到分式前：
$\dfrac{1 - x - x^2}{1 + x^2 + x^3} = \dfrac{-x^2 - x + 1}{x^3 + x^2 + 1} =\dfrac{-(x^2 + x - 1)}{x^3 + x^2 + 1}=-\dfrac{x^2 + x - 1}{x^3 + x^2 + 1}$
(3) 先将分子按$a$的降幂排列，提取负号后与分式本身的负号抵消：
$-\dfrac{1 - a^3}{a^2 - a + 1} = -\dfrac{-a^3 + 1}{a^2 - a + 1}=-\dfrac{-(a^3 - 1)}{a^2 - a + 1}=\dfrac{a^3 - 1}{a^2 - a + 1}$
【答案】
(1)$\dfrac{a^2 + a - 2}{a^3 - 3a + 1}$；
(2)$-\dfrac{x^2 + x - 1}{x^3 + x^2 + 1}$；
(3)$\dfrac{a^3 - 1}{a^2 - a + 1}$
【知识点】
分式的基本性质；分式的符号法则
【点评】
本题是分式变形的基础题型，解题的关键是准确把握分式符号变换的规则，注意先整理多项式的排列顺序，避免看错最高次项的符号，同时不要遗漏分式本身自带的符号。
【难度系数】
0.8
8. (1)填空：
$\frac{1}{2} = \frac{1+(\quad)}{2+4} = \frac{1+(\quad)}{2+6} = \frac{1+(\quad)}{2+8} = \frac{1+(\quad)}{2+10};$
$\frac{4}{7} = \frac{4+(\quad)}{7+14} = \frac{4+(\quad)}{7+21} = \frac{4+(\quad)}{7+28} = \frac{4+20}{7+(\quad)}.$
(2)从上面的两个等式中找规律：$\frac{a}{b} = \frac{a+(\quad)}{b+(\quad)}(n≠-1).$
$\frac{1}{2} = \frac{1+(\quad)}{2+4} = \frac{1+(\quad)}{2+6} = \frac{1+(\quad)}{2+8} = \frac{1+(\quad)}{2+10};$
$\frac{4}{7} = \frac{4+(\quad)}{7+14} = \frac{4+(\quad)}{7+21} = \frac{4+(\quad)}{7+28} = \frac{4+20}{7+(\quad)}.$
(2)从上面的两个等式中找规律：$\frac{a}{b} = \frac{a+(\quad)}{b+(\quad)}(n≠-1).$
答案
解 (1) $\frac{1}{2} = \frac{1+(2)}{2+4} = \frac{1+(3)}{2+6} = \frac{1+(4)}{2+8} = \frac{1+(5)}{2+10}$
$\frac{4}{7} = \frac{4+(8)}{7+14} = \frac{4+(12)}{7+21} = \frac{4+(16)}{7+28} =\frac{4+20}{7+(35)}$
(2) $na$ $nb$
$\frac{4}{7} = \frac{4+(8)}{7+14} = \frac{4+(12)}{7+21} = \frac{4+(16)}{7+28} =\frac{4+20}{7+(35)}$
(2) $na$ $nb$
解析
【分析】
解决本题首先要回忆分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以同一个不为0的数，分数的大小不变。解题时先计算每个等式中变化后的分母是原分母的几倍，将分子也扩大相同的倍数，再减去原来的分子即可得到括号里的数；如果已知分子的变化，就先算变化后的分子是原分子的几倍，将分母扩大相同倍数后减去原分母得到括号的数。找规律时把具体的倍数替换成字母n即可推导通用公式。
【解析】
(1) 计算$\frac{1}{2}$系列的括号：
① 变化后分母为$2+4=6$，$6÷2=3$，即分母扩大为原来的3倍，分子也要扩大为原来的3倍：$1×3=3$，括号填$3-1=2$；
② 变化后分母为$2+6=8$，$8÷2=4$，分子扩大为原来的4倍：$1×4=4$，括号填$4-1=3$；
③ 变化后分母为$2+8=10$，$10÷2=5$，分子扩大为原来的5倍：$1×5=5$，括号填$5-1=4$；
④ 变化后分母为$2+10=12$，$12÷2=6$，分子扩大为原来的6倍：$1×6=6$，括号填$6-1=5$；
计算$\frac{4}{7}$系列的括号：
① 变化后分母为$7+14=21$，$21÷7=3$，分子扩大为原来的3倍：$4×3=12$，括号填$12-4=8$；
② 变化后分母为$7+21=28$，$28÷7=4$，分子扩大为原来的4倍：$4×4=16$，括号填$16-4=12$；
③ 变化后分母为$7+28=35$，$35÷7=5$，分子扩大为原来的5倍：$4×5=20$，括号填$20-4=16$；
④ 变化后分子为$4+20=24$，$24÷4=6$，分母扩大为原来的6倍：$7×6=42$，括号填$42-7=35$；
(2) 设分母增加的是原分母的$n$倍，即变化后分母为$b+nb$，是原分母的$(n+1)$倍，分子也要扩大为原来的$(n+1)$倍，变为$a(n+1)=a+na$，因此分子增加$na$，分母增加$nb$。
【答案】
(1) 2，3，4，5；8，12，16，35
(2) $na$，$nb$
【知识点】
1. 分数的基本性质
2. 规律探究
3. 代数式表示规律
【点评】
本题以分数计算为载体，既考查了分数基本性质的灵活运用，又锻炼了从具体实例中归纳通用规律的能力，解题的关键是抓住分子分母变化的倍数关系。
【难度系数】
0.8
解决本题首先要回忆分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以同一个不为0的数，分数的大小不变。解题时先计算每个等式中变化后的分母是原分母的几倍，将分子也扩大相同的倍数，再减去原来的分子即可得到括号里的数；如果已知分子的变化，就先算变化后的分子是原分子的几倍，将分母扩大相同倍数后减去原分母得到括号的数。找规律时把具体的倍数替换成字母n即可推导通用公式。
【解析】
(1) 计算$\frac{1}{2}$系列的括号：
① 变化后分母为$2+4=6$，$6÷2=3$，即分母扩大为原来的3倍，分子也要扩大为原来的3倍：$1×3=3$，括号填$3-1=2$；
② 变化后分母为$2+6=8$，$8÷2=4$，分子扩大为原来的4倍：$1×4=4$，括号填$4-1=3$；
③ 变化后分母为$2+8=10$，$10÷2=5$，分子扩大为原来的5倍：$1×5=5$，括号填$5-1=4$；
④ 变化后分母为$2+10=12$，$12÷2=6$，分子扩大为原来的6倍：$1×6=6$，括号填$6-1=5$；
计算$\frac{4}{7}$系列的括号：
① 变化后分母为$7+14=21$，$21÷7=3$，分子扩大为原来的3倍：$4×3=12$，括号填$12-4=8$；
② 变化后分母为$7+21=28$，$28÷7=4$，分子扩大为原来的4倍：$4×4=16$，括号填$16-4=12$；
③ 变化后分母为$7+28=35$，$35÷7=5$，分子扩大为原来的5倍：$4×5=20$，括号填$20-4=16$；
④ 变化后分子为$4+20=24$，$24÷4=6$，分母扩大为原来的6倍：$7×6=42$，括号填$42-7=35$；
(2) 设分母增加的是原分母的$n$倍，即变化后分母为$b+nb$，是原分母的$(n+1)$倍，分子也要扩大为原来的$(n+1)$倍，变为$a(n+1)=a+na$，因此分子增加$na$，分母增加$nb$。
【答案】
(1) 2，3，4，5；8，12，16，35
(2) $na$，$nb$
【知识点】
1. 分数的基本性质
2. 规律探究
3. 代数式表示规律
【点评】
本题以分数计算为载体，既考查了分数基本性质的灵活运用，又锻炼了从具体实例中归纳通用规律的能力，解题的关键是抓住分子分母变化的倍数关系。
【难度系数】
0.8
