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四、解决问题。
1. 小刚去公园散步，看到一个近似圆柱形的树桩，他找来一条10米长的绳子，水平绕这个树桩2圈还剩3.72米。他应该怎样做才能算出该树桩的横截面积？请写出你的思考过程。
1. 小刚去公园散步，看到一个近似圆柱形的树桩，他找来一条10米长的绳子，水平绕这个树桩2圈还剩3.72米。他应该怎样做才能算出该树桩的横截面积？请写出你的思考过程。
答案
1. 0.785平方米
解析
【分析】
要计算树桩的横截面积，本质是求横截面圆形的面积。我们已知圆的面积公式为$S=π r^2$，所以首先需要求出圆形的半径$r$。首先根据绳子总长度和剩余长度，算出绕树桩2圈的总长度，除以2得到横截面的周长；再根据圆的周长公式$C=2π r$反推出半径，最后代入面积公式即可算出结果。
【解析】
1. 先计算绕树桩2圈的绳子长度：
$10 - 3.72 = 6.28$（米）
2. 再计算树桩横截面的周长（绕1圈的长度）：
$6.28 ÷ 2 = 3.14$（米）
3. 根据圆的周长公式$C=2π r$（$π$取3.14），计算横截面半径：
$r = C ÷ (2π) = 3.14 ÷ (2×3.14) = 0.5$（米）
4. 根据圆的面积公式$S=π r^2$，计算横截面积：
$S = 3.14 × 0.5^2 = 3.14 × 0.25 = 0.785$（平方米）
【答案】
0.785平方米
【知识点】
圆的周长计算、圆的面积计算、实际问题应用
【点评】
本题结合生活场景命题，重点考查对圆的周长、面积公式的灵活运用能力，解题的核心是先从已知条件推导得到圆的周长，再逐步计算面积，能有效锻炼将实际问题转化为数学问题的思维。
【难度系数】
0.7
要计算树桩的横截面积，本质是求横截面圆形的面积。我们已知圆的面积公式为$S=π r^2$，所以首先需要求出圆形的半径$r$。首先根据绳子总长度和剩余长度，算出绕树桩2圈的总长度，除以2得到横截面的周长；再根据圆的周长公式$C=2π r$反推出半径，最后代入面积公式即可算出结果。
【解析】
1. 先计算绕树桩2圈的绳子长度：
$10 - 3.72 = 6.28$（米）
2. 再计算树桩横截面的周长（绕1圈的长度）：
$6.28 ÷ 2 = 3.14$（米）
3. 根据圆的周长公式$C=2π r$（$π$取3.14），计算横截面半径：
$r = C ÷ (2π) = 3.14 ÷ (2×3.14) = 0.5$（米）
4. 根据圆的面积公式$S=π r^2$，计算横截面积：
$S = 3.14 × 0.5^2 = 3.14 × 0.25 = 0.785$（平方米）
【答案】
0.785平方米
【知识点】
圆的周长计算、圆的面积计算、实际问题应用
【点评】
本题结合生活场景命题，重点考查对圆的周长、面积公式的灵活运用能力，解题的核心是先从已知条件推导得到圆的周长，再逐步计算面积，能有效锻炼将实际问题转化为数学问题的思维。
【难度系数】
0.7
2. 一台压路机的前轮直径为1.2米，工作时每分钟转动8圈。它工作5分钟，能压过多少米长的路面？(得数保留整数)
答案
151米
解析
【分析】
要计算压路机5分钟压过的路面长度，首先要明确：压路机前轮转动1圈前进的距离就是前轮的周长。解题思路为：第一步根据圆的周长公式算出前轮的周长；第二步用周长乘每分钟转动的圈数，得到每分钟前进的长度；第三步用每分钟前进的长度乘工作时间5分钟，得到总长度，最后按要求保留整数即可。
【解析】
已知前轮直径$d=1.2$米，圆的周长公式为$C=π d$（$π$取3.14）：
1. 计算前轮周长：$C=3.14×1.2=3.768$（米）
2. 计算每分钟前进的长度：$3.768×8=30.144$（米）
3. 计算5分钟压过的路面总长度：$30.144×5=150.72$（米）
4. 按四舍五入保留整数：$150.72≈151$（米）
【答案】
151米
【知识点】
圆的周长计算；乘法实际应用；近似数取值
【点评】
本题结合生活场景考查知识的实际运用，解题核心是理解前轮转动一圈前进的距离等于前轮的周长，理清转动圈数、工作时间和总路程的关系即可顺利解题，答题时注意不要漏了近似值的取值要求。
【难度系数】
0.8
要计算压路机5分钟压过的路面长度，首先要明确：压路机前轮转动1圈前进的距离就是前轮的周长。解题思路为：第一步根据圆的周长公式算出前轮的周长；第二步用周长乘每分钟转动的圈数，得到每分钟前进的长度；第三步用每分钟前进的长度乘工作时间5分钟，得到总长度，最后按要求保留整数即可。
【解析】
已知前轮直径$d=1.2$米，圆的周长公式为$C=π d$（$π$取3.14）：
1. 计算前轮周长：$C=3.14×1.2=3.768$（米）
2. 计算每分钟前进的长度：$3.768×8=30.144$（米）
3. 计算5分钟压过的路面总长度：$30.144×5=150.72$（米）
4. 按四舍五入保留整数：$150.72≈151$（米）
【答案】
151米
【知识点】
圆的周长计算；乘法实际应用；近似数取值
【点评】
本题结合生活场景考查知识的实际运用，解题核心是理解前轮转动一圈前进的距离等于前轮的周长，理清转动圈数、工作时间和总路程的关系即可顺利解题，答题时注意不要漏了近似值的取值要求。
【难度系数】
0.8
3. 李阿姨骑电动车去菜市场买菜,电动车车轮的外直径是50厘米。李阿姨家到菜市场约1884米,如果车轮平均每分钟转200圈,李阿姨从家到菜市场需要多少分钟？
答案
3. 3.14×0.5 = 1.57(米)
1.57×200 = 314(米)
1884÷314 = 6(分) 需要6分钟。
1.57×200 = 314(米)
1884÷314 = 6(分) 需要6分钟。
解析
【分析】
解题时首先要明确：车轮转动1圈行驶的路程就是车轮的周长。第一步先统一单位，将车轮直径的单位厘米换算成米；第二步根据圆的周长公式计算出车轮转1圈走的路程；第三步用车轮周长乘每分钟转的圈数，求出电动车每分钟行驶的路程（即速度）；最后根据“时间=路程÷速度”，用总路程除以每分钟行驶的路程，就能算出李阿姨从家到菜市场需要的时间。
【解析】
首先进行单位换算：50厘米=0.5米
1. 计算车轮的周长（即转动1圈行驶的路程）：
$3.14×0.5 = 1.57$（米）
2. 计算电动车每分钟行驶的路程：
$1.57×200 = 314$（米）
3. 计算行驶总时间：
$1884÷314 = 6$（分钟）
【答案】
李阿姨从家到菜市场需要6分钟。
【知识点】
圆的周长计算、行程问题公式、长度单位换算
【点评】
本题结合生活场景出题，解题关键是理解车轮转一圈的行驶路程等于自身周长，再结合行程问题的数量关系求解，计算前要注意统一单位，避免因单位不一致出现计算错误。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确：车轮转动1圈行驶的路程就是车轮的周长。第一步先统一单位，将车轮直径的单位厘米换算成米；第二步根据圆的周长公式计算出车轮转1圈走的路程；第三步用车轮周长乘每分钟转的圈数，求出电动车每分钟行驶的路程（即速度）；最后根据“时间=路程÷速度”，用总路程除以每分钟行驶的路程，就能算出李阿姨从家到菜市场需要的时间。
【解析】
首先进行单位换算：50厘米=0.5米
1. 计算车轮的周长（即转动1圈行驶的路程）：
$3.14×0.5 = 1.57$（米）
2. 计算电动车每分钟行驶的路程：
$1.57×200 = 314$（米）
3. 计算行驶总时间：
$1884÷314 = 6$（分钟）
【答案】
李阿姨从家到菜市场需要6分钟。
【知识点】
圆的周长计算、行程问题公式、长度单位换算
【点评】
本题结合生活场景出题，解题关键是理解车轮转一圈的行驶路程等于自身周长，再结合行程问题的数量关系求解，计算前要注意统一单位，避免因单位不一致出现计算错误。
【难度系数】
0.8
4. 一个圆形花坛，直径为6米，现要在花坛的外围修建一条环形小路，路宽1米，求这条环形小路的面积。如果用水泥铺建小路，造价为每平方米1200元，则修好这条小路共需多少元？
答案
4. 21.98平方米 26376元
解析
【分析】
要求环形小路的面积，实际是求圆环的面积，圆环面积=外圆面积-内圆面积。解题思路如下：第一步先求内圆（花坛）的半径，根据“半径=直径÷2”计算即可；第二步求外圆的半径，外圆半径=内圆半径+路宽；第三步代入圆环面积公式算出小路面积；最后用小路面积乘每平方米的造价，就能得到总费用。
【解析】
1. 计算内圆半径：
花坛直径为6米，内圆半径 $ r = 6÷2 = 3 $（米）
2. 计算外圆半径：
路宽1米，外圆半径 $ R = 3 + 1 = 4 $（米）
3. 计算环形小路的面积：
根据圆环面积公式 $ S = π(R^2 - r^2) $（$π$取3.14）
$ S = 3.14×(4^2 - 3^2) $
$ = 3.14×(16 - 9) $
$ = 3.14×7 $
$ = 21.98 $（平方米）
4. 计算总造价：
总费用=面积×每平方米造价
$ 21.98×1200 = 26376 $（元）
【答案】
环形小路的面积是21.98平方米，修好这条小路共需26376元。
【知识点】
圆环面积计算；圆的面积计算；总价计算
【点评】
本题是圆环面积在实际生活中的典型应用，解题关键是准确找到内外圆的半径，再结合对应的公式逐步计算即可，计算时需注意平方运算的优先级，避免计算失误。
【难度系数】
0.7
要求环形小路的面积，实际是求圆环的面积，圆环面积=外圆面积-内圆面积。解题思路如下：第一步先求内圆（花坛）的半径，根据“半径=直径÷2”计算即可；第二步求外圆的半径，外圆半径=内圆半径+路宽；第三步代入圆环面积公式算出小路面积；最后用小路面积乘每平方米的造价，就能得到总费用。
【解析】
1. 计算内圆半径：
花坛直径为6米，内圆半径 $ r = 6÷2 = 3 $（米）
2. 计算外圆半径：
路宽1米，外圆半径 $ R = 3 + 1 = 4 $（米）
3. 计算环形小路的面积：
根据圆环面积公式 $ S = π(R^2 - r^2) $（$π$取3.14）
$ S = 3.14×(4^2 - 3^2) $
$ = 3.14×(16 - 9) $
$ = 3.14×7 $
$ = 21.98 $（平方米）
4. 计算总造价：
总费用=面积×每平方米造价
$ 21.98×1200 = 26376 $（元）
【答案】
环形小路的面积是21.98平方米，修好这条小路共需26376元。
【知识点】
圆环面积计算；圆的面积计算；总价计算
【点评】
本题是圆环面积在实际生活中的典型应用，解题关键是准确找到内外圆的半径，再结合对应的公式逐步计算即可，计算时需注意平方运算的优先级，避免计算失误。
【难度系数】
0.7
