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2. 计算 $2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + \dots + n$ 这样的算式有简便方法吗？小明遇到这个问题时，想到了用“数形结合”的方法来探究，下面是他用小圆片探究的过程。
圆片总数：$2 = 1 × 2 = 2$；$2 + 4 = 2 × 3 = 6$；$2 + 4 + 6 = 3 × 4 = 12$；
(1) 将第4组图形对应的算式补充完整。
(2) 将下列算式补充完整。
$2 + 4 + 6 + 8 + \dots + 20 = (\quad) × (\quad)$
$2 + 4 + 6 + 8 + \dots + 100 = (\quad) × (\quad)$
(3) 你找到计算 $2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + \dots + n$ 的简便方法了吗？用含有 $n$ 的式子表示出来。
圆片总数：$2 = 1 × 2 = 2$；$2 + 4 = 2 × 3 = 6$；$2 + 4 + 6 = 3 × 4 = 12$；
$2 + 4 + 6 + 8 = 4 × 5 = 20$
(1) 将第4组图形对应的算式补充完整。
(2) 将下列算式补充完整。
$2 + 4 + 6 + 8 + \dots + 20 = (\quad) × (\quad)$
$2 + 4 + 6 + 8 + \dots + 100 = (\quad) × (\quad)$
(3) 你找到计算 $2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + \dots + n$ 的简便方法了吗？用含有 $n$ 的式子表示出来。
答案
1. (1) $2 + 4 + 6 + 8 = 4 × 5 = 20$
(2) 10 11 50 51
(3) $2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + \dots + n = (n ÷ 2) × (n ÷ 2 + 1)$
(2) 10 11 50 51
(3) $2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + \dots + n = (n ÷ 2) × (n ÷ 2 + 1)$
解析
【分析】
我们先观察题目给出的已知算式找规律：①从2开始连续1个偶数相加：$2=1×2$，1是相加的偶数个数，$2=1+1$；②连续2个偶数相加：$2+4=2×3$，2是相加的偶数个数，$3=2+1$；③连续3个偶数相加：$2+4+6=3×4$，3是相加的偶数个数，$4=3+1$。可总结规律：从2开始连续k个偶数相加，和 = $k×(k+1)$。接下来按规律解题：(1)第4组是连续4个偶数相加，代入规律即可；(2)先算算式里偶数的总个数，再代入规律；(3)先根据最后一项n求出相加的偶数个数，再用字母表示出通用规律即可。
【解析】
先总结已知算式的规律：从2开始的连续偶数相加，相加的偶数有几个，和就等于“个数 ×（个数 + 1）”。
(1) 第4组是4个连续偶数2、4、6、8相加，相加的个数是4，因此：
$2+4+6+8=4×5=20$
(2) 计算$2 + 4 + 6 + 8 + \dots + 20$的偶数个数：每个偶数都是2的倍数，$2=2×1$，$4=2×2$，……，$20=2×10$，一共有10个偶数，所以和为$10×11$；
计算$2 + 4 + 6 + 8 + \dots + 100$的偶数个数：$100=2×50$，一共有50个偶数，所以和为$50×51$。
(3) 算式最后一项是偶数n，$n=2×k$，可得相加的偶数总个数$k=n÷2$，代入规律得：
$2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + \dots + n = (n ÷ 2) × (n ÷ 2 + 1)$
【答案】
(1) $2 + 4 + 6 + 8 = 4 × 5 = 20$
(2) 10；11；50；51
(3) $2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + \dots + n = (n ÷ 2) × (n ÷ 2 + 1)$
【知识点】
数与形的规律，偶数连加运算，字母表示数
【点评】
本题借助数形结合的方式引导学生探究从2开始连续偶数相加的计算规律，帮助学生学会观察归纳通用计算方法，很好地体现了数形结合思想在数学规律探究中的作用。
【难度系数】
0.7
我们先观察题目给出的已知算式找规律：①从2开始连续1个偶数相加：$2=1×2$，1是相加的偶数个数，$2=1+1$；②连续2个偶数相加：$2+4=2×3$，2是相加的偶数个数，$3=2+1$；③连续3个偶数相加：$2+4+6=3×4$，3是相加的偶数个数，$4=3+1$。可总结规律：从2开始连续k个偶数相加，和 = $k×(k+1)$。接下来按规律解题：(1)第4组是连续4个偶数相加，代入规律即可；(2)先算算式里偶数的总个数，再代入规律；(3)先根据最后一项n求出相加的偶数个数，再用字母表示出通用规律即可。
【解析】
先总结已知算式的规律：从2开始的连续偶数相加，相加的偶数有几个，和就等于“个数 ×（个数 + 1）”。
(1) 第4组是4个连续偶数2、4、6、8相加，相加的个数是4，因此：
$2+4+6+8=4×5=20$
(2) 计算$2 + 4 + 6 + 8 + \dots + 20$的偶数个数：每个偶数都是2的倍数，$2=2×1$，$4=2×2$，……，$20=2×10$，一共有10个偶数，所以和为$10×11$；
计算$2 + 4 + 6 + 8 + \dots + 100$的偶数个数：$100=2×50$，一共有50个偶数，所以和为$50×51$。
(3) 算式最后一项是偶数n，$n=2×k$，可得相加的偶数总个数$k=n÷2$，代入规律得：
$2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + \dots + n = (n ÷ 2) × (n ÷ 2 + 1)$
【答案】
(1) $2 + 4 + 6 + 8 = 4 × 5 = 20$
(2) 10；11；50；51
(3) $2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + \dots + n = (n ÷ 2) × (n ÷ 2 + 1)$
【知识点】
数与形的规律，偶数连加运算，字母表示数
【点评】
本题借助数形结合的方式引导学生探究从2开始连续偶数相加的计算规律，帮助学生学会观察归纳通用计算方法，很好地体现了数形结合思想在数学规律探究中的作用。
【难度系数】
0.7
四、王叔叔要为公司6位出差的同事购买高铁票，购买了a张二等座车票之后，因为余票不足，剩余买的都是一等座车票，一共花了b元。王叔叔购买车票时的票价如图所示。
1.如何表示a和b之间的关系？
2.当$b=3546$时，$a$等于多少？
1.如何表示a和b之间的关系？
2.当$b=3546$时，$a$等于多少？
答案
1. $b = 482a + 809(6 - a) = 4854 - 327a$
2. $4854 - 327a = 3546$
$4854 - 327a + 327a = 3546 + 327a$
$3546 + 327a = 4854$
$3546 + 327a - 3546 = 4854 - 3546$
$327a = 1308$
$327a ÷ 327 = 1308 ÷ 327$
$a = 4$
2. $4854 - 327a = 3546$
$4854 - 327a + 327a = 3546 + 327a$
$3546 + 327a = 4854$
$3546 + 327a - 3546 = 4854 - 3546$
$327a = 1308$
$327a ÷ 327 = 1308 ÷ 327$
$a = 4$
解析
【分析】
1. 要推导a和b的关系，首先明确总购票数为6张，买了a张二等座，那么一等座的数量就是总票数减去二等座数量，即$(6-a)$张。总花费b等于二等座总费用加一等座总费用，根据“总价=单价×数量”分别计算两类座位的总费用，相加后化简式子即可得到二者的关系。
2. 当$b=3546$时，将b的数值代入第一问得到的关系式中，可得到仅含未知数a的方程，再根据等式的性质逐步解方程就能求出a的取值。
【解析】
1. 已知二等座单价482元，一等座单价809元：
二等座总费用为$482a$元，一等座数量为$(6-a)$张，一等座总费用为$809(6-a)$元。
总花费b为两类座位总费用之和：
$\begin{aligned}b&=482a + 809(6-a)\\&=482a + 4854 - 809a\\&=4854 - 327a\end{aligned}$
2. 把$b=3546$代入$b=4854-327a$中：
$4854 - 327a = 3546$
等式两边同时加$327a$：
$4854 = 3546 + 327a$
等式两边同时减3546：
$327a = 4854 - 3546$
$327a = 1308$
等式两边同时除以327：
$a = 1308÷327$
$a = 4$
【答案】
1. $b = 4854 - 327a$
2. $a=4$
【知识点】
用字母表示数量关系；解方程；总价问题
【点评】
本题结合实际购票场景，考查了数量关系梳理和方程的实际应用，解题核心是理清总花费、座位单价、购票数量之间的对应关系，属于基础应用型题目。
【难度系数】
0.7
1. 要推导a和b的关系，首先明确总购票数为6张，买了a张二等座，那么一等座的数量就是总票数减去二等座数量，即$(6-a)$张。总花费b等于二等座总费用加一等座总费用，根据“总价=单价×数量”分别计算两类座位的总费用，相加后化简式子即可得到二者的关系。
2. 当$b=3546$时，将b的数值代入第一问得到的关系式中，可得到仅含未知数a的方程，再根据等式的性质逐步解方程就能求出a的取值。
【解析】
1. 已知二等座单价482元，一等座单价809元：
二等座总费用为$482a$元，一等座数量为$(6-a)$张，一等座总费用为$809(6-a)$元。
总花费b为两类座位总费用之和：
$\begin{aligned}b&=482a + 809(6-a)\\&=482a + 4854 - 809a\\&=4854 - 327a\end{aligned}$
2. 把$b=3546$代入$b=4854-327a$中：
$4854 - 327a = 3546$
等式两边同时加$327a$：
$4854 = 3546 + 327a$
等式两边同时减3546：
$327a = 4854 - 3546$
$327a = 1308$
等式两边同时除以327：
$a = 1308÷327$
$a = 4$
【答案】
1. $b = 4854 - 327a$
2. $a=4$
【知识点】
用字母表示数量关系；解方程；总价问题
【点评】
本题结合实际购票场景，考查了数量关系梳理和方程的实际应用，解题核心是理清总花费、座位单价、购票数量之间的对应关系，属于基础应用型题目。
【难度系数】
0.7
