登录
举一反三 如图，从学校A到书店B有两条路线，①号路线是A→B，②号路线是A→C→B。小明认为学校到书店最近的路线是①号路线，得出这个结论依据的数学原理是
两点之间，线段最短
。答案
举一反三 两点之间，线段最短
解析
【分析】
解题时首先观察两条路线的特征：①号路线是直接连接学校A和书店B的线段，②号路线是经过点C的折线，属于连接A、B两点的非线段连线。再回忆线段的相关性质：两点之间的所有连线中，线段是最短的，由此即可判断①号路线更近，对应找到该结论的依据。
【解析】
观察两条路线：①号路线为连接A、B两点的线段，②号路线为A→C→B的折线。根据线段的基本性质：两点之间的所有连线中，线段最短，因此①号路线是从A到B的最近路线，得出该结论的数学原理为两点之间，线段最短。
【答案】
两点之间，线段最短
【知识点】
线段的基本性质
【点评】
本题结合生活中路线选择的实际场景，考查线段基本性质的直接应用，解题只需结合图形明确路线的几何特征，对应性质即可得到答案，属于基础概念应用题。
【难度系数】
0.9
解题时首先观察两条路线的特征：①号路线是直接连接学校A和书店B的线段，②号路线是经过点C的折线，属于连接A、B两点的非线段连线。再回忆线段的相关性质：两点之间的所有连线中，线段是最短的，由此即可判断①号路线更近，对应找到该结论的依据。
【解析】
观察两条路线：①号路线为连接A、B两点的线段，②号路线为A→C→B的折线。根据线段的基本性质：两点之间的所有连线中，线段最短，因此①号路线是从A到B的最近路线，得出该结论的数学原理为两点之间，线段最短。
【答案】
两点之间，线段最短
【知识点】
线段的基本性质
【点评】
本题结合生活中路线选择的实际场景，考查线段基本性质的直接应用，解题只需结合图形明确路线的几何特征，对应性质即可得到答案，属于基础概念应用题。
【难度系数】
0.9
典例3 如图，在操作课上，同学们按老师的要求操作：①作射线AM；②在射线AM上顺次截取AC＝CD＝a；③在射线DM上截取DE＝b；④在线段EA上截取EB＝c，发现点B在线段CD上。由操作可知，线段AB＝（
A.$a + b - c$
B.$a + b + c$
C.$2a + b + c$
D.$2a + b - c$
D
）。A.$a + b - c$
B.$a + b + c$
C.$2a + b + c$
D.$2a + b - c$
答案
答案 D
解析 因为$AC=CD=a$，所以$AD=2a$。因为$DE=b$，所以$AE=2a+b$。因为$BE=c$，所以$AB=2a+b-c$。
解析 因为$AC=CD=a$，所以$AD=2a$。因为$DE=b$，所以$AE=2a+b$。因为$BE=c$，所以$AB=2a+b-c$。
解析
【分析】
解题时先结合题目给出的作图步骤梳理各线段的数量关系：首先根据顺次截取的AC、CD长度相等，先求出AD的长度；再结合DE的长度求出AE的总长度；最后根据B在EA上、EB的长度已知，利用线段的差即可求出AB的长度。
【解析】
$\because AC=CD=a$，
$\therefore AD=AC+CD=a+a=2a$，
$\because DE=b$，点E在射线DM上，
$\therefore AE=AD+DE=2a+b$，
又$\because$点B在线段EA上，$EB=c$，
$\therefore AB=AE-EB=2a+b-c$。
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
线段的和差运算；射线的概念
【点评】
本题结合作图过程考查线段的和差计算，解题的关键是顺着作图步骤理清各线段的位置关系和数量关系，难度不大，只要仔细梳理各段长度的关系即可正确求解。
【难度系数】
0.8
解题时先结合题目给出的作图步骤梳理各线段的数量关系：首先根据顺次截取的AC、CD长度相等，先求出AD的长度；再结合DE的长度求出AE的总长度；最后根据B在EA上、EB的长度已知，利用线段的差即可求出AB的长度。
【解析】
$\because AC=CD=a$，
$\therefore AD=AC+CD=a+a=2a$，
$\because DE=b$，点E在射线DM上，
$\therefore AE=AD+DE=2a+b$，
又$\because$点B在线段EA上，$EB=c$，
$\therefore AB=AE-EB=2a+b-c$。
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
线段的和差运算；射线的概念
【点评】
本题结合作图过程考查线段的和差计算，解题的关键是顺着作图步骤理清各线段的位置关系和数量关系，难度不大，只要仔细梳理各段长度的关系即可正确求解。
【难度系数】
0.8
举一反三 如图，点C为线段AB上的一点，若$AB=7$，$BC=3$，则$AC=$(
A.10
B.7
C.5
D.4
D
).A.10
B.7
C.5
D.4
答案
举一反三 D
解析
【分析】
观察图形可得点C在线段AB上，根据线段的和的关系，整条线段AB的长度是AC和BC的长度之和，因此要计算AC的长度，只需用AB的总长度减去BC的长度，代入已知的数值计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵ 点C为线段AB上的一点，
∴ 线段AB的长度等于AC与BC的长度和，即$AC+BC=AB$，
变形可得$AC=AB-BC$，
将$AB=7$，$BC=3$代入上式，得：
$AC=7-3=4$。
故选：D。
【答案】D
【知识点】
线段的和差运算
【点评】
本题是基础题，解题关键是明确点在线段上时，各分线段的长度之和等于整条线段的总长度，熟练掌握线段和差的计算方法即可快速解答。
【难度系数】
0.9
观察图形可得点C在线段AB上，根据线段的和的关系，整条线段AB的长度是AC和BC的长度之和，因此要计算AC的长度，只需用AB的总长度减去BC的长度，代入已知的数值计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵ 点C为线段AB上的一点，
∴ 线段AB的长度等于AC与BC的长度和，即$AC+BC=AB$，
变形可得$AC=AB-BC$，
将$AB=7$，$BC=3$代入上式，得：
$AC=7-3=4$。
故选：D。
【答案】D
【知识点】
线段的和差运算
【点评】
本题是基础题，解题关键是明确点在线段上时，各分线段的长度之和等于整条线段的总长度，熟练掌握线段和差的计算方法即可快速解答。
【难度系数】
0.9
典例4 如图，M，P，N 三点在直线l上.
(1)尺规作图:在线段 PN 的延长线上作 NB = NP,在线段 NP 的延长线上作PA=2PN；
(2)若 AM=PM+8,PA=20,求 MN的长.
(1)尺规作图:在线段 PN 的延长线上作 NB = NP,在线段 NP 的延长线上作PA=2PN；
(2)若 AM=PM+8,PA=20,求 MN的长.
答案
解 (1)根据题意，作图如下：点A，B就是所求作的点。
(2)设$NP=x$，则$PA=2x$。因为$PA=20$，所以$2x=20$，解得$x=10$。因为$PA=AM+PM=20$，$AM=PM+8$，所以$PM+8+PM=20$，解得$PM=6$。所以$MN=PM+PN=6+10=16$。
(2)设$NP=x$，则$PA=2x$。因为$PA=20$，所以$2x=20$，解得$x=10$。因为$PA=AM+PM=20$，$AM=PM+8$，所以$PM+8+PM=20$，解得$PM=6$。所以$MN=PM+PN=6+10=16$。
解析
【分析】
(1) 尺规作图部分：首先明确作图方向，作NB=NP时，在PN的延长线上，以N为圆心、NP长为半径画弧，交点就是点B；作PA=2PN时，在NP靠近M一侧的延长线上，连续截取2段和PN等长的线段即可得到点A。
(2) 线段计算部分：先从已知的PA=2PN、PA=20求出PN的长度；再结合AM=PM+8，以及PA由AM和PM组成的和差关系，代入求出PM的长度；最后根据M、P、N的排列顺序，MN=PM+PN，代入数值即可得到结果。
【解析】
(1) 作图步骤：
① 作NB=NP：把圆规两脚间距调整为NP的长度，针尖固定在点N，在PN的延长线上画弧，交点即为点B，此时NB=NP；
② 作PA=2PN：保持圆规两脚间距等于NP长度，针尖固定在点P，在NP靠近M的延长线上画弧得到第一个交点，再将针尖移到该交点，继续在同侧画弧，得到的交点即为点A，此时PA=2PN。
(2) 设$NP=x$，由题意得$PA=2PN=2x$。
已知$PA=20$，因此$2x=20$，解得$x=10$，即$PN=10$。
由于点A、M、P顺次在直线l上，因此$PA=AM+PM=20$。
将$AM=PM+8$代入上式可得：$PM+8+PM=20$，
整理得$2PM=12$，解得$PM=6$。
又因为M、P、N顺次在直线l上，所以$MN=PM+PN=6+10=16$。
【答案】
(1) 按上述步骤作出点A、B即可；
(2) $\boldsymbol{16}$
【知识点】
1. 尺规作图作等线段
2. 线段的和差运算
3. 方程法求线段长
【点评】
本题结合尺规作图与线段长度计算，既考查基础作图能力，也要求学生准确梳理线段间的数量关系，利用方程思想求解未知量，解题核心是找准线段的和差等量关系。
【难度系数】
0.7
(1) 尺规作图部分：首先明确作图方向，作NB=NP时，在PN的延长线上，以N为圆心、NP长为半径画弧，交点就是点B；作PA=2PN时，在NP靠近M一侧的延长线上，连续截取2段和PN等长的线段即可得到点A。
(2) 线段计算部分：先从已知的PA=2PN、PA=20求出PN的长度；再结合AM=PM+8，以及PA由AM和PM组成的和差关系，代入求出PM的长度；最后根据M、P、N的排列顺序，MN=PM+PN，代入数值即可得到结果。
【解析】
(1) 作图步骤：
① 作NB=NP：把圆规两脚间距调整为NP的长度，针尖固定在点N，在PN的延长线上画弧，交点即为点B，此时NB=NP；
② 作PA=2PN：保持圆规两脚间距等于NP长度，针尖固定在点P，在NP靠近M的延长线上画弧得到第一个交点，再将针尖移到该交点，继续在同侧画弧，得到的交点即为点A，此时PA=2PN。
(2) 设$NP=x$，由题意得$PA=2PN=2x$。
已知$PA=20$，因此$2x=20$，解得$x=10$，即$PN=10$。
由于点A、M、P顺次在直线l上，因此$PA=AM+PM=20$。
将$AM=PM+8$代入上式可得：$PM+8+PM=20$，
整理得$2PM=12$，解得$PM=6$。
又因为M、P、N顺次在直线l上，所以$MN=PM+PN=6+10=16$。
【答案】
(1) 按上述步骤作出点A、B即可；
(2) $\boldsymbol{16}$
【知识点】
1. 尺规作图作等线段
2. 线段的和差运算
3. 方程法求线段长
【点评】
本题结合尺规作图与线段长度计算，既考查基础作图能力，也要求学生准确梳理线段间的数量关系，利用方程思想求解未知量，解题核心是找准线段的和差等量关系。
【难度系数】
0.7
举一反三 在一条笔直的路上有A，B，C，D四个公交站台，请根据图中的数据解答下列问题。
(1)求A，D两个站台之间的距离；
(2)若B站台位于A，C两个站台的中间，求C，D两个站台之间的距离。
(1)求A，D两个站台之间的距离；
(2)若B站台位于A，C两个站台的中间，求C，D两个站台之间的距离。
答案
解 (1)由题图可知，$AB=m+n$，$BD=3m+2n$，$AD=AB+BD$，所以A，D两个站台之间的距离为$AB+BD=m+n+3m+2n=4m+3n$。
(2)因为B站台位于A，C两个站台的中间，所以$AB=BC=m+n$，所以C，D两个站台之间的距离为$CD=BD-BC=3m+2n-(m+n)=2m+n$。
(2)因为B站台位于A，C两个站台的中间，所以$AB=BC=m+n$，所以C，D两个站台之间的距离为$CD=BD-BC=3m+2n-(m+n)=2m+n$。
解析
【分析】
(1) 求A、D两站台距离时，先观察线段AD的构成：AD由AB和BD两段拼接而成，因此AD长度等于AB与BD的长度之和，将已知的两个对应代数式相加，合并同类项就能得到结果。
(2) 求C、D两站台距离时，首先根据B是AC中点的条件，可得BC长度和AB长度相等；再观察BD的构成：BD由BC和CD两段组成，因此CD长度等于BD减去BC的长度，代入对应代数式做整式减法运算即可求解。
【解析】
(1) 由题图可知$AB = m+n$，$BD = 3m+2n$，且$AD = AB + BD$，因此A、D两个站台之间的距离为：
$AD=(m+n)+(3m+2n)=m+n+3m+2n=4m+3n$
(2) 因为B站台是A、C两站台的中点，所以$BC=AB=m+n$，又因为$CD=BD-BC$，因此C、D两个站台之间的距离为：
$CD=(3m+2n)-(m+n)=3m+2n-m-n=2m+n$
【答案】
(1) $\boxed{4m+3n}$；(2) $\boxed{2m+n}$
【知识点】
线段的和差计算、线段中点的性质、整式的加减运算
【点评】
本题是线段运算和整式运算的结合题型，解题核心是准确识别图中线段的和差关系，结合中点性质列出代数式后正确运算即可，掌握线段基本性质和整式加减规则就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
(1) 求A、D两站台距离时，先观察线段AD的构成：AD由AB和BD两段拼接而成，因此AD长度等于AB与BD的长度之和，将已知的两个对应代数式相加，合并同类项就能得到结果。
(2) 求C、D两站台距离时，首先根据B是AC中点的条件，可得BC长度和AB长度相等；再观察BD的构成：BD由BC和CD两段组成，因此CD长度等于BD减去BC的长度，代入对应代数式做整式减法运算即可求解。
【解析】
(1) 由题图可知$AB = m+n$，$BD = 3m+2n$，且$AD = AB + BD$，因此A、D两个站台之间的距离为：
$AD=(m+n)+(3m+2n)=m+n+3m+2n=4m+3n$
(2) 因为B站台是A、C两站台的中点，所以$BC=AB=m+n$，又因为$CD=BD-BC$，因此C、D两个站台之间的距离为：
$CD=(3m+2n)-(m+n)=3m+2n-m-n=2m+n$
【答案】
(1) $\boxed{4m+3n}$；(2) $\boxed{2m+n}$
【知识点】
线段的和差计算、线段中点的性质、整式的加减运算
【点评】
本题是线段运算和整式运算的结合题型，解题核心是准确识别图中线段的和差关系，结合中点性质列出代数式后正确运算即可，掌握线段基本性质和整式加减规则就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
