登录
三、解答题
1. 请在正方形网格中建立一个平面直角坐标系，并在同一个平面直角坐标系中，画出二次函数$y=-\frac{1}{2}x^2$，$y=-\frac{1}{2}x^2+2$和$y=-\frac{1}{2}x^2-2$的图象，分别指出它们的开口方向、对称轴以及顶点坐标。
1. 请在正方形网格中建立一个平面直角坐标系，并在同一个平面直角坐标系中，画出二次函数$y=-\frac{1}{2}x^2$，$y=-\frac{1}{2}x^2+2$和$y=-\frac{1}{2}x^2-2$的图象，分别指出它们的开口方向、对称轴以及顶点坐标。
答案
1. 开口均向下,对称轴均为$y$轴,顶点坐标分别是$(0,0),(0,2),(0,-2)$ 图象略
解析
【分析】
解题时先观察三个二次函数的形式，均属于$y=ax^2+k$的类型，且二次项系数$a$相同：①开口方向由$a$的符号决定，$a＜0$则开口向下；②这类没有一次项的二次函数，对称轴都是$y$轴；③顶点坐标可根据“上加下减常数项”的平移规律推导：$y=ax^2$的顶点为$(0,0)$，常数项加$k$则图象向上平移$k$个单位，顶点纵坐标加$k$，常数项减$k$则图象向下平移$k$个单位，顶点纵坐标减$k$。画图时用描点法，选取$x=-2,-1,0,1,2$这类对称的点计算对应$y$值，再描点连线即可。
【解析】
1. 建立平面直角坐标系：选取网格中合适的交点为原点，水平向右为$x$轴正方向，竖直向上为$y$轴正方向，取1个小方格边长为1个单位长度。
2. 分析性质：
三个函数的二次项系数$a=-\frac{1}{2}＜0$，因此开口方向均向下；
三个函数均不含一次项，所以对称轴均为直线$x=0$，即$y$轴；
$y=-\frac{1}{2}x^2$是基础的$y=ax^2$型二次函数，顶点坐标为$(0,0)$；
$y=-\frac{1}{2}x^2+2$是$y=-\frac{1}{2}x^2$向上平移2个单位得到的，顶点坐标为$(0,2)$；
$y=-\frac{1}{2}x^2-2$是$y=-\frac{1}{2}x^2$向下平移2个单位得到的，顶点坐标为$(0,-2)$。
3. 画图：分别对三个函数选取对称的$x$值计算对应$y$值，描出点后用平滑曲线连接即可得到对应的抛物线图象。
【答案】
开口均向下，对称轴均为$y$轴，顶点坐标分别是$(0,0),(0,2),(0,-2)$，图象略
【知识点】
1.二次函数$y=ax^2+k$的性质
2.二次函数图象平移规律
3.二次函数图象的画法
【点评】
本题是二次函数图象与性质的基础题，核心是掌握二次项系数对开口方向的影响，以及上下平移时顶点坐标的变化规律，画图时选取对称的点能更高效准确地画出抛物线。
【难度系数】
0.8
解题时先观察三个二次函数的形式，均属于$y=ax^2+k$的类型，且二次项系数$a$相同：①开口方向由$a$的符号决定，$a＜0$则开口向下；②这类没有一次项的二次函数，对称轴都是$y$轴；③顶点坐标可根据“上加下减常数项”的平移规律推导：$y=ax^2$的顶点为$(0,0)$，常数项加$k$则图象向上平移$k$个单位，顶点纵坐标加$k$，常数项减$k$则图象向下平移$k$个单位，顶点纵坐标减$k$。画图时用描点法，选取$x=-2,-1,0,1,2$这类对称的点计算对应$y$值，再描点连线即可。
【解析】
1. 建立平面直角坐标系：选取网格中合适的交点为原点，水平向右为$x$轴正方向，竖直向上为$y$轴正方向，取1个小方格边长为1个单位长度。
2. 分析性质：
三个函数的二次项系数$a=-\frac{1}{2}＜0$，因此开口方向均向下；
三个函数均不含一次项，所以对称轴均为直线$x=0$，即$y$轴；
$y=-\frac{1}{2}x^2$是基础的$y=ax^2$型二次函数，顶点坐标为$(0,0)$；
$y=-\frac{1}{2}x^2+2$是$y=-\frac{1}{2}x^2$向上平移2个单位得到的，顶点坐标为$(0,2)$；
$y=-\frac{1}{2}x^2-2$是$y=-\frac{1}{2}x^2$向下平移2个单位得到的，顶点坐标为$(0,-2)$。
3. 画图：分别对三个函数选取对称的$x$值计算对应$y$值，描出点后用平滑曲线连接即可得到对应的抛物线图象。
【答案】
开口均向下，对称轴均为$y$轴，顶点坐标分别是$(0,0),(0,2),(0,-2)$，图象略
【知识点】
1.二次函数$y=ax^2+k$的性质
2.二次函数图象平移规律
3.二次函数图象的画法
【点评】
本题是二次函数图象与性质的基础题，核心是掌握二次项系数对开口方向的影响，以及上下平移时顶点坐标的变化规律，画图时选取对称的点能更高效准确地画出抛物线。
【难度系数】
0.8
2. 已知抛物线的对称轴是y轴，顶点的纵坐标为5，且过点(1,2)，求这条抛物线的解析式.
答案
$y=-3x^2+5$
解析
【分析】
已知抛物线对称轴为y轴，说明顶点的横坐标为0，结合顶点纵坐标为5，可确定顶点坐标为(0,5)，因此优先选择二次函数的顶点式设解析式，简化计算。再将已知点(1,2)代入所设解析式，求出未知系数a的值，即可得到抛物线的解析式。
【解析】
解：
∵抛物线的对称轴是y轴，顶点纵坐标为5，
∴抛物线的顶点坐标为(0,5)，
设抛物线的解析式为顶点式$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$），其中$(h,k)$为顶点坐标，
将$h=0$，$k=5$代入得：$y=ax^2+5$，
∵抛物线过点$(1,2)$，将$x=1$，$y=2$代入上式得：
$2=a×1^2 +5$，
解得$a=-3$，
将$a=-3$代入$y=ax^2+5$，得抛物线解析式为$y=-3x^2+5$。
【答案】
$y=-3x^2+5$
【知识点】
1. 二次函数顶点式
2. 待定系数法
3. 二次函数对称轴性质
【点评】
本题考查二次函数解析式的求解，解题的关键是根据题中给出的对称轴、顶点坐标信息选择顶点式设解析式，大幅降低计算量，是二次函数部分的基础题型，熟练掌握顶点式的结构特点即可快速解答。
【难度系数】
0.8
已知抛物线对称轴为y轴，说明顶点的横坐标为0，结合顶点纵坐标为5，可确定顶点坐标为(0,5)，因此优先选择二次函数的顶点式设解析式，简化计算。再将已知点(1,2)代入所设解析式，求出未知系数a的值，即可得到抛物线的解析式。
【解析】
解：
∵抛物线的对称轴是y轴，顶点纵坐标为5，
∴抛物线的顶点坐标为(0,5)，
设抛物线的解析式为顶点式$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$），其中$(h,k)$为顶点坐标，
将$h=0$，$k=5$代入得：$y=ax^2+5$，
∵抛物线过点$(1,2)$，将$x=1$，$y=2$代入上式得：
$2=a×1^2 +5$，
解得$a=-3$，
将$a=-3$代入$y=ax^2+5$，得抛物线解析式为$y=-3x^2+5$。
【答案】
$y=-3x^2+5$
【知识点】
1. 二次函数顶点式
2. 待定系数法
3. 二次函数对称轴性质
【点评】
本题考查二次函数解析式的求解，解题的关键是根据题中给出的对称轴、顶点坐标信息选择顶点式设解析式，大幅降低计算量，是二次函数部分的基础题型，熟练掌握顶点式的结构特点即可快速解答。
【难度系数】
0.8
3. 如图3,在平面直角坐标系中,抛物线$y=ax^2+3$与y轴交于点A,过点A作与x轴平行的直线交抛物线$y=\frac{1}{3}x^2$于点B,C,则BC的长为多少?
答案
3. 6
解析
【分析】
解题思路可分为三步：首先求点A的坐标，利用抛物线与y轴交点的横坐标为0的特点，代入抛物线解析式即可得到A点纵坐标；其次确定直线BC的解析式，因为BC过点A且与x轴平行，所以直线BC上所有点的纵坐标都等于A点的纵坐标，即直线BC为y=3；最后求B、C两点的坐标，将y=3代入抛物线$y=\frac{1}{3}x^2$解出横坐标，再利用平行于x轴的线段长度等于两端点横坐标差的绝对值，即可求出BC的长度。
【解析】
解：①求点A的坐标：
抛物线$y=ax^2+3$与y轴交于点A，y轴上点的横坐标为0，将x=0代入$y=ax^2+3$，得$y=3$，即$A(0,3)$。
②确定直线BC的解析式：
因为BC过点A且与x轴平行，所以直线BC上所有点的纵坐标均为3，即直线BC的解析式为$y=3$。
③求B、C两点的坐标：
将$y=3$代入$y=\frac{1}{3}x^2$，得$3=\frac{1}{3}x^2$，解得$x^2=9$，即$x_1=3$，$x_2=-3$。
所以点B坐标为$(-3,3)$，点C坐标为$(3,3)$。
④计算BC的长度：
平行于x轴的线段长度为两端点横坐标差的绝对值，因此$BC=|3 - (-3)|=6$。
【答案】
6
【知识点】
二次函数的图象与性质，点的坐标求解，平行于坐标轴的线段长度计算
【点评】
本题是二次函数的基础题型，解题核心是抓住“平行于x轴的直线上的点纵坐标相等”这一特征，通过代入法求出交点坐标后即可快速计算线段长度，侧重对二次函数基本性质和坐标运算的考查。
【难度系数】
0.8
解题思路可分为三步：首先求点A的坐标，利用抛物线与y轴交点的横坐标为0的特点，代入抛物线解析式即可得到A点纵坐标；其次确定直线BC的解析式，因为BC过点A且与x轴平行，所以直线BC上所有点的纵坐标都等于A点的纵坐标，即直线BC为y=3；最后求B、C两点的坐标，将y=3代入抛物线$y=\frac{1}{3}x^2$解出横坐标，再利用平行于x轴的线段长度等于两端点横坐标差的绝对值，即可求出BC的长度。
【解析】
解：①求点A的坐标：
抛物线$y=ax^2+3$与y轴交于点A，y轴上点的横坐标为0，将x=0代入$y=ax^2+3$，得$y=3$，即$A(0,3)$。
②确定直线BC的解析式：
因为BC过点A且与x轴平行，所以直线BC上所有点的纵坐标均为3，即直线BC的解析式为$y=3$。
③求B、C两点的坐标：
将$y=3$代入$y=\frac{1}{3}x^2$，得$3=\frac{1}{3}x^2$，解得$x^2=9$，即$x_1=3$，$x_2=-3$。
所以点B坐标为$(-3,3)$，点C坐标为$(3,3)$。
④计算BC的长度：
平行于x轴的线段长度为两端点横坐标差的绝对值，因此$BC=|3 - (-3)|=6$。
【答案】
6
【知识点】
二次函数的图象与性质，点的坐标求解，平行于坐标轴的线段长度计算
【点评】
本题是二次函数的基础题型，解题核心是抓住“平行于x轴的直线上的点纵坐标相等”这一特征，通过代入法求出交点坐标后即可快速计算线段长度，侧重对二次函数基本性质和坐标运算的考查。
【难度系数】
0.8
