1. 若二次函数$y=ax^2+k$的图象开口向下,则()

A.$a＞0$
B.$a＜0$
C.$k＞0$
D.$k＜0$

1. B

【分析】
解题时首先明确本题考查二次函数$y=ax^2+k$的图象性质，我们需要区分解析式中两个参数的作用：二次项系数$a$决定抛物线的开口方向，常数项$k$决定抛物线的上下平移，和开口方向无关。已知图象开口向下，我们只需要根据$a$和开口方向的对应关系判断$a$的符号即可。
【解析】
对于二次函数$y=ax^2+k$，其开口方向仅由二次项系数$a$决定：
当$a＞0$时，抛物线开口向上；
当$a＜0$时，抛物线开口向下。
题干明确图象开口向下，因此可得$a＜0$，$k$的取值与开口方向无关，故本题选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 二次函数图象性质
2. 二次项系数与开口方向的关系
【点评】
本题是基础概念考查题，重点要求学生掌握二次函数解析式中参数$a$的作用，注意区分$a$和$k$的不同功能，避免混淆概念即可快速得分。
【难度系数】
0.9

2. 将抛物线$y=3x^2$向上平移2个单位，得到抛物线的解析式为()

A.$y=3x^2 -2$
B.$y=5x^2$
C.$y=3(x+2)^2$
D.$y=3x^2 +2$

2. D

【分析】
解题时首先回忆二次函数图象的平移规律：上下平移是对解析式的常数项进行操作，遵循“上加下减”的原则，即向上平移几个单位就在原解析式的常数项加几，向下平移则减几；左右平移是对自变量x操作，遵循“左加右减”的原则。本题明确是向上平移2个单位，属于上下平移，只需用原解析式的常数项加上2即可得到平移后的解析式，再匹配选项即可。
【解析】
根据二次函数图象平移的“上加下减”规律：
原抛物线的解析式为$y=3x^2$，将其向上平移2个单位，即在原解析式的末尾加上平移的单位长度2，
可得平移后的抛物线解析式为$y=3x^2 + 2$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数图象平移规律
【点评】
本题是二次函数平移的基础题型，核心考查对平移变换规律的记忆和应用，熟练掌握“上加下减、左加右减”的口诀即可快速解题。
【难度系数】
0.9

3. 若二次函数$y=(m^2 -6)x^2 -2$是由二次函数$y=-5x^2$平移得到的，则m的值为()

A.1
B.-1
C.1或-1
D.0或-1

3. C

【分析】
解题时首先回忆二次函数平移的性质：二次函数图象平移仅改变顶点位置，开口方向、开口大小均不发生变化，即二次项系数a的取值完全相同。据此我们可以列出关于m的方程，求解方程后再验证所得的m值是否满足二次项系数不为0的要求，即可得到正确结果。
【解析】
解：
∵ 二次函数平移时二次项系数保持不变，且$y=(m^2 -6)x^2 -2$是由$y=-5x^2$平移得到的
∴ 两个函数的二次项系数相等，可得方程：
$m^2 - 6 = -5$
移项计算得：$m^2 = 1$
解得：$m=1$或$m=-1$
检验：当$m=1$时，二次项系数$m^2-6=-5≠0$，符合二次函数定义；当$m=-1$时，二次项系数$m^2-6=-5≠0$，也符合定义。
因此m的取值为1或-1。
【答案】
C
【知识点】
二次函数平移性质、解一元二次方程、二次函数定义
【点评】
本题属于基础题，核心考查二次函数平移的本质特征，解题的关键是牢记平移不改变二次项系数的取值，求解后注意验证二次项系数不为0即可避免失分。
【难度系数】
0.8

4. 已知一次函数$y=ax-k$的图象如图1所示，则二次函数$y=ax^2+k$的图象大致为()
A

C
D

4. D

【分析】
解题思路分为两步：第一步先根据一次函数的图象特征判断a、k的符号：一次函数的斜率决定a的正负，与y轴的交点纵坐标决定-k的正负，进而得到k的正负；第二步根据a和k的符号判断二次函数的图象特征：二次项系数a决定开口方向，常数项k决定顶点的纵坐标位置，逐一排除不符合的选项即可得到答案。
【解析】
首先观察一次函数$y=ax-k$的图象：
1. 一次函数图象从左到右下降，说明斜率$a＜0$；
2. 一次函数与y轴交于正半轴，当$x=0$时，$y=-k＞0$，因此可得$k＜0$。
接下来分析二次函数$y=ax^2+k$的特征：
1. 二次项系数$a＜0$，因此抛物线开口向下，排除开口向上的选项A、B；
2. 该二次函数的顶点坐标为$(0,k)$，因为$k＜0$，所以顶点在y轴的负半轴上：选项C的顶点在原点，不符合要求；选项D开口向下，顶点在y轴负半轴，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
一次函数的图象与性质；二次函数的图象与性质
【点评】
本题主要考查函数图象与系数的对应关系，只要熟练掌握一次函数、二次函数的图象特征，就能快速判断出正确选项。
【难度系数】
0.7

5*. 若二次函数$y_1=a_1x^2 - 1$与二次函数$y_2=a_2x^2 + 3$图象的形状完全相同($a_1,a_2$均不为0),则$a_1$与$a_2$的关系为()

A.$a_1=a_2$
B.$a_1=-a_2$
C.$a_1=\pm a_2$
D.无法判断

5. C

【分析】
解题时首先回忆二次函数图象形状的决定因素：二次函数的图象形状仅由二次项系数的绝对值决定，与常数项无关。题目已知两个二次函数图象形状完全相同，因此可推出两个函数二次项系数的绝对值相等，再根据绝对值的性质推导a₁和a₂的关系，对应选择正确选项即可。
【解析】
二次函数$y=ax^2+k$（$a≠0$）的图象形状只由二次项系数$a$的绝对值决定，$|a|$相等则图象形状完全相同，和常数项的取值无关。
已知两个二次函数图象形状完全相同，因此可得$|a_1|=|a_2|$，根据绝对值的性质，去掉绝对值符号后可得$a_1=a_2$或$a_1=-a_2$，即$a_1=\pm a_2$。
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的图象性质；绝对值的性质
【点评】
本题是二次函数图象性质的基础题，易错点是容易误以为形状相同则二次项系数完全相等，忽略开口方向可以相反的情况，解题时要明确形状相同仅要求二次项系数的绝对值相等即可。
【难度系数】
0.7

二、填空题
1. 抛物线$y=x^2 -3$是由抛物线$y=x^2$向平移个单位得到的.

1. 下,3

【分析】
要判断抛物线的平移方式，我们可以用两种常见思路：一是利用二次函数平移口诀“上加下减常数项，左加右减自变量”，直接对比两个解析式的差异判断；二是通过对比两个抛物线的顶点坐标，抛物线的平移和其顶点的平移完全一致，由顶点的位移就能得出抛物线的平移方向和距离。
【解析】
方法一（口诀法）：二次函数上下平移时遵循“上加下减常数项”的规则，即常数项增加为向上平移，常数项减少为向下平移，平移距离为常数项变化的绝对值。
原抛物线解析式为$y=x^2$，可写作$y=x^2+0$，变换后的解析式为$y=x^2-3$，常数项减少了3，因此是向下平移3个单位。
方法二（顶点对比法）：抛物线$y=x^2$的顶点坐标为$(0,0)$，抛物线$y=x^2-3$的顶点坐标为$(0,-3)$，顶点从$(0,0)$向下移动了3个单位，因此抛物线整体向下平移3个单位。
【答案】
下，3
【知识点】
1.二次函数图象平移规律
2.二次函数顶点坐标
【点评】
本题是二次函数图象变换的基础题型，难度低，只要熟练掌握平移口诀或者顶点位移的判断方法，就能快速得出正确结果，是二次函数平移类考点的基础考查形式。
【难度系数】
0.9

2. 抛物线$y=-x^2+h$的顶点坐标为$(0,2)$，则$h=$。

2. 2

【分析】
本题考查二次函数$y=ax^2+k$的图象性质，我们可以先回忆这类特殊二次函数的顶点坐标规律：形如$y=ax^2+k$的二次函数，顶点坐标为$(0,k)$。题中给出的抛物线解析式为$y=-x^2+h$，刚好符合$y=ax^2+k$的形式，对应可得$k=h$，再结合已知的顶点坐标$(0,2)$，顶点的纵坐标就是$h$的取值，直接对应计算即可。
【解析】
对于二次函数$y=ax^2+k$，其顶点坐标固定为$(0,k)$。
题中抛物线$y=-x^2+h$属于$y=ax^2+k$的形式，其中$a=-1$，$k=h$。
已知该抛物线顶点坐标为$(0,2)$，因此顶点纵坐标$k=h=2$。
【答案】
2
【知识点】
二次函数顶点坐标、$y=ax^2+k$的图象性质
【点评】
本题是基础题型，主要考察对特殊形式二次函数顶点坐标规律的掌握，熟记对应规律即可快速得出结果。
【难度系数】
0.9

3. 抛物线$y=4x^2 -1$与y轴的交点坐标为，与x轴的交点坐标为。

3. $(0,-1);(-\dfrac{1}{2},0),(\dfrac{1}{2},0)$

【分析】
要求抛物线与坐标轴的交点坐标，需结合坐标轴上点的坐标特征求解：①求与y轴交点时，y轴上所有点的横坐标为0，因此只需将x=0代入抛物线解析式求出对应的y值，即可得到交点坐标；②求与x轴交点时，x轴上所有点的纵坐标为0，因此只需将y=0代入抛物线解析式，解关于x的一元二次方程，得到的x值即为交点横坐标，进而得到交点坐标。
【解析】
1. 求抛物线与y轴的交点坐标：
令x=0，代入$y=4x^2 -1$，得$y=4×0^2 -1=-1$，因此抛物线与y轴的交点坐标为$(0,-1)$。
2. 求抛物线与x轴的交点坐标：
令y=0，得方程$4x^2 -1=0$，移项得$4x^2=1$，两边同时除以4得$x^2=\frac{1}{4}$，开平方得$x=\pm\frac{1}{2}$，因此抛物线与x轴的交点坐标为$(-\frac{1}{2},0)$和$(\frac{1}{2},0)$。
【答案】
$(0,-1)$；$(-\dfrac{1}{2},0),(\dfrac{1}{2},0)$
【知识点】
二次函数与坐标轴交点求解；一元二次方程的解法
【点评】
本题属于二次函数的基础题型，主要考查二次函数图象与坐标轴交点的求解方法，解题关键是熟练掌握坐标轴上点的坐标特征，代入计算即可得分，是必须掌握的基础知识点。
【难度系数】
0.9

4. 对于二次函数$y=-2x^2 +4$，当$-2 ＜ x ≤ 1$时，$y$的取值范围是。

4. $-4＜y≤4$

【分析】
求解这类二次函数给定区间的y取值范围问题，思路如下：第一步先明确二次函数的基本性质，包括开口方向、对称轴、顶点坐标，这是判断函数增减性和最值的基础；第二步判断对称轴是否落在给定的x区间内，若在区间内，顶点就是最值点；第三步比较区间两端点到对称轴的距离，开口向下时离对称轴越远y值越小，同时注意区间端点的开闭情况，判断对应的y值是否可取，最终确定y的取值范围。
【解析】
1. 分析二次函数基本性质：对于$y=-2x^2 +4$，
$\because a=-2＜0$，$\therefore$抛物线开口向下，对称轴为直线$x=0$（y轴），顶点坐标为$(0,4)$，即当$x=0$时，$y$取得最大值$4$。
2. 判断对称轴与区间的位置关系：
$\because x=0$满足$-2 ＜ x ≤ 1$，$\therefore y$的最大值$4$可取。
3. 计算区间端点对应的函数值：
当$x=-2$时，$y=-2×(-2)^2+4=-4$，$\because x＞-2$，$\therefore y＞-4$；
当$x=1$时，$y=-2×1^2+4=2$，显然$2＞-4$，即区间内y的最小值无限接近$-4$但无法取到。
综上可得y的取值范围。
【答案】
$-4＜y≤4$
【知识点】
二次函数的图象与性质，二次函数区间值域求解
【点评】
本题考查二次函数在给定区间内的取值范围计算，解题核心是先确定二次函数的开口方向、对称轴，再结合区间判断最值位置，需注意区间端点的开闭对取值范围的影响，避免忽略边界条件出错。
【难度系数】
0.7

5. 如图2，平行于y轴的直线l被抛物线$y=\frac{1}{3}x^2 + 2,y=\frac{1}{3}x^2 - 2$所截.当直线l向右平移5个单位时，直线l被两条抛物线所截得的线段扫过的图形面积为平方单位.

5. 20

【分析】
首先观察两个抛物线的解析式，二次项系数完全相同，说明两条抛物线的形状、开口方向一致，下方抛物线是上方抛物线向下平移4个单位得到的。解题时先计算任意平行于y轴的直线截两条抛物线所得线段的长度，可发现该长度为定值；再分析直线平移时扫过的图形，将其转化为规则图形计算面积即可。
【解析】
设任意平行于y轴的直线对应x的值为$a$，将$x=a$分别代入两个抛物线解析式：
上方抛物线对应的函数值：$y_1=\frac{1}{3}a^2 + 2$
下方抛物线对应的函数值：$y_2=\frac{1}{3}a^2 - 2$
则截得的线段长度为：$y_1 - y_2 = (\frac{1}{3}a^2 + 2) - (\frac{1}{3}a^2 - 2) = 4$，即该线段长度恒为4。
当直线$l$向右平移5个单位时，扫过的图形可通过割补法转化为长为5、宽为4的矩形，面积为$5×4=20$。
【答案】
20
【知识点】
二次函数图象性质，图形平移，割补法求面积
【点评】
本题重点考查转化思想的应用，解题核心是发现两条抛物线的竖直间隔为定值，将动态平移产生的不规则扫过区域转化为规则矩形计算，降低了解题难度。
【难度系数】
0.7