正方形的性质
文字语言：
①正方形既是，又是，它具有的所有性质；
②正方形的四个角都是，四条边；
③正方形的对角线。
图形及符号语言：
∵如图，四边形ABCD是正方形，
∴

①菱形 矩形 菱形与矩形
②直角 相等
③相等且互相垂直平分
∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°,AB=BC=CD=AD,AC=BD,AC⊥BD,AO=OC=BO=OD

【分析】
解题时先回忆正方形的定义与性质：正方形是特殊的平行四边形，同时符合菱形和矩形的特征，我们可从从属关系、角、边、对角线四个维度梳理正方形的性质，再结合给出的图形，把文字性质转化为对应边角、对角线的符号表达式即可。
【解析】
①从图形从属关系来看，正方形既满足菱形的特征，也满足矩形的特征，因此正方形既是菱形，又是矩形，具有菱形与矩形的所有性质；
②从角和边的特征来看，正方形的四个角都是直角，四条边长度相等；
③从对角线的特征来看，结合矩形和菱形对角线的性质可得，正方形的对角线相等且互相垂直平分；
符号语言部分，结合图中正方形ABCD及对角线交点O，将上述性质转化为符号表达：∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°,AB=BC=CD=AD,AC=BD,AC⊥BD,AO=OC=BO=OD。
【答案】
①菱形 矩形 菱形与矩形
②直角 相等
③相等且互相垂直平分
∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°,AB=BC=CD=AD,AC=BD,AC⊥BD,AO=OC=BO=OD
【知识点】
正方形的性质、矩形的性质、菱形的性质
【点评】
本题属于识记类基础题，考查正方形的基础性质，需要明确正方形与矩形、菱形的从属关系，熟练掌握正方形边、角、对角线的特征，能准确完成文字语言和几何符号语言的转化，是后续学习正方形相关证明与计算的基础。
【难度系数】
0.9

1.小华在整理平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质时，发现它们的对角线都具有的同一性质是（）。

A.相等
B.互相垂直
C.互相平分
D.平分一组对角

1.C

【分析】
拿到本题可采用排除法解题，解题思路如下：首先明确平行四边形、矩形、菱形、正方形的从属关系，矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，正方形兼具矩形和菱形的所有性质。接下来逐一核对每个选项，只要某一性质有任意一个图形不满足，即可排除该选项，最终筛选出四个图形共有的对角线性质。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 对角线相等：仅矩形、正方形的对角线相等，平行四边形、菱形的对角线不一定相等，不符合要求，排除；
B. 对角线互相垂直：仅菱形、正方形的对角线互相垂直，平行四边形、矩形的对角线不一定垂直，不符合要求，排除；
C. 对角线互相平分：平行四边形的基本性质就是对角线互相平分，而矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，因此都具备该性质，符合要求；
D. 对角线平分一组对角：仅菱形、正方形的对角线平分一组对角，平行四边形、矩形的对角线不具备该性质，不符合要求，排除。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形性质；矩形性质；菱形与正方形性质
【点评】
本题属于基础概念辨析题，重点考查常见四边形对角线性质的异同，熟记各类平行四边形的性质，巧用排除法可快速得到答案。
【难度系数】
0.9

2.如图,四边形ABCD是正方形,延长AB至点E,使$AE=AC$,则$∠BCE$的度数是()。

A.$67.5°$
B.$22.5°$
C.$30°$
D.$45°$

2.B

【分析】
解题时先从正方形的性质入手，正方形的对角线平分一组内角，可得∠CAB=∠ACB=45°；再结合AE=AC的条件，可知△ACE是等腰三角形，利用三角形内角和定理可求出∠ACE的度数；最后用∠ACE减去∠ACB的度数，即可得到∠BCE的度数。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形，AC为对角线，
∴∠CAB=∠ACB=45°，
∵AE=AC，
∴△ACE为等腰三角形，∠ACE=∠E，
根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ ACE=\frac{180°-∠ CAB}{2}=\frac{180°-45°}{2}=67.5°$，
∴$∠ BCE=∠ ACE-∠ ACB=67.5°-45°=22.5°$。
【答案】
B
【知识点】
正方形的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是角度计算的基础题型，解题的关键是熟练掌握正方形对角线的特征和等腰三角形等边对等角的性质，将所求角转化为两个已知角度的差即可求解，计算时注意不要混淆角的对应关系。
【难度系数】
0.8

3.如图,过正方形ABCD的顶点B作直线l,过点A,C作直线l的垂线,垂足分别为E,F。若$AE=1$,$CF=3$,则AB的长为()。

A.$\sqrt{10}$
B.10
C.3
D.$\sqrt{5}$

3.A

【分析】
解题时先从正方形的性质入手，正方形四条边相等、四个角为直角，可得AB=BC，∠ABC=90°。结合AE、CF都垂直于直线l，可得到两个直角，再通过同角的余角相等推出∠ABE=∠BCF，即可证明△ABE和△BCF全等，利用全等的性质得到BE的长度，最后在Rt△ABE中用勾股定理计算AB的长即可。
【解析】
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠ABE+∠CBF=90°，
∵AE⊥直线l，CF⊥直线l，
∴∠AEB=∠BFC=90°，
∴∠CBF+∠BCF=90°，
∴∠ABE=∠BCF，
在△ABE和△BCF中：
$\{\begin{array}{l}∠AEB=∠BFC \\∠ABE=∠BCF \\AB=BC\end{array} $
∴△ABE≌△BCF（AAS），
∴BE=CF=3，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AE^2+BE^2}=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$
故选A。
【答案】
A
【知识点】
正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题属于几何基础综合题，核心突破口是通过角度互余关系推导等角，进而证明三角形全等实现线段长度的转化，再结合勾股定理求解，是正方形相关考点的典型基础题。
【难度系数】
0.7

4.如图，正方形ABCD的边长为6，在各边上顺次截取AE=BF=CG=DH=4，则四边形EFGH的面积是（）。

A.14
B.16
C.18
D.20

4.D

【分析】
解题可从两种思路入手：一是面积割补法，先计算大正方形的面积，再减去周边4个小直角三角形的总面积，直接得到四边形EFGH的面积；二是先判定四边形EFGH的形状，根据正方形边角的性质先证明周边4个小直角三角形全等，推导得四边形EFGH是正方形，计算边长后再求面积，两种方法均符合学段知识要求，其中割补法计算更简便。
【解析】
解：
∵正方形ABCD的边长为6，
∴$S_{正方形ABCD}=6×6=36$，且$∠ A=∠ B=∠ C=∠ D=90°$。
∵$AE=BF=CG=DH=4$，
∴$AH=BE=CF=DG=6-4=2$。
每个小直角三角形的面积为$\frac{1}{2}×2×4=4$，4个小三角形的总面积为$4×4=16$。
则四边形EFGH的面积 = 大正方形面积 - 4个小三角形总面积 = $36-16=20$。
也可通过SAS证明$△ AEH≌△ BFE≌△ CGF≌△ DHG$，得$EH=EF=FG=GH$，且可推导得$∠ HEF=90°$，即四边形EFGH是正方形，边长$EH=\sqrt{4^2+2^2}=\sqrt{20}$，面积为$(\sqrt{20})^2=20$，结果一致。
【答案】
D
【知识点】
正方形的性质，割补法求面积，全等三角形判定
【点评】
本题是正方形性质的基础应用题，通过分析边的数量关系选择合适的方法即可快速求解，既可以用割补法简化计算，也可以通过证明特殊四边形求解，能较好考查学生对基础知识点的灵活运用能力。
【难度系数】
0.8

识别出错

B

【分析】
本题考查正方形性质的正误辨析，解题思路如下：首先回忆正方形的核心性质（正方形同时具备矩形和菱形的所有性质），再逐一比对每个选项的描述是否符合性质要求，最终找出描述错误的选项即可。
【解析】
首先明确正方形的基础性质：
1. 边的性质：四条边长度全部相等，对边互相平行；
2. 角的性质：四个内角均为直角（90°）；
3. 对角线性质：对角线互相垂直、互相平分且长度相等，每条对角线平分一组对角；
4. 对称性：既是轴对称图形（共4条对称轴），也是中心对称图形。
对各选项逐一分析：
A选项：正方形四个角都是直角，符合性质，描述正确，不符合题意；
B选项：正方形的对角线仅平分、相等，不互相垂直，该描述违背正方形对角线互相垂直的性质，描述错误，符合题意；
C选项：正方形四条边都相等，符合性质，描述正确，不符合题意；
D选项：正方形是轴对称图形，有4条对称轴，符合性质，描述正确，不符合题意。
因此错误选项为B。
【答案】
B
【知识点】
正方形的性质
【点评】
本题属于基础概念类题型，核心是要牢记正方形同时具备矩形和菱形的全部性质，解题时注意不要和其他特殊平行四边形的性质混淆即可。
【难度系数】
0.85

6.若正方形ABCD的边长AB=4，则它的对角线AC的长为。

6.$4\sqrt{2}$

【分析】
要计算正方形对角线的长度，先结合正方形的性质分析：正方形的四个内角均为直角，且四条边长度相等，因此对角线AC与相邻的两条边AB、BC可构成等腰直角三角形，已知边长的前提下，用勾股定理即可求出对角线长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形，AB=4
∴∠B=90°，AB=BC=4
在Rt△ABC中，根据勾股定理可得：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{4^2+4^2}=\sqrt{16+16}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$
【答案】
$4\sqrt{2}$
【知识点】
正方形的性质，勾股定理
【点评】
本题属于基础几何计算题，核心是利用正方形的特征构造直角三角形，结合勾股定理求解线段长度，熟练掌握常见几何图形的基本性质是解题的关键。
【难度系数】
0.9

7.如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，M是边AD上一点，连接OM，过点O作$ON⊥OM$交CD于点N。若四边形MOND的面积是4，则AB的长为（）。

A.2
B.$2\sqrt{2}$
C.4
D.$4\sqrt{2}$

7.C 解析:如图,过点O作OE⊥AD于点E,作OF⊥CD于点F,则∠OEM=∠OFN=∠OFD=90°。
∵四边形ABCD是正方形，
∴OA=OD=OC,∠ADC=90°。
∴DE=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$CD=DF,四边形OEDF是矩形。
∴四边形OEDF是正方形。
∴OE=OF,∠EOF=90°。
∵ON⊥OM，
∴∠MON=90°=∠EOF。
∴∠EOM=∠FON。
∴△OEM≌△OFN(ASA)。
∴正方形OFDE的面积等于四边形MOND的面积。
∴DE²=4。
∴DE=2(负值已舍掉)。
∴AB=AD=2DE=4。

【分析】
解决本题首先要结合正方形的性质分析已知条件：正方形对角线交于O，说明O是对角线的中点，且正方形各角为直角、各边相等。四边形MOND是不规则图形，直接通过它的面积求边长较为困难，因此考虑作辅助线将其面积转化为规则图形的面积：过O分别作AD、CD的垂线，构造出两个直角三角形，再结合OM⊥ON的条件证明三角形全等，即可把四边形MOND的面积转化为小正方形的面积，最后根据小正方形与原正方形的边长关系求出AB的长度。
【解析】
如图，过点O作OE⊥AD于点E，作OF⊥CD于点F，则∠OEM=∠OFN=∠OFD=90°。
∵四边形ABCD是正方形，
∴OA=OD=OC，∠ADC=90°。
∴DE=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$CD=DF，四边形OEDF是矩形。
∴四边形OEDF是正方形。
∴OE=OF，∠EOF=90°。
∵ON⊥OM，
∴∠MON=90°=∠EOF，
∴∠MON - ∠MOF = ∠EOF - ∠MOF，即∠EOM=∠FON。
在△OEM和△OFN中：
$\{\begin{array}{l}∠OEM=∠OFN \\OE=OF \\∠EOM=∠FON\end{array} $
∴△OEM≌△OFN(ASA)。
∴$S_{△ OEM}=S_{△ OFN}$，因此正方形OFDE的面积等于四边形MOND的面积，即$S_{正方形OFDE}=4$。
∴$DE^2=4$，解得DE=2（负值舍去）。
∵AD=2DE，AB=AD，
∴AB=4。
【答案】
C
【知识点】
正方形的性质；全等三角形的判定与性质；面积转化
【点评】
本题是正方形性质应用的典型题型，解题关键是通过作辅助线构造全等三角形，将不规则四边形的面积转化为规则正方形的面积，需要熟练掌握正方形的性质和全等三角形的判定方法。
【难度系数】
0.7