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三、解答题
11. 如图，在$□ ABCD$中，$AC ⊥ AD$，延长$DA$至点$E$，使得$AE=DA$，连接$BE$。
(1)求证：四边形$AEBC$是矩形；
(2)过点$E$作$AB$的垂线分别交$AB$，$AC$于点$F$，$G$，连接$CE$交$AB$于点$O$，连接$OG$，若$AB=6$，$∠ CAB=30°$，求$△ OGC$的面积。
11. 如图，在$□ ABCD$中，$AC ⊥ AD$，延长$DA$至点$E$，使得$AE=DA$，连接$BE$。
(1)求证：四边形$AEBC$是矩形；
(2)过点$E$作$AB$的垂线分别交$AB$，$AC$于点$F$，$G$，连接$CE$交$AB$于点$O$，连接$OG$，若$AB=6$，$∠ CAB=30°$，求$△ OGC$的面积。
答案
11.(1)证明:$\because$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形，
$\therefore AD// BC,AD=BC$。
$\therefore AE// BC$。
$\because AE=DA$，
$\therefore AE=BC$。
$\therefore$ 四边形 $AEBC$ 是平行四边形。
$\because AC⊥ AD$，
$\therefore ∠ CAE=90°$。
$\therefore$ 四边形 $AEBC$ 是矩形。
(2)解:$\because EG⊥ AB,AC⊥ AD$，
$\therefore ∠ AFG=90°,∠ CAE=90°$。
$\because ∠ CAB=30°$，
$\therefore ∠ AGF=60°,∠ EAF=60°$。
$\because$ 四边形 $AEBC$ 是矩形，
$\therefore OA=OC=OB=OE$。
$\therefore ∠ OCA=30°,△ AOE$ 是等边三角形。
$\therefore AE=EO$。
$\therefore AF=OF$。
$\therefore AG=OG$。
$\therefore ∠ GOF=∠ GAF=30°$。
$\therefore ∠ CGO=60°$。$\therefore ∠ COG=90°$。
$\because OC=OA=\dfrac{1}{2}AB=3$，
$\therefore OG=\sqrt{3}$。
$\therefore △ OGC$ 的面积为 $\dfrac{1}{2}× 3× \sqrt{3}=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$。
$\therefore AD// BC,AD=BC$。
$\therefore AE// BC$。
$\because AE=DA$，
$\therefore AE=BC$。
$\therefore$ 四边形 $AEBC$ 是平行四边形。
$\because AC⊥ AD$，
$\therefore ∠ CAE=90°$。
$\therefore$ 四边形 $AEBC$ 是矩形。
(2)解:$\because EG⊥ AB,AC⊥ AD$，
$\therefore ∠ AFG=90°,∠ CAE=90°$。
$\because ∠ CAB=30°$，
$\therefore ∠ AGF=60°,∠ EAF=60°$。
$\because$ 四边形 $AEBC$ 是矩形，
$\therefore OA=OC=OB=OE$。
$\therefore ∠ OCA=30°,△ AOE$ 是等边三角形。
$\therefore AE=EO$。
$\therefore AF=OF$。
$\therefore AG=OG$。
$\therefore ∠ GOF=∠ GAF=30°$。
$\therefore ∠ CGO=60°$。$\therefore ∠ COG=90°$。
$\because OC=OA=\dfrac{1}{2}AB=3$，
$\therefore OG=\sqrt{3}$。
$\therefore △ OGC$ 的面积为 $\dfrac{1}{2}× 3× \sqrt{3}=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$。
解析
【分析】
(1) 要证明四边形AEBC是矩形，按照矩形判定的常规思路，先证其为平行四边形，再证明存在一个内角为直角即可。首先利用平行四边形ABCD对边平行且相等的性质，得到AD与BC的位置和数量关系，结合AE=DA的条件，可推出AE与BC平行且相等，先判定AEBC是平行四边形；再结合AC⊥AD的条件得到∠CAE=90°，即可完成矩形的证明。
(2) 求△OGC的面积，首先需要明确该三角形的边角特征。先利用矩形对角线相等且互相平分的性质得到OA=OC=3，再结合已知的∠CAB=30°、EG⊥AB等条件逐步推导角度关系，判断△OGC为直角三角形，求出OG的长度后，利用直角三角形面积公式计算即可。
【解析】
(1) 证明:$\because$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形，
$\therefore AD// BC,AD=BC$，
$\therefore AE// BC$，
$\because AE=DA$，
$\therefore AE=BC$，
$\therefore$ 四边形 $AEBC$ 是平行四边形，
$\because AC⊥ AD$，
$\therefore ∠ CAE=90°$，
$\therefore$ 四边形 $AEBC$ 是矩形。
(2) 解:$\because EG⊥ AB,AC⊥ AD$，
$\therefore ∠ AFG=90°,∠ CAE=90°$，
$\because ∠ CAB=30°$，
$\therefore ∠ AGF=60°,∠ EAF=60°$，
$\because$ 四边形 $AEBC$ 是矩形，
$\therefore OA=OC=OB=OE$，
$\therefore ∠ OCA=30°,△ AOE$ 是等边三角形，
$\therefore AE=EO$，
$\because EG⊥AB$，
$\therefore AF=OF$，
$\therefore AG=OG$，
$\therefore ∠ GOF=∠ GAF=30°$，
$\therefore ∠ CGO=60°，∠ COG=90°$，
$\because OC=OA=\dfrac{1}{2}AB=3$，
$\therefore OG=OC·\tan30°=3×\dfrac{\sqrt{3}}{3}=\sqrt{3}$，
$\therefore △ OGC$ 的面积为 $\dfrac{1}{2}× 3× \sqrt{3}=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$。
【答案】
(1) 四边形AEBC是矩形，证明成立；
(2) $\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$
【知识点】
平行四边形的性质，矩形的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题综合考查了特殊平行四边形的判定、性质及几何计算，需要熟练掌握平行四边形、矩形的相关定理，能结合已知角度条件推导图形的边角关系，对逻辑推理能力和计算能力有一定要求，是几何部分的常见综合题型。
【难度系数】
0.6
(1) 要证明四边形AEBC是矩形，按照矩形判定的常规思路，先证其为平行四边形，再证明存在一个内角为直角即可。首先利用平行四边形ABCD对边平行且相等的性质，得到AD与BC的位置和数量关系，结合AE=DA的条件，可推出AE与BC平行且相等，先判定AEBC是平行四边形；再结合AC⊥AD的条件得到∠CAE=90°，即可完成矩形的证明。
(2) 求△OGC的面积，首先需要明确该三角形的边角特征。先利用矩形对角线相等且互相平分的性质得到OA=OC=3，再结合已知的∠CAB=30°、EG⊥AB等条件逐步推导角度关系，判断△OGC为直角三角形，求出OG的长度后，利用直角三角形面积公式计算即可。
【解析】
(1) 证明:$\because$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形，
$\therefore AD// BC,AD=BC$，
$\therefore AE// BC$，
$\because AE=DA$，
$\therefore AE=BC$，
$\therefore$ 四边形 $AEBC$ 是平行四边形，
$\because AC⊥ AD$，
$\therefore ∠ CAE=90°$，
$\therefore$ 四边形 $AEBC$ 是矩形。
(2) 解:$\because EG⊥ AB,AC⊥ AD$，
$\therefore ∠ AFG=90°,∠ CAE=90°$，
$\because ∠ CAB=30°$，
$\therefore ∠ AGF=60°,∠ EAF=60°$，
$\because$ 四边形 $AEBC$ 是矩形，
$\therefore OA=OC=OB=OE$，
$\therefore ∠ OCA=30°,△ AOE$ 是等边三角形，
$\therefore AE=EO$，
$\because EG⊥AB$，
$\therefore AF=OF$，
$\therefore AG=OG$，
$\therefore ∠ GOF=∠ GAF=30°$，
$\therefore ∠ CGO=60°，∠ COG=90°$，
$\because OC=OA=\dfrac{1}{2}AB=3$，
$\therefore OG=OC·\tan30°=3×\dfrac{\sqrt{3}}{3}=\sqrt{3}$，
$\therefore △ OGC$ 的面积为 $\dfrac{1}{2}× 3× \sqrt{3}=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$。
【答案】
(1) 四边形AEBC是矩形，证明成立；
(2) $\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$
【知识点】
平行四边形的性质，矩形的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题综合考查了特殊平行四边形的判定、性质及几何计算，需要熟练掌握平行四边形、矩形的相关定理，能结合已知角度条件推导图形的边角关系，对逻辑推理能力和计算能力有一定要求，是几何部分的常见综合题型。
【难度系数】
0.6
12.如图，在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，D是斜边AB上一点，过点D作BC的垂线，垂足为E，延长DE至点G，使得$GE=DE$，过点D作AC的垂线，垂足为F，延长DF交GC的延长线于点H，连接EF。
(1)求证：四边形CEDF是矩形。
(2)当点D在什么位置时，HG最短？请说明理由。
(1)求证：四边形CEDF是矩形。
(2)当点D在什么位置时，HG最短？请说明理由。
答案
12.(1)证明:$\because DG⊥ BC,DH⊥ AC$，
$\therefore ∠ DEC=∠ DFC=90°$。
又$\because ∠ ACB=90°$，
$\therefore$ 四边形 $CEDF$ 是矩形。
(2)解:当 $CD⊥ AB$ 于点 $D$ 时，$HG$ 最短。
理由:如图,连接 $CD$。
$\because$ 四边形 $CEDF$ 是矩形，
$\therefore ∠ EDF=90°,CF// DG,DH// BC$。
$\therefore ∠ ACD=∠ CDG,∠ HCF=∠ G$。
$\because DE=GE,DG⊥ BC$，
$\therefore CD=CG$。
$\therefore ∠ CDG=∠ G$。
$\therefore ∠ HCF=∠ FCD$。
$\because DH⊥ AC$，
$\therefore ∠ CFH=∠ CFD=90°$。
$\therefore CH=CD=CG$。
$\therefore HG=2CD$。
$\therefore$ 当 $CD$ 最短时，即 $CD⊥ AB$ 于点 $D$ 时，$HG$ 最短。
解析
【分析】
(1) 要证明四边形CEDF是矩形，可利用“三个内角为直角的四边形是矩形”的判定定理推导。已知∠ACB=90°，结合题目给出的DE⊥BC、DF⊥AC的条件，可得到另外两个直角，即可完成证明。
(2) 求HG最短时点D的位置，首先需要建立HG和已知线段的数量关系：先连接CD，利用矩形的性质、垂直平分线的性质、等腰三角形的性质推导得出HG=2CD，此时HG最短的问题可转化为CD最短的问题；根据“垂线段最短”，点C到直线AB的最短距离是C到AB的垂线段长度，因此当CD垂直AB时CD最短，对应HG最短。
【解析】
(1) 证明：$\because DG⊥ BC,DH⊥ AC$，
$\therefore ∠ DEC=∠ DFC=90°$。
又$\because ∠ ACB=90°$，
$\therefore$ 四边形 $CEDF$ 是矩形。
(2) 解：当 $CD⊥ AB$ 于点 $D$ 时，$HG$ 最短。
理由：如图，连接 $CD$。
$\because$ 四边形 $CEDF$ 是矩形，
$\therefore ∠ EDF=90°,CF// DG,DH// BC$。
$\therefore ∠ ACD=∠ CDG,∠ HCF=∠ G$。
$\because DE=GE,DG⊥ BC$，
$\therefore BC$ 垂直平分DG，$\therefore CD=CG$。
$\therefore ∠ CDG=∠ G$。
$\therefore ∠ HCF=∠ FCD$。
$\because DH⊥ AC$，
$\therefore ∠ CFH=∠ CFD=90°$。
$\therefore CH=CD=CG$。
$\therefore HG=CH+CG=2CD$。
根据垂线段最短的性质，当CD最短时HG最短，即 $CD⊥ AB$ 于点 $D$ 时，$HG$ 最短。
【答案】
(1)证明:$\because DG⊥ BC,DH⊥ AC$，
$\therefore ∠ DEC=∠ DFC=90°$。
又$\because ∠ ACB=90°$，
$\therefore$ 四边形 $CEDF$ 是矩形。
(2)解:当 $CD⊥ AB$ 于点 $D$ 时，$HG$ 最短。
理由:如图,连接 $CD$。
$\because$ 四边形 $CEDF$ 是矩形，
$\therefore ∠ EDF=90°,CF// DG,DH// BC$。
$\therefore ∠ ACD=∠ CDG,∠ HCF=∠ G$。
$\because DE=GE,DG⊥ BC$，
$\therefore CD=CG$。
$\therefore ∠ CDG=∠ G$。
$\therefore ∠ HCF=∠ FCD$。
$\because DH⊥ AC$，
$\therefore ∠ CFH=∠ CFD=90°$。
$\therefore CH=CD=CG$。
$\therefore HG=2CD$。
$\therefore$ 当 $CD$ 最短时，即 $CD⊥ AB$ 于点 $D$ 时，$HG$ 最短。
【知识点】
矩形的判定与性质，垂直平分线的性质，垂线段最短
【点评】
本题将四边形性质和几何最值问题结合考查，解题的核心是通过角的等量代换和等腰三角形性质，将HG的长度转化为CD长度的2倍，把动态最值问题转化为熟悉的垂线段最短问题，能有效锻炼几何转化思维。
【难度系数】
0.6
(1) 要证明四边形CEDF是矩形，可利用“三个内角为直角的四边形是矩形”的判定定理推导。已知∠ACB=90°，结合题目给出的DE⊥BC、DF⊥AC的条件，可得到另外两个直角，即可完成证明。
(2) 求HG最短时点D的位置，首先需要建立HG和已知线段的数量关系：先连接CD，利用矩形的性质、垂直平分线的性质、等腰三角形的性质推导得出HG=2CD，此时HG最短的问题可转化为CD最短的问题；根据“垂线段最短”，点C到直线AB的最短距离是C到AB的垂线段长度，因此当CD垂直AB时CD最短，对应HG最短。
【解析】
(1) 证明：$\because DG⊥ BC,DH⊥ AC$，
$\therefore ∠ DEC=∠ DFC=90°$。
又$\because ∠ ACB=90°$，
$\therefore$ 四边形 $CEDF$ 是矩形。
(2) 解：当 $CD⊥ AB$ 于点 $D$ 时，$HG$ 最短。
理由：如图，连接 $CD$。
$\because$ 四边形 $CEDF$ 是矩形，
$\therefore ∠ EDF=90°,CF// DG,DH// BC$。
$\therefore ∠ ACD=∠ CDG,∠ HCF=∠ G$。
$\because DE=GE,DG⊥ BC$，
$\therefore BC$ 垂直平分DG，$\therefore CD=CG$。
$\therefore ∠ CDG=∠ G$。
$\therefore ∠ HCF=∠ FCD$。
$\because DH⊥ AC$，
$\therefore ∠ CFH=∠ CFD=90°$。
$\therefore CH=CD=CG$。
$\therefore HG=CH+CG=2CD$。
根据垂线段最短的性质，当CD最短时HG最短，即 $CD⊥ AB$ 于点 $D$ 时，$HG$ 最短。
【答案】
(1)证明:$\because DG⊥ BC,DH⊥ AC$，
$\therefore ∠ DEC=∠ DFC=90°$。
又$\because ∠ ACB=90°$，
$\therefore$ 四边形 $CEDF$ 是矩形。
(2)解:当 $CD⊥ AB$ 于点 $D$ 时，$HG$ 最短。
理由:如图,连接 $CD$。
$\because$ 四边形 $CEDF$ 是矩形，
$\therefore ∠ EDF=90°,CF// DG,DH// BC$。
$\therefore ∠ ACD=∠ CDG,∠ HCF=∠ G$。
$\because DE=GE,DG⊥ BC$，
$\therefore CD=CG$。
$\therefore ∠ CDG=∠ G$。
$\therefore ∠ HCF=∠ FCD$。
$\because DH⊥ AC$，
$\therefore ∠ CFH=∠ CFD=90°$。
$\therefore CH=CD=CG$。
$\therefore HG=2CD$。
$\therefore$ 当 $CD$ 最短时，即 $CD⊥ AB$ 于点 $D$ 时，$HG$ 最短。
【知识点】
矩形的判定与性质，垂直平分线的性质，垂线段最短
【点评】
本题将四边形性质和几何最值问题结合考查，解题的核心是通过角的等量代换和等腰三角形性质，将HG的长度转化为CD长度的2倍，把动态最值问题转化为熟悉的垂线段最短问题，能有效锻炼几何转化思维。
【难度系数】
0.6
