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8.用配方法解一元二次方程$2x^2 - 3x - 1 = 0$，配方正确的是（
A.$(x - \dfrac{3}{4})^2 = \dfrac{17}{16}$
B.$(x - \dfrac{3}{4})^2 = \dfrac{1}{2}$
C.$(x - \dfrac{3}{2})^2 = \dfrac{13}{4}$
D.$(x - \dfrac{3}{2})^2 = \dfrac{11}{4}$
A
）。A.$(x - \dfrac{3}{4})^2 = \dfrac{17}{16}$
B.$(x - \dfrac{3}{4})^2 = \dfrac{1}{2}$
C.$(x - \dfrac{3}{2})^2 = \dfrac{13}{4}$
D.$(x - \dfrac{3}{2})^2 = \dfrac{11}{4}$
答案
8.A
解析
【分析】
要使用配方法解本题的一元二次方程，需按照配方法的固定步骤思考：第一步先将二次项系数化为1，第二步把常数项移到等号右侧，第三步在等号两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧整理为完全平方式，右侧合并计算得到配方结果，再和选项对比即可选出正确答案。
【解析】
解：对原方程$2x^2 - 3x - 1 = 0$按步骤配方：
1. 化二次项系数为1：方程两边同时除以2，得$x^2 - \dfrac{3}{2}x - \dfrac{1}{2} = 0$；
2. 移项：将常数项移到等号右侧，得$x^2 - \dfrac{3}{2}x = \dfrac{1}{2}$；
3. 配方：等号两边同时加一次项系数$-\dfrac{3}{2}$一半的平方，即$(-\dfrac{3}{4})^2=\dfrac{9}{16}$，得：
$x^2 - \dfrac{3}{2}x + \dfrac{9}{16} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{9}{16}$
左侧整理为完全平方式，右侧通分计算得：
$(x - \dfrac{3}{4})^2 = \dfrac{8}{16} + \dfrac{9}{16} = \dfrac{17}{16}$
因此配方正确的是选项A。
【答案】
A
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式
【点评】
本题属于配方法的基础考查题型，解题核心是牢记配方法的操作步骤，特别注意要先将二次项系数化为1，配方时需保证等式两边同时加相同的数，避免出现漏加、计算错误的问题。
【难度系数】
0.8
要使用配方法解本题的一元二次方程，需按照配方法的固定步骤思考：第一步先将二次项系数化为1，第二步把常数项移到等号右侧，第三步在等号两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧整理为完全平方式，右侧合并计算得到配方结果，再和选项对比即可选出正确答案。
【解析】
解：对原方程$2x^2 - 3x - 1 = 0$按步骤配方：
1. 化二次项系数为1：方程两边同时除以2，得$x^2 - \dfrac{3}{2}x - \dfrac{1}{2} = 0$；
2. 移项：将常数项移到等号右侧，得$x^2 - \dfrac{3}{2}x = \dfrac{1}{2}$；
3. 配方：等号两边同时加一次项系数$-\dfrac{3}{2}$一半的平方，即$(-\dfrac{3}{4})^2=\dfrac{9}{16}$，得：
$x^2 - \dfrac{3}{2}x + \dfrac{9}{16} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{9}{16}$
左侧整理为完全平方式，右侧通分计算得：
$(x - \dfrac{3}{4})^2 = \dfrac{8}{16} + \dfrac{9}{16} = \dfrac{17}{16}$
因此配方正确的是选项A。
【答案】
A
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式
【点评】
本题属于配方法的基础考查题型，解题核心是牢记配方法的操作步骤，特别注意要先将二次项系数化为1，配方时需保证等式两边同时加相同的数，避免出现漏加、计算错误的问题。
【难度系数】
0.8
9.多项式$x^2 + y^2 - 4x + 6y + 12$的最小值是（
A.$-2$
B.$-1$
C.$0$
D.$12$
B
）。A.$-2$
B.$-1$
C.$0$
D.$12$
答案
9.B
解析
【分析】
要求这个二次多项式的最小值，我们可以用配方法，把多项式中含x的项、含y的项分别组合，配成完全平方的形式，再利用完全平方的非负性（任何数的平方都大于等于0），就能求出整个式子的最小值。具体步骤是先分组，再对每组配方，注意配方时新增的常数要在后面减掉，保证式子和原式相等，最后根据非负性判断最小值即可。
【解析】
对多项式进行配方：
$\begin{aligned}x^2 + y^2 - 4x + 6y + 12&=(x^2 - 4x) + (y^2 + 6y) + 12\\&=(x^2 -4x +4 -4) + (y^2 +6y +9 -9) +12\\&=(x-2)^2 -4 + (y+3)^2 -9 +12\\&=(x-2)^2 + (y+3)^2 -1\end{aligned}$
根据完全平方的非负性可知：$(x-2)^2≥0$，$(y+3)^2≥0$，因此$(x-2)^2 + (y+3)^2≥0$，代入上式可得：
$x^2 + y^2 -4x +6y +12 ≥ 0 -1 = -1$
当$x=2$，$y=-3$时，两个平方项都为0，多项式取到最小值$-1$。
【答案】
B
【知识点】
配方法的应用，完全平方的非负性，多项式最值求解
【点评】
本题是配方法的典型应用题目，解题核心是通过配方将原式转化为非负式与常数的和的结构，再结合非负性求最值，熟练掌握配方法的步骤是解决这类题的关键。
【难度系数】
0.7
要求这个二次多项式的最小值，我们可以用配方法，把多项式中含x的项、含y的项分别组合，配成完全平方的形式，再利用完全平方的非负性（任何数的平方都大于等于0），就能求出整个式子的最小值。具体步骤是先分组，再对每组配方，注意配方时新增的常数要在后面减掉，保证式子和原式相等，最后根据非负性判断最小值即可。
【解析】
对多项式进行配方：
$\begin{aligned}x^2 + y^2 - 4x + 6y + 12&=(x^2 - 4x) + (y^2 + 6y) + 12\\&=(x^2 -4x +4 -4) + (y^2 +6y +9 -9) +12\\&=(x-2)^2 -4 + (y+3)^2 -9 +12\\&=(x-2)^2 + (y+3)^2 -1\end{aligned}$
根据完全平方的非负性可知：$(x-2)^2≥0$，$(y+3)^2≥0$，因此$(x-2)^2 + (y+3)^2≥0$，代入上式可得：
$x^2 + y^2 -4x +6y +12 ≥ 0 -1 = -1$
当$x=2$，$y=-3$时，两个平方项都为0，多项式取到最小值$-1$。
【答案】
B
【知识点】
配方法的应用，完全平方的非负性，多项式最值求解
【点评】
本题是配方法的典型应用题目，解题核心是通过配方将原式转化为非负式与常数的和的结构，再结合非负性求最值，熟练掌握配方法的步骤是解决这类题的关键。
【难度系数】
0.7
10.已知关于$ x $的一元二次方程$ m(x-h)^2 - k = 0 $的解是$ x_1=2, x_2=5 $，则关于$ x $的一元二次方程$ m(x-h+3)^2 = k $的解是(
A.$ x_1=2, x_2=3 $
B.$ x_1=2, x_2=5 $
C.$ x_1=1, x_2=0 $
D.$ x_1=-1, x_2=2 $
D
)。A.$ x_1=2, x_2=3 $
B.$ x_1=2, x_2=5 $
C.$ x_1=1, x_2=0 $
D.$ x_1=-1, x_2=2 $
答案
10.D
解析
【分析】
我们可以通过观察两个方程的结构特点来解题：首先将已知方程和待求方程整理为相同形式，发现待求方程可以把$(x+3)$看作整体，对应已知方程中的未知数$x$，利用已知方程的解就能快速求出待求方程的解，无需计算$m$、$h$、$k$的具体数值。
【解析】
首先对已知方程变形：$m(x-h)^2 - k = 0$可化为$m(x-h)^2 = k$，已知它的解为$x_1=2, x_2=5$，即当$x=2$或$x=5$时，等式$m(x-h)^2 = k$成立。
再对待求方程变形：$m(x-h+3)^2 = k$可整理为$m[(x+3)-h]^2 = k$。
将$(x+3)$看作整体，可得：
$x+3=2$ 或 $x+3=5$
分别解两个一元一次方程：
当$x+3=2$时，$x=2-3=-1$；
当$x+3=5$时，$x=5-3=2$。
因此待求方程的解为$x_1=-1, x_2=2$。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的解；换元法解方程
【点评】
本题侧重考查整体代换的数学思想，不需要求出参数的具体值，只需通过对比两个方程的结构，利用整体代换即可快速求解，能有效简化运算。
【难度系数】
0.7
我们可以通过观察两个方程的结构特点来解题：首先将已知方程和待求方程整理为相同形式，发现待求方程可以把$(x+3)$看作整体，对应已知方程中的未知数$x$，利用已知方程的解就能快速求出待求方程的解，无需计算$m$、$h$、$k$的具体数值。
【解析】
首先对已知方程变形：$m(x-h)^2 - k = 0$可化为$m(x-h)^2 = k$，已知它的解为$x_1=2, x_2=5$，即当$x=2$或$x=5$时，等式$m(x-h)^2 = k$成立。
再对待求方程变形：$m(x-h+3)^2 = k$可整理为$m[(x+3)-h]^2 = k$。
将$(x+3)$看作整体，可得：
$x+3=2$ 或 $x+3=5$
分别解两个一元一次方程：
当$x+3=2$时，$x=2-3=-1$；
当$x+3=5$时，$x=5-3=2$。
因此待求方程的解为$x_1=-1, x_2=2$。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的解；换元法解方程
【点评】
本题侧重考查整体代换的数学思想，不需要求出参数的具体值，只需通过对比两个方程的结构，利用整体代换即可快速求解，能有效简化运算。
【难度系数】
0.7
11. 用配方法解下列方程：
(1) $3x^2 = 4x - 1$；
(2) $2x(x - 1) = x - 1$；
(3) $(x - 2)^2 - 4(x - 2) - 5 = 0$；
(4) $x^2 - 2ax - 3a^2 = 0$。
(1) $3x^2 = 4x - 1$；
(2) $2x(x - 1) = x - 1$；
(3) $(x - 2)^2 - 4(x - 2) - 5 = 0$；
(4) $x^2 - 2ax - 3a^2 = 0$。
答案
11.解:(1)$x_1=1,x_2=\frac{1}{3}$。
(2)$x_1=1,x_2=\frac{1}{2}$。
(3)$x_1=7,x_2=1$。
(4)$x_1=3a,x_2=-a$。
(2)$x_1=1,x_2=\frac{1}{2}$。
(3)$x_1=7,x_2=1$。
(4)$x_1=3a,x_2=-a$。
解析
【分析】
配方法解一元二次方程的通用步骤为：①将方程整理为一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$；②若二次项系数不为1，将方程两边同除以二次项系数，把二次项系数化为1；③移项，将常数项移到等号右侧；④配方：方程两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧化为完全平方式，右侧合并为常数；⑤若右侧常数非负，直接开平方求解，若右侧为负则方程无实根。其中第(2)题注意不要直接除以$(x-1)$避免丢根，第(3)题可将$(x-2)$看作整体配方简化计算，第(4)题把参数$a$当作常数按步骤计算即可。
【解析】
(1) 移项得$3x^2-4x+1=0$，
二次项系数化为1：$x^2-\frac{4}{3}x+\frac{1}{3}=0$，
移项得$x^2-\frac{4}{3}x=-\frac{1}{3}$，
配方：两边加$(\frac{-4/3}{2})^2=\frac{4}{9}$，得$x^2-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=-\frac{1}{3}+\frac{4}{9}$，
即$(x-\frac{2}{3})^2=\frac{1}{9}$，
开平方得$x-\frac{2}{3}=±\frac{1}{3}$，
解得$x_1=1,x_2=\frac{1}{3}$。
(2) 展开整理得$2x^2-3x+1=0$，
二次项系数化为1：$x^2-\frac{3}{2}x+\frac{1}{2}=0$，
移项得$x^2-\frac{3}{2}x=-\frac{1}{2}$，
配方：两边加$(\frac{-3/2}{2})^2=\frac{9}{16}$，得$x^2-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=-\frac{1}{2}+\frac{9}{16}$，
即$(x-\frac{3}{4})^2=\frac{1}{16}$，
开平方得$x-\frac{3}{4}=±\frac{1}{4}$，
解得$x_1=1,x_2=\frac{1}{2}$。
(3) 设$y=x-2$，原方程化为$y^2-4y-5=0$，
移项得$y^2-4y=5$，
配方：两边加$(\frac{-4}{2})^2=4$，得$y^2-4y+4=5+4$，
即$(y-2)^2=9$，
开平方得$y-2=±3$，
解得$y_1=5,y_2=-1$，
代回$y=x-2$得$x_1=7,x_2=1$。
(4) 移项得$x^2-2ax=3a^2$，
配方：两边加$(\frac{-2a}{2})^2=a^2$，得$x^2-2ax+a^2=3a^2+a^2$，
即$(x-a)^2=4a^2$，
开平方得$x-a=±2a$，
解得$x_1=3a,x_2=-a$。
【答案】
(1)$x_1=1,x_2=\frac{1}{3}$；(2)$x_1=1,x_2=\frac{1}{2}$；(3)$x_1=7,x_2=1$；(4)$x_1=3a,x_2=-a$
【知识点】
配方法解一元二次方程，完全平方公式，换元法解方程
【点评】
本题考查配方法解一元二次方程的应用，覆盖常规方程、整体换元、含参数方程多种类型，解题时注意不要随意除以含未知数的整式避免丢根，熟练掌握配方法的基本步骤是解题核心。
【难度系数】
0.7
配方法解一元二次方程的通用步骤为：①将方程整理为一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$；②若二次项系数不为1，将方程两边同除以二次项系数，把二次项系数化为1；③移项，将常数项移到等号右侧；④配方：方程两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧化为完全平方式，右侧合并为常数；⑤若右侧常数非负，直接开平方求解，若右侧为负则方程无实根。其中第(2)题注意不要直接除以$(x-1)$避免丢根，第(3)题可将$(x-2)$看作整体配方简化计算，第(4)题把参数$a$当作常数按步骤计算即可。
【解析】
(1) 移项得$3x^2-4x+1=0$，
二次项系数化为1：$x^2-\frac{4}{3}x+\frac{1}{3}=0$，
移项得$x^2-\frac{4}{3}x=-\frac{1}{3}$，
配方：两边加$(\frac{-4/3}{2})^2=\frac{4}{9}$，得$x^2-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=-\frac{1}{3}+\frac{4}{9}$，
即$(x-\frac{2}{3})^2=\frac{1}{9}$，
开平方得$x-\frac{2}{3}=±\frac{1}{3}$，
解得$x_1=1,x_2=\frac{1}{3}$。
(2) 展开整理得$2x^2-3x+1=0$，
二次项系数化为1：$x^2-\frac{3}{2}x+\frac{1}{2}=0$，
移项得$x^2-\frac{3}{2}x=-\frac{1}{2}$，
配方：两边加$(\frac{-3/2}{2})^2=\frac{9}{16}$，得$x^2-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=-\frac{1}{2}+\frac{9}{16}$，
即$(x-\frac{3}{4})^2=\frac{1}{16}$，
开平方得$x-\frac{3}{4}=±\frac{1}{4}$，
解得$x_1=1,x_2=\frac{1}{2}$。
(3) 设$y=x-2$，原方程化为$y^2-4y-5=0$，
移项得$y^2-4y=5$，
配方：两边加$(\frac{-4}{2})^2=4$，得$y^2-4y+4=5+4$，
即$(y-2)^2=9$，
开平方得$y-2=±3$，
解得$y_1=5,y_2=-1$，
代回$y=x-2$得$x_1=7,x_2=1$。
(4) 移项得$x^2-2ax=3a^2$，
配方：两边加$(\frac{-2a}{2})^2=a^2$，得$x^2-2ax+a^2=3a^2+a^2$，
即$(x-a)^2=4a^2$，
开平方得$x-a=±2a$，
解得$x_1=3a,x_2=-a$。
【答案】
(1)$x_1=1,x_2=\frac{1}{3}$；(2)$x_1=1,x_2=\frac{1}{2}$；(3)$x_1=7,x_2=1$；(4)$x_1=3a,x_2=-a$
【知识点】
配方法解一元二次方程，完全平方公式，换元法解方程
【点评】
本题考查配方法解一元二次方程的应用，覆盖常规方程、整体换元、含参数方程多种类型，解题时注意不要随意除以含未知数的整式避免丢根，熟练掌握配方法的基本步骤是解题核心。
【难度系数】
0.7
12.已知关于$x$的方程$(a^2 -4a +5)x^2 +2ax +4=0$。小聪认为，无论$a$为何实数，这个方程都是一元二次方程；小明认为，方程的类型要取决于字母$a$的取值。你认为谁的判断是正确的？请简述理由。
答案
12.解:小聪的判断是正确的。理由：
$\because a^2 -4a +5=(a^2 -4a +4)+1=(a-2)^2+1$,且$(a-2)^2≥0$,
$\therefore (a-2)^2+1＞0$,
即该方程的二次项系数不为0。
$\therefore$无论$a$为何实数，这个方程都是一元二次方程。
$\because a^2 -4a +5=(a^2 -4a +4)+1=(a-2)^2+1$,且$(a-2)^2≥0$,
$\therefore (a-2)^2+1＞0$,
即该方程的二次项系数不为0。
$\therefore$无论$a$为何实数，这个方程都是一元二次方程。
解析
【分析】
要判断两人的说法是否正确，首先明确一元二次方程的核心判定条件：整式方程中，只含有一个未知数、未知数最高次数为2且二次项系数不为0，才是一元二次方程。因此本题的解题关键是判断二次项系数$a^2-4a+5$是否可能等于0。我们可以通过配方法将这个二次三项式变形为“完全平方+常数”的形式，再结合平方的非负性判断它的取值范围，若它恒不为0，则无论$a$取何值，方程都是一元二次方程，反之则小明的说法正确。
【解析】
解：小聪的判断是正确的，理由如下：
对二次项系数进行配方变形：
$a^2 -4a +5=(a^2 -4a +4)+1=(a-2)^2+1$
∵ 任意实数的平方都是非负数，即$(a-2)^2≥0$
∴ $(a-2)^2+1≥1＞0$，即该方程的二次项系数恒不为0
∴ 无论$a$为何实数，这个方程都满足一元二次方程的定义，因此小聪的判断正确。
【答案】
小聪的判断是正确的。理由：$\because a^2 -4a +5=(a^2 -4a +4)+1=(a-2)^2+1$,且$(a-2)^2≥0$,$\therefore (a-2)^2+1＞0$,即该方程的二次项系数不为0。$\therefore$无论$a$为何实数，这个方程都是一元二次方程。
【知识点】
一元二次方程的定义，配方法的应用，偶次幂的非负性
【点评】
本题属于基础类题型，解题的核心是抓住一元二次方程“二次项系数不为0”的判定条件，熟练掌握配方法的变形技巧、结合非负性判断代数式的取值范围即可快速得出结论，易错点是部分学生不会对二次三项式配方，无法判断二次项系数的取值范围。
【难度系数】
0.7
要判断两人的说法是否正确，首先明确一元二次方程的核心判定条件：整式方程中，只含有一个未知数、未知数最高次数为2且二次项系数不为0，才是一元二次方程。因此本题的解题关键是判断二次项系数$a^2-4a+5$是否可能等于0。我们可以通过配方法将这个二次三项式变形为“完全平方+常数”的形式，再结合平方的非负性判断它的取值范围，若它恒不为0，则无论$a$取何值，方程都是一元二次方程，反之则小明的说法正确。
【解析】
解：小聪的判断是正确的，理由如下：
对二次项系数进行配方变形：
$a^2 -4a +5=(a^2 -4a +4)+1=(a-2)^2+1$
∵ 任意实数的平方都是非负数，即$(a-2)^2≥0$
∴ $(a-2)^2+1≥1＞0$，即该方程的二次项系数恒不为0
∴ 无论$a$为何实数，这个方程都满足一元二次方程的定义，因此小聪的判断正确。
【答案】
小聪的判断是正确的。理由：$\because a^2 -4a +5=(a^2 -4a +4)+1=(a-2)^2+1$,且$(a-2)^2≥0$,$\therefore (a-2)^2+1＞0$,即该方程的二次项系数不为0。$\therefore$无论$a$为何实数，这个方程都是一元二次方程。
【知识点】
一元二次方程的定义，配方法的应用，偶次幂的非负性
【点评】
本题属于基础类题型，解题的核心是抓住一元二次方程“二次项系数不为0”的判定条件，熟练掌握配方法的变形技巧、结合非负性判断代数式的取值范围即可快速得出结论，易错点是部分学生不会对二次三项式配方，无法判断二次项系数的取值范围。
【难度系数】
0.7
