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13.【综合与实践】阅读下面的材料：
在探究一元二次方程$2x^2 + 3x -1=0$的解法时，小聪尝试借助图形对其进行配方。他的思考如下：先将方程变形为$2x^2 +3x=1$，即$x(2x+3)=1$。由$x(2x+3)=1$联想到了宽为$x$、长为$2x+3$的矩形，且面积为1(如图①)。
配方法等号左边是完全平方式，由此联想到了正方形的面积，怎样由图①得到正方形呢？小聪参考证明勾股定理时用4个全等的直角三角形拼正方形的经验，用4个如图①所示的矩形拼成了如图②所示的正方形，并得到等式$(3x+3)^2=4×1+(x+3)^2$，这里因为图②中中心正方形的边长为$x+3$，所以得到的方程不符合用配方法得到的形式。
如果中心正方形的边长是个固定的值，那么得到的方程就符合用配方法得到的形式了，小聪发现中心正方形的边长是图①中矩形的两边长之差，而其一边为$2x+3$，只要另一边是$2x$，即可完成配方，于是他又将方程$x(2x+3)=1$变形为$2x(2x+3)=2$，并构造了如图③所示的图形，由此得到方程$(4x+3)^2=4×2+3^2$，即$(4x+3)^2=17$，两边开平方，得$4x+3=\pm\sqrt{17}$，所以$x=-\frac{3}{4}\pm\frac{\sqrt{17}}{4}$，所以$x_1=-\frac{3}{4}+\frac{\sqrt{17}}{4}$，$x_2=-\frac{3}{4}-\frac{\sqrt{17}}{4}$。
请根据上述材料回答下面的问题：
(1)小敏模仿小聪的思路尝试对方程$3x^2 +4x -4=0$进行配方，请选择下列矩形中的一种，帮小敏画出拼成的正方形，并写出配方后的方程；
(2)小聪发现，上述配方的思路虽然借助了图形，但确可推广到任意的一元二次方程，请用这种方法解方程$2x^2 -5x +3=0$。
在探究一元二次方程$2x^2 + 3x -1=0$的解法时，小聪尝试借助图形对其进行配方。他的思考如下：先将方程变形为$2x^2 +3x=1$，即$x(2x+3)=1$。由$x(2x+3)=1$联想到了宽为$x$、长为$2x+3$的矩形，且面积为1(如图①)。
配方法等号左边是完全平方式，由此联想到了正方形的面积，怎样由图①得到正方形呢？小聪参考证明勾股定理时用4个全等的直角三角形拼正方形的经验，用4个如图①所示的矩形拼成了如图②所示的正方形，并得到等式$(3x+3)^2=4×1+(x+3)^2$，这里因为图②中中心正方形的边长为$x+3$，所以得到的方程不符合用配方法得到的形式。
如果中心正方形的边长是个固定的值，那么得到的方程就符合用配方法得到的形式了，小聪发现中心正方形的边长是图①中矩形的两边长之差，而其一边为$2x+3$，只要另一边是$2x$，即可完成配方，于是他又将方程$x(2x+3)=1$变形为$2x(2x+3)=2$，并构造了如图③所示的图形，由此得到方程$(4x+3)^2=4×2+3^2$，即$(4x+3)^2=17$，两边开平方，得$4x+3=\pm\sqrt{17}$，所以$x=-\frac{3}{4}\pm\frac{\sqrt{17}}{4}$，所以$x_1=-\frac{3}{4}+\frac{\sqrt{17}}{4}$，$x_2=-\frac{3}{4}-\frac{\sqrt{17}}{4}$。
请根据上述材料回答下面的问题：
(1)小敏模仿小聪的思路尝试对方程$3x^2 +4x -4=0$进行配方，请选择下列矩形中的一种，帮小敏画出拼成的正方形，并写出配方后的方程；
(2)小聪发现，上述配方的思路虽然借助了图形，但确可推广到任意的一元二次方程，请用这种方法解方程$2x^2 -5x +3=0$。
答案
13.解:(1)选择从左到右第3个矩形，拼成的正方形如图所示，由图形面积等量关系，得$(6x+4)^2=4×12+4^2$,即$(6x+4)^2=64$。
(2)原方程变形为$x(2x-5)=-3$,
$2x(2x-5)=-6$,
$(2x+2x-5)^2=4×(-6)+(-5)^2=1$,
即$(4x-5)^2=1$,
解得$x_1=\frac{3}{2},x_2=1$。
解析
【分析】
本题是借助几何图形面积推导一元二次方程配方法的材料阅读题，解题思路如下：
1. 先吃透材料中的方法逻辑：首先将一元二次方程移项，把常数项移到等号右侧，左侧整理为两个含x的一次式的乘积形式；再调整方程两边的系数，让两个一次式中x的系数相等，此时两个一次式的差为固定常数，即拼图后中心小正方形的边长；最后根据“大正方形面积=4个矩形面积+中心小正方形面积”的等量关系，即可得到左侧为完全平方式的方程，再开方求解。
2. 第(1)问处理方程$3x^2+4x-4=0$时，先移项变形，再按上述逻辑凑系数、列面积等式即可；第(2)问用同样的步骤对$2x^2-5x+3=0$变形、列方程求解。
【解析】
(1) 对方程$3x^2+4x-4=0$变形：
移项得$3x^2+4x=4$，方程两边同乘3得$9x^2+12x=12$，即$3x(3x+4)=12$，对应长为$3x+4$、宽为$3x$的矩形，两边差为固定值4。用4个该矩形拼大正方形，大正方形边长为$3x+(3x+4)=6x+4$，根据面积关系：大正方形面积=4个矩形面积+中心小正方形（边长为4）面积，可得$(6x+4)^2=4×12+4^2$，即$(6x+4)^2=64$。
(2) 解方程$2x^2 -5x +3=0$：
①移项得$2x^2 -5x = -3$，提取公因式得$x(2x-5)=-3$；
②调整系数，方程两边同乘2得$2x(2x-5)=-6$，此时两个一次式的x系数相等，差为固定值5；
③根据面积关系列方程：大正方形边长为$2x+(2x-5)=4x-5$，因此$(4x-5)^2=4×(-6)+5^2$，计算得$(4x-5)^2=1$；
④开平方得$4x-5=\pm1$，解得：当$4x-5=1$时，$x=\frac{3}{2}$；当$4x-5=-1$时，$x=1$。
【答案】
13.解:(1)选择从左到右第3个矩形，拼成的正方形如图所示，由图形面积等量关系，得$(6x+4)^2=4×12+4^2$,即$(6x+4)^2=64$。
(2)原方程变形为$x(2x-5)=-3$,
$2x(2x-5)=-6$,
$(2x+2x-5)^2=4×(-6)+(-5)^2=1$,
即$(4x-5)^2=1$,
解得$x_1=\frac{3}{2},x_2=1$。
【知识点】
一元二次方程配方法，完全平方公式，数形结合思想
【点评】
本题通过材料阅读的形式，将代数配方法与几何图形面积相结合，考查了知识迁移能力和类比推理能力，帮助理解配方法的内在原理，打破了代数和几何的知识壁垒，能有效提升对配方法的掌握程度。
【难度系数】
0.6
本题是借助几何图形面积推导一元二次方程配方法的材料阅读题，解题思路如下：
1. 先吃透材料中的方法逻辑：首先将一元二次方程移项，把常数项移到等号右侧，左侧整理为两个含x的一次式的乘积形式；再调整方程两边的系数，让两个一次式中x的系数相等，此时两个一次式的差为固定常数，即拼图后中心小正方形的边长；最后根据“大正方形面积=4个矩形面积+中心小正方形面积”的等量关系，即可得到左侧为完全平方式的方程，再开方求解。
2. 第(1)问处理方程$3x^2+4x-4=0$时，先移项变形，再按上述逻辑凑系数、列面积等式即可；第(2)问用同样的步骤对$2x^2-5x+3=0$变形、列方程求解。
【解析】
(1) 对方程$3x^2+4x-4=0$变形：
移项得$3x^2+4x=4$，方程两边同乘3得$9x^2+12x=12$，即$3x(3x+4)=12$，对应长为$3x+4$、宽为$3x$的矩形，两边差为固定值4。用4个该矩形拼大正方形，大正方形边长为$3x+(3x+4)=6x+4$，根据面积关系：大正方形面积=4个矩形面积+中心小正方形（边长为4）面积，可得$(6x+4)^2=4×12+4^2$，即$(6x+4)^2=64$。
(2) 解方程$2x^2 -5x +3=0$：
①移项得$2x^2 -5x = -3$，提取公因式得$x(2x-5)=-3$；
②调整系数，方程两边同乘2得$2x(2x-5)=-6$，此时两个一次式的x系数相等，差为固定值5；
③根据面积关系列方程：大正方形边长为$2x+(2x-5)=4x-5$，因此$(4x-5)^2=4×(-6)+5^2$，计算得$(4x-5)^2=1$；
④开平方得$4x-5=\pm1$，解得：当$4x-5=1$时，$x=\frac{3}{2}$；当$4x-5=-1$时，$x=1$。
【答案】
13.解:(1)选择从左到右第3个矩形，拼成的正方形如图所示，由图形面积等量关系，得$(6x+4)^2=4×12+4^2$,即$(6x+4)^2=64$。
(2)原方程变形为$x(2x-5)=-3$,
$2x(2x-5)=-6$,
$(2x+2x-5)^2=4×(-6)+(-5)^2=1$,
即$(4x-5)^2=1$,
解得$x_1=\frac{3}{2},x_2=1$。
【知识点】
一元二次方程配方法，完全平方公式，数形结合思想
【点评】
本题通过材料阅读的形式，将代数配方法与几何图形面积相结合，考查了知识迁移能力和类比推理能力，帮助理解配方法的内在原理，打破了代数和几何的知识壁垒，能有效提升对配方法的掌握程度。
【难度系数】
0.6
