9.【问题背景】
如图,在$△ ABC$中,点$D$、$E$分别在$AC$、$BC$上,连结$BD$、$DE$,已知$∠ ABC=2∠ C$,$BD=CD$.
【问题探究】
(1)若$∠ A=∠ DEC$,试证明$AB=EC$.
(2)若$AB=BD$,求$∠ A$的度数.

（第9题图）

9. (1)
∵ BD=CD,
∴ ∠C=∠DBC.
∵ ∠ABC=∠ABD+∠DBC=2∠C,
∴ ∠ABD=∠C.
在△ABD和△ECD中,
$\begin{cases} ∠A=∠DEC, \\ ∠ABD=∠C, \\ BD=CD, \end{cases}$
∴ △ABD≌△ECD(AAS).
∴ AB=EC.
(2)
∵ AB=BD,
∴ ∠A=∠BDA.
由(1)知,∠ABD=∠DBC=∠C.
∵ ∠ADB=∠DBC+∠C,
∴ ∠A=∠ADB=2∠ABD.
∵ ∠A+∠ABD+∠ADB=180°,
∴ ∠A+$\frac{1}{2}$∠A+∠A=180°.
∴ ∠A=72°.

10. 如图,在四边形ABCD中,AB//CD,连结BD,点E在BD上,连结CE.若∠1=∠2,AB=ED.
(1)求证:BD=CD.
(2)若∠A=120°,∠BDC=2∠1,求∠DBC的度数.

(第10题图)

10. (1)
∵ AB//CD,
∴ ∠ABD=∠EDC.
在△ABD和△EDC中,
$\begin{cases} ∠1=∠2, \\ ∠ABD=∠EDC, \\ AB=ED, \end{cases}$
∴ △ABD≌△EDC(AAS).
∴ DB=CD.
(2)
∵ △ABD≌△EDC,
∴ ∠DEC=∠A=120°.
∵ ∠BDC=2∠1,∠1=∠2,
∴ ∠BDC=2∠2.
∵ ∠BDC+∠2=2∠2+∠2=60°,
∴ ∠2=20°.
∴ ∠BDC=40°.
∵ BD=CD,
∴ ∠DBC = ∠DCB
=$\frac{1}{2}(180°-∠BDC)$
=$\frac{1}{2}×(180°-40°)$
=70°.

11. 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,D是BA延长线上的一点,E是AC的中点,连结DE并延长,交BC于点M,$∠ DAC$的平分线交DM于点F.求证:$AF=CM$.

(第11题图)

11.
∵ AB=AC,
∴ ∠B=∠C.
∴ ∠DAC=∠B+∠C=2∠C.
∵ AF是∠DAC的平分线,
∴ ∠EAF=$\frac{1}{2}$∠DAC=∠C.
∵ E是AC的中点,
∴ AE=CE.
在△AEF和△CEM中,
$\begin{cases} ∠EAF=∠C, \\ AE=CE, \\ ∠AEF=∠CEM, \end{cases}$
∴ △AEF≌△CEM(ASA).
∴ AF=CM.