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9. 如图，将一张边长为6 cm的正方形纸片按虚线裁剪后，恰好围成底面是正六边形的棱柱，则这个六棱柱的侧面积为
$(36-12\sqrt{3})$
cm²。答案
$(36-12\sqrt{3})$
解析
【分析】
解题思路可分为三步：第一步，明确正六棱柱侧面展开图的性质：侧面展开后六个长方形的总长度等于底面正六边形的周长，侧棱长等于展开图的高度。第二步，结合已知正方形边长为6cm，可知正六边形的周长等于正方形的边长，由此求出正六边形的边长；再利用正六边形内角为120°的性质，结合特殊角的三角函数值，求出裁剪时上下部分需要去掉的总高度，进而得到棱柱的侧棱长。第三步，利用“棱柱侧面积=底面周长×侧棱长”计算即可，也可通过正方形总面积减去裁剪丢弃部分的面积得到结果。
【解析】
解：
∵裁剪后的纸片恰好围成底面是正六边形的棱柱，
∴底面正六边形的周长等于正方形的边长6cm，
∴正六边形的边长 $ a = 6÷6 = 1\ \mathrm{cm} $。
∵正六边形的内角为120°，
∴裁剪的斜虚线与水平方向的夹角为60°，斜虚线在竖直方向的投影高度为 $ a·\sin60° = 1×\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}\ \mathrm{cm} $。
观察图形可知，竖直方向上下共需去掉的高度为 $ 2×2×\frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}\ \mathrm{cm} $，因此棱柱的侧棱长 $ h = 6 - 2\sqrt{3}\ \mathrm{cm} $。
根据棱柱侧面积公式：
$ S_{\mathrm{侧}} = \mathrm{底面周长}×\mathrm{侧棱长} = 6×(6 - 2\sqrt{3}) = 36 - 12\sqrt{3}\ (\mathrm{cm}^2) $
【答案】
$ 36-12\sqrt{3} $
【知识点】
正六边形的性质，棱柱侧面积计算，特殊角的三角函数应用
【点评】
本题将平面图形裁剪和立体图形展开相结合，考查学生的空间想象能力和几何计算能力，解题的核心是准确找到正六边形边长、裁剪高度和正方形边长之间的数量关系。
【难度系数】
0.6
解题思路可分为三步：第一步，明确正六棱柱侧面展开图的性质：侧面展开后六个长方形的总长度等于底面正六边形的周长，侧棱长等于展开图的高度。第二步，结合已知正方形边长为6cm，可知正六边形的周长等于正方形的边长，由此求出正六边形的边长；再利用正六边形内角为120°的性质，结合特殊角的三角函数值，求出裁剪时上下部分需要去掉的总高度，进而得到棱柱的侧棱长。第三步，利用“棱柱侧面积=底面周长×侧棱长”计算即可，也可通过正方形总面积减去裁剪丢弃部分的面积得到结果。
【解析】
解：
∵裁剪后的纸片恰好围成底面是正六边形的棱柱，
∴底面正六边形的周长等于正方形的边长6cm，
∴正六边形的边长 $ a = 6÷6 = 1\ \mathrm{cm} $。
∵正六边形的内角为120°，
∴裁剪的斜虚线与水平方向的夹角为60°，斜虚线在竖直方向的投影高度为 $ a·\sin60° = 1×\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}\ \mathrm{cm} $。
观察图形可知，竖直方向上下共需去掉的高度为 $ 2×2×\frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}\ \mathrm{cm} $，因此棱柱的侧棱长 $ h = 6 - 2\sqrt{3}\ \mathrm{cm} $。
根据棱柱侧面积公式：
$ S_{\mathrm{侧}} = \mathrm{底面周长}×\mathrm{侧棱长} = 6×(6 - 2\sqrt{3}) = 36 - 12\sqrt{3}\ (\mathrm{cm}^2) $
【答案】
$ 36-12\sqrt{3} $
【知识点】
正六边形的性质，棱柱侧面积计算，特殊角的三角函数应用
【点评】
本题将平面图形裁剪和立体图形展开相结合，考查学生的空间想象能力和几何计算能力，解题的核心是准确找到正六边形边长、裁剪高度和正方形边长之间的数量关系。
【难度系数】
0.6
10. 如图，阳光透过矩形玻璃窗投射到地面上，地面上出现了一个明亮的四边形。小明用量角器量出这个四边形的一个锐角恰好是$45°$，又用直尺量出一组邻边的长分别是40 cm和55 cm。小明说：“用这三个数据，就能够计算出地面上的四边形的面积和周长。”你知道小明是如何计算的吗？这样计算的根据是什么？
答案
解:过点$D$作$DE ⊥ AB$于点$E$,如图。
由题意可得四边形$ABCD$为平行四边形,周长为$2(AD+AB)=2 × (40+55)=190(cm)$。
因为$∠ A=45°$,$DE ⊥ AB$,所以$∠ A=∠ ADE=45°$,所以$AE=DE$。
因为$AE^2+DE^2=AD^2$,所以$DE=\frac{\sqrt{2}}{2}AD=20\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$,
故四边形面积为$55 × 20\sqrt{2}=1100\sqrt{2}(\mathrm{cm}^2)$。
计算的根据是平行四边形的性质。
解析
【分析】
首先，阳光属于平行光线，矩形玻璃窗的对边互相平行，根据平行投影的特征，矩形的对边经平行投影后仍然保持平行，因此可判断地面上的明亮四边形是平行四边形。接下来计算周长：平行四边形对边相等，已知一组邻边长度，直接用邻边和的2倍即可求出周长。再计算面积：平行四边形面积=底×高，已知四边形的一个锐角为45°，我们可以过平行四边形的一个顶点向对边作高，得到一个含45°角的直角三角形，该三角形为等腰直角三角形，结合已知的邻边长度，用勾股定理求出高的长度，再代入面积公式即可算出面积。
【解析】
解：过点$D$作$DE ⊥ AB$于点$E$，如图。
1. 判定图形：由平行投影的性质可知，矩形的对边经平行投影后仍然平行，因此四边形$ABCD$是平行四边形。
2. 计算周长：根据平行四边形对边相等的性质，周长为$2×(AD+AB)=2×(40+55)=190(\mathrm{cm})$。
3. 求高：已知$∠ A=45°$，$DE⊥ AB$，因此$△ ADE$是等腰直角三角形，$AE=DE$。根据勾股定理$AE^2+DE^2=AD^2$，代入$AD=40\mathrm{cm}$，可得$2DE^2=40^2$，解得$DE=\frac{\sqrt{2}}{2}AD=20\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$。
4. 计算面积：根据平行四边形面积公式，面积为$AB× DE=55×20\sqrt{2}=1100\sqrt{2}(\mathrm{cm}^2)$。
上述计算的根据是平行四边形的性质。
【答案】
解:过点$D$作$DE ⊥ AB$于点$E$,如图。
由题意可得四边形$ABCD$为平行四边形,周长为$2(AD+AB)=2 × (40+55)=190(cm)$。
因为$∠ A=45°$,$DE ⊥ AB$,所以$∠ A=∠ ADE=45°$,所以$AE=DE$。
因为$AE^2+DE^2=AD^2$,所以$DE=\frac{\sqrt{2}}{2}AD=20\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$,
故四边形面积为$55 × 20\sqrt{2}=1100\sqrt{2}(\mathrm{cm}^2)$。
计算的根据是平行四边形的性质。
【知识点】
平行投影特征，平行四边形性质，等腰直角三角形性质
【点评】
本题结合生活中常见的阳光投影现象，将实际问题转化为几何计算问题，既考查了平行四边形周长、面积的计算方法，也融合了特殊直角三角形的性质应用，能有效锻炼学生的知识迁移能力和实际应用能力。
【难度系数】
0.7
首先，阳光属于平行光线，矩形玻璃窗的对边互相平行，根据平行投影的特征，矩形的对边经平行投影后仍然保持平行，因此可判断地面上的明亮四边形是平行四边形。接下来计算周长：平行四边形对边相等，已知一组邻边长度，直接用邻边和的2倍即可求出周长。再计算面积：平行四边形面积=底×高，已知四边形的一个锐角为45°，我们可以过平行四边形的一个顶点向对边作高，得到一个含45°角的直角三角形，该三角形为等腰直角三角形，结合已知的邻边长度，用勾股定理求出高的长度，再代入面积公式即可算出面积。
【解析】
解：过点$D$作$DE ⊥ AB$于点$E$，如图。
1. 判定图形：由平行投影的性质可知，矩形的对边经平行投影后仍然平行，因此四边形$ABCD$是平行四边形。
2. 计算周长：根据平行四边形对边相等的性质，周长为$2×(AD+AB)=2×(40+55)=190(\mathrm{cm})$。
3. 求高：已知$∠ A=45°$，$DE⊥ AB$，因此$△ ADE$是等腰直角三角形，$AE=DE$。根据勾股定理$AE^2+DE^2=AD^2$，代入$AD=40\mathrm{cm}$，可得$2DE^2=40^2$，解得$DE=\frac{\sqrt{2}}{2}AD=20\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$。
4. 计算面积：根据平行四边形面积公式，面积为$AB× DE=55×20\sqrt{2}=1100\sqrt{2}(\mathrm{cm}^2)$。
上述计算的根据是平行四边形的性质。
【答案】
解:过点$D$作$DE ⊥ AB$于点$E$,如图。
由题意可得四边形$ABCD$为平行四边形,周长为$2(AD+AB)=2 × (40+55)=190(cm)$。
因为$∠ A=45°$,$DE ⊥ AB$,所以$∠ A=∠ ADE=45°$,所以$AE=DE$。
因为$AE^2+DE^2=AD^2$,所以$DE=\frac{\sqrt{2}}{2}AD=20\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$,
故四边形面积为$55 × 20\sqrt{2}=1100\sqrt{2}(\mathrm{cm}^2)$。
计算的根据是平行四边形的性质。
【知识点】
平行投影特征，平行四边形性质，等腰直角三角形性质
【点评】
本题结合生活中常见的阳光投影现象，将实际问题转化为几何计算问题，既考查了平行四边形周长、面积的计算方法，也融合了特殊直角三角形的性质应用，能有效锻炼学生的知识迁移能力和实际应用能力。
【难度系数】
0.7
11. 如图，用一个圆心角为$120°$的扇形围成一个无底的圆锥。
(1)若圆锥的母线长为3 cm，求圆锥的侧面积。
(2)若圆锥的底面半径为2 cm，求扇形的半径。
(1)若圆锥的母线长为3 cm，求圆锥的侧面积。
(2)若圆锥的底面半径为2 cm，求扇形的半径。
答案
解:(1)因为圆锥的母线长为3 cm，所以扇形的半径为3 cm，
所以扇形的面积为$\frac{120π × 3^2}{360}=3π(\mathrm{cm}^2)$，
所以圆锥的侧面积为$3π\ \mathrm{cm}^2$。
(2)设扇形的半径为$r$ cm。
因为圆锥的底面半径为2 cm，所以圆锥的底面周长为$4π\ \mathrm{cm}$，
所以扇形的弧长为$4π\ \mathrm{cm}$，
则$\frac{120π r}{180}=4π$,解得$r=6$。
答:扇形的半径为6 cm。
所以扇形的面积为$\frac{120π × 3^2}{360}=3π(\mathrm{cm}^2)$，
所以圆锥的侧面积为$3π\ \mathrm{cm}^2$。
(2)设扇形的半径为$r$ cm。
因为圆锥的底面半径为2 cm，所以圆锥的底面周长为$4π\ \mathrm{cm}$，
所以扇形的弧长为$4π\ \mathrm{cm}$，
则$\frac{120π r}{180}=4π$,解得$r=6$。
答:扇形的半径为6 cm。
解析
【分析】
(1) 无底圆锥的侧面积等于围成它的扇形的面积，圆锥的母线长就是扇形的半径，已知扇形的圆心角和半径，直接代入扇形面积公式就能算出侧面积。
(2) 扇形围成圆锥时，扇形的弧长等于圆锥底面的周长，先根据底面半径求出底面周长也就是扇形弧长，再代入弧长公式列方程，即可求出扇形的半径。
【解析】
(1) 圆锥的母线长为3 cm，因此对应扇形的半径为3 cm，已知扇形圆心角为$120°$，根据扇形面积公式：
$S=\frac{nπ R^2}{360}$（$n$为圆心角度数，$R$为扇形半径）
代入数据得：$S_{\mathrm{侧}}=\frac{120π × 3^2}{360}=3π(\mathrm{cm}^2)$。
(2) 设扇形的半径为$r$ cm。
先计算圆锥底面周长：$C=2π r_{\mathrm{底}}=2π × 2=4π(\mathrm{cm})$，
因为扇形弧长等于圆锥底面周长，根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$可得：
$\frac{120π r}{180}=4π$
约去$π$后化简求解：$\frac{2r}{3}=4$，解得$r=6$。
【答案】
(1) $3π\ \mathrm{cm}^2$；(2) $6\ \mathrm{cm}$
【知识点】
扇形面积计算、弧长计算、圆锥侧面展开图性质
【点评】
本题是扇形和圆锥转化的常规基础题，解题核心是抓住两个等量关系：扇形面积等于圆锥侧面积、扇形弧长等于圆锥底面周长，熟练掌握相关公式就能轻松解答。
【难度系数】
0.8
(1) 无底圆锥的侧面积等于围成它的扇形的面积，圆锥的母线长就是扇形的半径，已知扇形的圆心角和半径，直接代入扇形面积公式就能算出侧面积。
(2) 扇形围成圆锥时，扇形的弧长等于圆锥底面的周长，先根据底面半径求出底面周长也就是扇形弧长，再代入弧长公式列方程，即可求出扇形的半径。
【解析】
(1) 圆锥的母线长为3 cm，因此对应扇形的半径为3 cm，已知扇形圆心角为$120°$，根据扇形面积公式：
$S=\frac{nπ R^2}{360}$（$n$为圆心角度数，$R$为扇形半径）
代入数据得：$S_{\mathrm{侧}}=\frac{120π × 3^2}{360}=3π(\mathrm{cm}^2)$。
(2) 设扇形的半径为$r$ cm。
先计算圆锥底面周长：$C=2π r_{\mathrm{底}}=2π × 2=4π(\mathrm{cm})$，
因为扇形弧长等于圆锥底面周长，根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$可得：
$\frac{120π r}{180}=4π$
约去$π$后化简求解：$\frac{2r}{3}=4$，解得$r=6$。
【答案】
(1) $3π\ \mathrm{cm}^2$；(2) $6\ \mathrm{cm}$
【知识点】
扇形面积计算、弧长计算、圆锥侧面展开图性质
【点评】
本题是扇形和圆锥转化的常规基础题，解题核心是抓住两个等量关系：扇形面积等于圆锥侧面积、扇形弧长等于圆锥底面周长，熟练掌握相关公式就能轻松解答。
【难度系数】
0.8
12. 物体在太阳光照射下,影子的长度与时间变化直接相关,小明在某天的8点至16点之间,测量了一根2.7米长的直杆垂直于地面时的影子长度,发现影子长度$y$与时间$t(8≤t≤16)$之间近似呈二次函数关系,可满足关系式$y=a(t-12)^2 + c$。已知该天11点时影子长度为1.31米,12点时影子长度为1.08米。
(1)请确定$a,c$的值。
(2)如图,太阳光线与地面的夹角为$θ$,求14点时$\tanθ$的值。
(1)请确定$a,c$的值。
(2)如图,太阳光线与地面的夹角为$θ$,求14点时$\tanθ$的值。
答案
解:(1)由题意可知 $t=11$，$y=1.31$；$t=12$，$y=1.08$。
代入函数关系式得$\begin{cases}1.08=a(12-12)^2+c,\\1.31=a(11-12)^2+c,\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=0.23,\\c=1.08,\end{cases}$
所以$a=0.23$,$c=1.08$。
(2)由(1)得函数关系式为 $y=0.23(t-12)^2+1.08$，
把$t=14$代入$y=0.23(t-12)^2+1.08$，
解得$y=2$，
则$\tanθ=\frac{2.7}{2}=1.35$。
代入函数关系式得$\begin{cases}1.08=a(12-12)^2+c,\\1.31=a(11-12)^2+c,\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=0.23,\\c=1.08,\end{cases}$
所以$a=0.23$,$c=1.08$。
(2)由(1)得函数关系式为 $y=0.23(t-12)^2+1.08$，
把$t=14$代入$y=0.23(t-12)^2+1.08$，
解得$y=2$，
则$\tanθ=\frac{2.7}{2}=1.35$。
解析
【分析】
(1) 已知影子长度y和时间t的函数为顶点式$y=a(t-12)^2 + c$，题干给出了t=11、y=1.31和t=12、y=1.08两组对应值，采用待定系数法将两组值代入函数式，即可得到关于a、c的二元一次方程组，解方程组就能求出a、c的值。
(2) 先将t=14代入第(1)问求出的函数解析式，算出14点对应的影子长度y；结合图形可知直杆垂直地面，与影子、太阳光线构成直角三角形，$\tanθ$为太阳光线与地面夹角的正切值，等于直杆高度除以影子长度，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
(1) 由题意可知：$t=11$时，$y=1.31$；$t=12$时，$y=1.08$，代入$y=a(t-12)^2 + c$得：
$\begin{cases}1.08=a(12-12)^2+c\\1.31=a(11-12)^2+c\end{cases}$
化简第一个方程得$c=1.08$，将$c=1.08$代入第二个方程得：
$1.31=a×1 +1.08$，解得$a=0.23$。
(2) 由(1)得函数关系式为 $y=0.23(t-12)^2+1.08$，
把$t=14$代入解析式得：
$y=0.23×(14-12)^2+1.08=0.23×4+1.08=2$，即14点时影子长为2米。
结合直角三角形中正切的定义，$\tanθ=\frac{\mathrm{直杆高度}}{\mathrm{影子长度}}=\frac{2.7}{2}=1.35$。
【答案】
(1) $a=0.23$，$c=1.08$；(2) $\tanθ=1.35$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式，解二元一次方程组，锐角三角函数定义
【点评】
本题结合生活中的影子现象，综合考查了二次函数的实际应用和三角函数的基础计算，解题核心是准确提取题干中的对应值代入求解，同时结合几何图形理解三角函数的意义，侧重基础知识的融合运用。
【难度系数】
0.7
(1) 已知影子长度y和时间t的函数为顶点式$y=a(t-12)^2 + c$，题干给出了t=11、y=1.31和t=12、y=1.08两组对应值，采用待定系数法将两组值代入函数式，即可得到关于a、c的二元一次方程组，解方程组就能求出a、c的值。
(2) 先将t=14代入第(1)问求出的函数解析式，算出14点对应的影子长度y；结合图形可知直杆垂直地面，与影子、太阳光线构成直角三角形，$\tanθ$为太阳光线与地面夹角的正切值，等于直杆高度除以影子长度，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
(1) 由题意可知：$t=11$时，$y=1.31$；$t=12$时，$y=1.08$，代入$y=a(t-12)^2 + c$得：
$\begin{cases}1.08=a(12-12)^2+c\\1.31=a(11-12)^2+c\end{cases}$
化简第一个方程得$c=1.08$，将$c=1.08$代入第二个方程得：
$1.31=a×1 +1.08$，解得$a=0.23$。
(2) 由(1)得函数关系式为 $y=0.23(t-12)^2+1.08$，
把$t=14$代入解析式得：
$y=0.23×(14-12)^2+1.08=0.23×4+1.08=2$，即14点时影子长为2米。
结合直角三角形中正切的定义，$\tanθ=\frac{\mathrm{直杆高度}}{\mathrm{影子长度}}=\frac{2.7}{2}=1.35$。
【答案】
(1) $a=0.23$，$c=1.08$；(2) $\tanθ=1.35$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式，解二元一次方程组，锐角三角函数定义
【点评】
本题结合生活中的影子现象，综合考查了二次函数的实际应用和三角函数的基础计算，解题核心是准确提取题干中的对应值代入求解，同时结合几何图形理解三角函数的意义，侧重基础知识的融合运用。
【难度系数】
0.7
