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一、选择题
1.下列各式中是分式的是（
A.$\frac{x}{3}$
B.$\frac{1}{x-5}$
C.$\frac{1}{π}$
D.$x+1$
1.下列各式中是分式的是（
B
）.A.$\frac{x}{3}$
B.$\frac{1}{x-5}$
C.$\frac{1}{π}$
D.$x+1$
答案
B
解析
【分析】
要判断一个式子是不是分式，首先要明确分式的判定标准：形如$\frac{A}{B}$的式子，若A、B均为整式，且B中含有字母（B≠0），则该式子是分式。解题时只需逐一核对每个选项是否符合上述标准即可，注意π是固定的常数，不属于字母。
【解析】
根据分式的定义判断各选项：
1. 选项A：$\frac{x}{3}$的分母是3，属于常数，不含字母，因此是整式，不是分式；
2. 选项B：$\frac{1}{x-5}$的分母是$x-5$，含有字母x，符合分式的定义，属于分式；
3. 选项C：$\frac{1}{π}$的分母是π，π是圆周率，属于固定常数，不含字母，因此是整式，不是分式；
4. 选项D：$x+1$是多项式，属于整式，不是分式。
综上，符合要求的是选项B。
【答案】
B
【知识点】
分式的定义
【点评】
本题是基础概念考查题，解题的关键是准确掌握分式的定义，特别要注意区分常数和字母，避免将含π的式子误判为分式。
【难度系数】
0.9
要判断一个式子是不是分式，首先要明确分式的判定标准：形如$\frac{A}{B}$的式子，若A、B均为整式，且B中含有字母（B≠0），则该式子是分式。解题时只需逐一核对每个选项是否符合上述标准即可，注意π是固定的常数，不属于字母。
【解析】
根据分式的定义判断各选项：
1. 选项A：$\frac{x}{3}$的分母是3，属于常数，不含字母，因此是整式，不是分式；
2. 选项B：$\frac{1}{x-5}$的分母是$x-5$，含有字母x，符合分式的定义，属于分式；
3. 选项C：$\frac{1}{π}$的分母是π，π是圆周率，属于固定常数，不含字母，因此是整式，不是分式；
4. 选项D：$x+1$是多项式，属于整式，不是分式。
综上，符合要求的是选项B。
【答案】
B
【知识点】
分式的定义
【点评】
本题是基础概念考查题，解题的关键是准确掌握分式的定义，特别要注意区分常数和字母，避免将含π的式子误判为分式。
【难度系数】
0.9
2.若分式$\frac{1}{a+3}$在实数范围内有意义,则实数a的取值范围为(
A.$a＞-3$
B.$a＜-3$
C.$a≠3$
D.$a≠-3$
D
).A.$a＞-3$
B.$a＜-3$
C.$a≠3$
D.$a≠-3$
答案
D
解析
【分析】
要确定分式在实数范围内有意义时字母的取值范围，首先回忆分式有意义的核心规则：分式的分母不能为0。解题时先找到该分式的分母，令分母不等于0，解出对应的不等式就能得到a的取值范围，再匹配选项选出答案即可。
【解析】
根据分式有意义的条件：分母不为0，可得：
该分式的分母为$a+3$，因此列不等式：$a+3 ≠ 0$
解不等式，移项得：$a ≠ -3$
因此实数a的取值范围是$a ≠ -3$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
分式有意义的条件
【点评】
本题是基础常考题，核心考查对分式有意义条件的理解和应用，只要牢记“分式分母不能为0”的规则，即可快速求解，难度较低。
【难度系数】
0.9
要确定分式在实数范围内有意义时字母的取值范围，首先回忆分式有意义的核心规则：分式的分母不能为0。解题时先找到该分式的分母，令分母不等于0，解出对应的不等式就能得到a的取值范围，再匹配选项选出答案即可。
【解析】
根据分式有意义的条件：分母不为0，可得：
该分式的分母为$a+3$，因此列不等式：$a+3 ≠ 0$
解不等式，移项得：$a ≠ -3$
因此实数a的取值范围是$a ≠ -3$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
分式有意义的条件
【点评】
本题是基础常考题，核心考查对分式有意义条件的理解和应用，只要牢记“分式分母不能为0”的规则，即可快速求解，难度较低。
【难度系数】
0.9
3.若分式$\frac{x^2 -1}{x -1}$的值为0，则x的值是（
A.1
B.0
C.-1
D.$\pm1$
C
）.A.1
B.0
C.-1
D.$\pm1$
答案
C
解析
【分析】
要解决分式值为0的问题，首先需明确分式值为0必须同时满足两个条件：一是分子的值为0，二是分母的值不为0（保证分式有意义），两个条件缺一不可。解题时先求出使分子为0的x的所有可能值，再代入分母验证，排除使分母为0的x值，剩下的就是正确结果。
【解析】
解：若分式的值为0，需同时满足以下两个条件：
1. 分子等于0：$x^2 - 1 = 0$
解方程得：$x^2=1$，即$x=1$或$x=-1$
2. 分母不等于0（分式有意义）：$x-1≠0$
解得：$x≠1$
综合两个条件，排除$x=1$，因此$x=-1$。
【答案】
C
【知识点】
分式值为零的条件，分式有意义的条件，解一元二次方程
【点评】
本题是分式章节的基础常考题，易错点是容易忽略分母不为零的前提，仅根据分子为零得出$x=\pm1$的错误结论，解题时需牢记分式相关问题首先要保证分式有意义。
【难度系数】
0.7
要解决分式值为0的问题，首先需明确分式值为0必须同时满足两个条件：一是分子的值为0，二是分母的值不为0（保证分式有意义），两个条件缺一不可。解题时先求出使分子为0的x的所有可能值，再代入分母验证，排除使分母为0的x值，剩下的就是正确结果。
【解析】
解：若分式的值为0，需同时满足以下两个条件：
1. 分子等于0：$x^2 - 1 = 0$
解方程得：$x^2=1$，即$x=1$或$x=-1$
2. 分母不等于0（分式有意义）：$x-1≠0$
解得：$x≠1$
综合两个条件，排除$x=1$，因此$x=-1$。
【答案】
C
【知识点】
分式值为零的条件，分式有意义的条件，解一元二次方程
【点评】
本题是分式章节的基础常考题，易错点是容易忽略分母不为零的前提，仅根据分子为零得出$x=\pm1$的错误结论，解题时需牢记分式相关问题首先要保证分式有意义。
【难度系数】
0.7
4.分式$\frac{2}{2-x}$可变形为(
A.$\frac{2}{2+x}$
B.$-\frac{2}{2+x}$
C.$\frac{2}{x-2}$
D.$-\frac{2}{x-2}$
D
).A.$\frac{2}{2+x}$
B.$-\frac{2}{2+x}$
C.$\frac{2}{x-2}$
D.$-\frac{2}{x-2}$
答案
D
解析
【分析】
本题考查分式的符号变形，解题的核心是运用分式的符号变化规律：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任意两个，分式的值不变。首先观察原式分母2-x与选项中分母的关系，可知2-x和x-2互为相反数，我们可以先将分母改写为含x-2的形式，再根据符号规律调整分式的符号，保证分式值不变即可得到正确变形结果。
【解析】
第一步，先对原式的分母进行变形：
∵ $2 - x = -(x - 2)$
第二步，将其代入原分式可得：
$\frac{2}{2-x}=\frac{2}{-(x-2)}$
第三步，根据分式的符号规则，分母的负号可以移到分式本身的前面，即：
$\frac{2}{-(x-2)}=-\frac{2}{x-2}$
因此原分式可变形为$-\frac{2}{x-2}$。
【答案】
D
【知识点】
分式的基本性质，分式的符号法则
【点评】
本题属于分式变形的基础题型，解题关键是掌握分式符号变化的规律，注意不能只改变分母的符号而忽略调整分式本身的符号，否则会导致分式值发生变化，出现错选C的情况。
【难度系数】
0.8
本题考查分式的符号变形，解题的核心是运用分式的符号变化规律：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任意两个，分式的值不变。首先观察原式分母2-x与选项中分母的关系，可知2-x和x-2互为相反数，我们可以先将分母改写为含x-2的形式，再根据符号规律调整分式的符号，保证分式值不变即可得到正确变形结果。
【解析】
第一步，先对原式的分母进行变形：
∵ $2 - x = -(x - 2)$
第二步，将其代入原分式可得：
$\frac{2}{2-x}=\frac{2}{-(x-2)}$
第三步，根据分式的符号规则，分母的负号可以移到分式本身的前面，即：
$\frac{2}{-(x-2)}=-\frac{2}{x-2}$
因此原分式可变形为$-\frac{2}{x-2}$。
【答案】
D
【知识点】
分式的基本性质，分式的符号法则
【点评】
本题属于分式变形的基础题型，解题关键是掌握分式符号变化的规律，注意不能只改变分母的符号而忽略调整分式本身的符号，否则会导致分式值发生变化，出现错选C的情况。
【难度系数】
0.8
5.若$a,b$的值均扩大为原来的3倍,则分式$\frac{ab}{a+b}$的值(
A.扩大为原来的3倍
B.缩小为原来的$\frac{1}{3}$
C.保持不变
D.扩大为原来的9倍
A
).A.扩大为原来的3倍
B.缩小为原来的$\frac{1}{3}$
C.保持不变
D.扩大为原来的9倍
答案
A
解析
【分析】
要判断a、b均扩大为原来的3倍时分式的值的变化，我们可以按照题目要求，将原分式中的a替换为3a、b替换为3b，得到新的分式，再利用分式的基本性质化简新分式，最后和原分式对比就能得出变化规律。
【解析】
当a、b的值均扩大为原来的3倍时，将a替换为3a，b替换为3b，代入分式可得：
新分式 = $\frac{3a · 3b}{3a + 3b}$
先计算分子：$3a · 3b = 9ab$
再对分母提取公因式：$3a + 3b = 3(a + b)$
因此新分式可化简为：$\frac{9ab}{3(a + b)} = 3 · \frac{ab}{a + b}$
对比原分式$\frac{ab}{a+b}$，可知新分式的值是原分式值的3倍，即扩大为原来的3倍。
【答案】
A
【知识点】
分式的基本性质、整式乘除运算
【点评】
本题是分式性质的基础应用题型，解题核心是准确替换变化后的字母，通过化简对比得到结果，掌握分式约分和整式运算规则就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
要判断a、b均扩大为原来的3倍时分式的值的变化，我们可以按照题目要求，将原分式中的a替换为3a、b替换为3b，得到新的分式，再利用分式的基本性质化简新分式，最后和原分式对比就能得出变化规律。
【解析】
当a、b的值均扩大为原来的3倍时，将a替换为3a，b替换为3b，代入分式可得：
新分式 = $\frac{3a · 3b}{3a + 3b}$
先计算分子：$3a · 3b = 9ab$
再对分母提取公因式：$3a + 3b = 3(a + b)$
因此新分式可化简为：$\frac{9ab}{3(a + b)} = 3 · \frac{ab}{a + b}$
对比原分式$\frac{ab}{a+b}$，可知新分式的值是原分式值的3倍，即扩大为原来的3倍。
【答案】
A
【知识点】
分式的基本性质、整式乘除运算
【点评】
本题是分式性质的基础应用题型，解题核心是准确替换变化后的字母，通过化简对比得到结果，掌握分式约分和整式运算规则就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
6.分式$\frac{c}{4a^2b}$与$\frac{1}{6ab^2c}$的最简公分母是（
A.$24a^2b^2$
B.$12a^2b^2c$
C.$12a^2b^2$
D.$24a^2b^2c$
B
）.A.$24a^2b^2$
B.$12a^2b^2c$
C.$12a^2b^2$
D.$24a^2b^2c$
答案
B
解析
【分析】
要解决找两个分式最简公分母的问题，首先回忆最简公分母的确定规则：①取各分母系数的最小公倍数；②凡单独出现的字母，连同它的指数作为最简公分母的一个因式；③同底数幂取次数最高的。我们按照这个规则逐步计算即可：首先分别提取两个分母的系数和各字母的次数，再依次按照规则计算后相乘就能得到结果。
【解析】
两个分式的分母分别为$4a^2b$和$6ab^2c$，按步骤计算最简公分母：
1. 计算系数的最小公倍数：4和6的最小公倍数是12；
2. 确定各字母的最高次幂：字母$a$的最高次为$a^2$，字母$b$的最高次为$b^2$，字母$c$仅在第二个分母中出现，需保留$c$；
3. 把上述结果相乘，得到最简公分母为$12× a^2× b^2× c=12a^2b^2c$。
对应选项为B。
【答案】
B
【知识点】
1. 最简公分母的确定
2. 最小公倍数的计算
【点评】
本题属于基础题，核心考查最简公分母的确定方法，解题时需注意不要遗漏仅在单个分母中出现的字母，掌握确定最简公分母的三个规则就能快速得出答案。
【难度系数】
0.8
要解决找两个分式最简公分母的问题，首先回忆最简公分母的确定规则：①取各分母系数的最小公倍数；②凡单独出现的字母，连同它的指数作为最简公分母的一个因式；③同底数幂取次数最高的。我们按照这个规则逐步计算即可：首先分别提取两个分母的系数和各字母的次数，再依次按照规则计算后相乘就能得到结果。
【解析】
两个分式的分母分别为$4a^2b$和$6ab^2c$，按步骤计算最简公分母：
1. 计算系数的最小公倍数：4和6的最小公倍数是12；
2. 确定各字母的最高次幂：字母$a$的最高次为$a^2$，字母$b$的最高次为$b^2$，字母$c$仅在第二个分母中出现，需保留$c$；
3. 把上述结果相乘，得到最简公分母为$12× a^2× b^2× c=12a^2b^2c$。
对应选项为B。
【答案】
B
【知识点】
1. 最简公分母的确定
2. 最小公倍数的计算
【点评】
本题属于基础题，核心考查最简公分母的确定方法，解题时需注意不要遗漏仅在单个分母中出现的字母，掌握确定最简公分母的三个规则就能快速得出答案。
【难度系数】
0.8
7.若已知 $ x = \sqrt{5} - 1, y = \sqrt{5} + 1 $，则分式 $ \frac{x^3 - xy^2}{x^2 - xy} $ 的值是（
A.2
B.$\sqrt{5}$
C.4
D.$2\sqrt{5}$
D
）。A.2
B.$\sqrt{5}$
C.4
D.$2\sqrt{5}$
答案
D
解析
【分析】
遇到分式求值类问题，优先先化简分式再代入数值，可减少计算量。首先观察分式的分子和分母，分别进行因式分解：分子先提取公因式x，再利用平方差公式分解剩余的二次式；分母提取公因式x，之后约去分子分母中不为0的公因式，得到最简结果后，再代入x、y的数值计算即可。
【解析】
先对分式进行化简：
$\begin{aligned}\frac{x^3 - xy^2}{x^2 - xy}&=\frac{x(x^2 - y^2)}{x(x - y)}\\&=\frac{x(x-y)(x+y)}{x(x - y)}\end{aligned}$
由已知得$x=\sqrt{5}-1≠0$，$x-y=(\sqrt{5}-1)-(\sqrt{5}+1)=-2≠0$，因此可约去公因式$x$和$x-y$，化简得：
原式$=x+y$
将$x=\sqrt{5}-1$，$y=\sqrt{5}+1$代入得：
$x+y=(\sqrt{5}-1)+(\sqrt{5}+1)=2\sqrt{5}$
故选D。
【答案】
D
【知识点】
分式化简、因式分解、二次根式运算
【点评】
本题考查分式求值的常用技巧，先化简后代入的思路能大幅降低计算复杂度，避免直接代入复杂数值出现计算错误，需要熟练掌握因式分解的常用方法以及分式约分的规则。
【难度系数】
0.7
遇到分式求值类问题，优先先化简分式再代入数值，可减少计算量。首先观察分式的分子和分母，分别进行因式分解：分子先提取公因式x，再利用平方差公式分解剩余的二次式；分母提取公因式x，之后约去分子分母中不为0的公因式，得到最简结果后，再代入x、y的数值计算即可。
【解析】
先对分式进行化简：
$\begin{aligned}\frac{x^3 - xy^2}{x^2 - xy}&=\frac{x(x^2 - y^2)}{x(x - y)}\\&=\frac{x(x-y)(x+y)}{x(x - y)}\end{aligned}$
由已知得$x=\sqrt{5}-1≠0$，$x-y=(\sqrt{5}-1)-(\sqrt{5}+1)=-2≠0$，因此可约去公因式$x$和$x-y$，化简得：
原式$=x+y$
将$x=\sqrt{5}-1$，$y=\sqrt{5}+1$代入得：
$x+y=(\sqrt{5}-1)+(\sqrt{5}+1)=2\sqrt{5}$
故选D。
【答案】
D
【知识点】
分式化简、因式分解、二次根式运算
【点评】
本题考查分式求值的常用技巧，先化简后代入的思路能大幅降低计算复杂度，避免直接代入复杂数值出现计算错误，需要熟练掌握因式分解的常用方法以及分式约分的规则。
【难度系数】
0.7
8.一艘轮船在静水中的最大航速为 35 km/h，它以最大航速沿江顺流航行 120 km 所用的时间，与以最大航速沿江逆流航行 90 km 所用的时间相等。设江水的流速为 v km/h，则可列方程为（
A.$\frac{120}{35+v}=\frac{90}{35-v}$
B.$\frac{120}{35-v}=\frac{90}{35+v}$
C.$\frac{120}{v-35}=\frac{90}{v+35}$
D.$\frac{120}{v+35}=\frac{90}{v-35}$
A
）。A.$\frac{120}{35+v}=\frac{90}{35-v}$
B.$\frac{120}{35-v}=\frac{90}{35+v}$
C.$\frac{120}{v-35}=\frac{90}{v+35}$
D.$\frac{120}{v+35}=\frac{90}{v-35}$
答案
A
解析
【分析】
这是一道流水行船类的行程应用题，解题时先回忆流水行船的速度计算规则，再提取题干的等量关系。首先，顺流航行时，船的实际速度是静水最大航速加江水的流速；逆流航行时，船的实际速度是静水最大航速减江水的流速。题干给出的等量关系是顺流航行120km的时间和逆流航行90km的时间相等，结合“时间=路程÷速度”的公式，分别表示出两个时间后列等式即可。
【解析】
首先计算两种航行状态下的实际速度：
顺流实际速度：$v_顺 = 35 + v$（km/h），则顺流航行120km所用时间为：$t_顺 = \frac{路程}{速度} = \frac{120}{35+v}$
逆流实际速度：$v_逆 = 35 - v$（km/h），则逆流航行90km所用时间为：$t_逆 = \frac{90}{35-v}$
由题干可知两个时间相等，即$t_顺 = t_逆$，因此可列方程：$\frac{120}{35+v}=\frac{90}{35-v}$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
流水行船速度计算，行程问题基本公式，列分式方程
【点评】
本题属于行程类基础应用题，解题关键是准确区分顺流、逆流状态下船的实际速度，再结合题干给出的时间相等的等量关系列方程即可，只要掌握流水行船的基本规律就能轻松解答。
【难度系数】
0.8
这是一道流水行船类的行程应用题，解题时先回忆流水行船的速度计算规则，再提取题干的等量关系。首先，顺流航行时，船的实际速度是静水最大航速加江水的流速；逆流航行时，船的实际速度是静水最大航速减江水的流速。题干给出的等量关系是顺流航行120km的时间和逆流航行90km的时间相等，结合“时间=路程÷速度”的公式，分别表示出两个时间后列等式即可。
【解析】
首先计算两种航行状态下的实际速度：
顺流实际速度：$v_顺 = 35 + v$（km/h），则顺流航行120km所用时间为：$t_顺 = \frac{路程}{速度} = \frac{120}{35+v}$
逆流实际速度：$v_逆 = 35 - v$（km/h），则逆流航行90km所用时间为：$t_逆 = \frac{90}{35-v}$
由题干可知两个时间相等，即$t_顺 = t_逆$，因此可列方程：$\frac{120}{35+v}=\frac{90}{35-v}$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
流水行船速度计算，行程问题基本公式，列分式方程
【点评】
本题属于行程类基础应用题，解题关键是准确区分顺流、逆流状态下船的实际速度，再结合题干给出的时间相等的等量关系列方程即可，只要掌握流水行船的基本规律就能轻松解答。
【难度系数】
0.8
9.若关于$x$的分式方程$\dfrac{2}{x-1}=\dfrac{m}{x}$有正整数解，则整数$m$的值是（
A.3
B.5
C.3或5
D.3或4
D
）.A.3
B.5
C.3或5
D.3或4
答案
D
解析
【分析】
本题是分式方程含参求整数解的题型，解题思路分为三步：第一步先将分式方程去分母转化为整式方程，用含参数m的代数式表示出x；第二步结合分式有意义的条件（分母不为0），明确x的取值限制；第三步根据x是正整数、m是整数的条件，筛选出符合要求的m值即可。
【解析】
解：先解分式方程$\dfrac{2}{x-1}=\dfrac{m}{x}$，
方程两边同时乘以最简公分母$x(x-1)$，消去分母得：
$2x = m(x-1)$，
展开移项得：$2x - mx = -m$，
提取公因式得：$x(2 - m) = -m$，
系数化为1得：$x = \dfrac{m}{m-2}$，
将表达式变形为：$x = \dfrac{(m-2) + 2}{m-2} = 1 + \dfrac{2}{m-2}$。
根据题意，方程有正整数解，且分式分母不为0，因此需满足：
1. $x＞0$且x为正整数；
2. $x ≠ 0$，$x ≠ 1$（原方程分母不能为0）。
首先$x = 1 + \dfrac{2}{m-2}$为正整数，说明$\dfrac{2}{m-2}$是正整数（因为x≠1，所以x≥2），因此$m-2$是2的正约数：
当$m-2=1$时，$\dfrac{2}{1}=2$，$x=1+2=3$，是正整数，此时$m=3$；
当$m-2=2$时，$\dfrac{2}{2}=1$，$x=1+1=2$，是正整数，此时$m=4$。
若$m-2$为负约数，得到的x为负数或0，不符合正整数解的要求，舍去。
经检验，$m=3$和$m=4$时，原方程的解均为正整数且分母不为0，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
分式方程的解法，分式有意义的条件，整数解判定
【点评】
本题是分式方程含参问题的典型考法，易错点是容易遗漏分式分母不为0的隐含条件，解题时需先求出含参的解，再结合所有约束条件逐一筛选参数，最后要记得检验解是否符合分式方程的要求。
【难度系数】
0.7
本题是分式方程含参求整数解的题型，解题思路分为三步：第一步先将分式方程去分母转化为整式方程，用含参数m的代数式表示出x；第二步结合分式有意义的条件（分母不为0），明确x的取值限制；第三步根据x是正整数、m是整数的条件，筛选出符合要求的m值即可。
【解析】
解：先解分式方程$\dfrac{2}{x-1}=\dfrac{m}{x}$，
方程两边同时乘以最简公分母$x(x-1)$，消去分母得：
$2x = m(x-1)$，
展开移项得：$2x - mx = -m$，
提取公因式得：$x(2 - m) = -m$，
系数化为1得：$x = \dfrac{m}{m-2}$，
将表达式变形为：$x = \dfrac{(m-2) + 2}{m-2} = 1 + \dfrac{2}{m-2}$。
根据题意，方程有正整数解，且分式分母不为0，因此需满足：
1. $x＞0$且x为正整数；
2. $x ≠ 0$，$x ≠ 1$（原方程分母不能为0）。
首先$x = 1 + \dfrac{2}{m-2}$为正整数，说明$\dfrac{2}{m-2}$是正整数（因为x≠1，所以x≥2），因此$m-2$是2的正约数：
当$m-2=1$时，$\dfrac{2}{1}=2$，$x=1+2=3$，是正整数，此时$m=3$；
当$m-2=2$时，$\dfrac{2}{2}=1$，$x=1+1=2$，是正整数，此时$m=4$。
若$m-2$为负约数，得到的x为负数或0，不符合正整数解的要求，舍去。
经检验，$m=3$和$m=4$时，原方程的解均为正整数且分母不为0，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
分式方程的解法，分式有意义的条件，整数解判定
【点评】
本题是分式方程含参问题的典型考法，易错点是容易遗漏分式分母不为0的隐含条件，解题时需先求出含参的解，再结合所有约束条件逐一筛选参数，最后要记得检验解是否符合分式方程的要求。
【难度系数】
0.7
