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1. 写出下列命题的逆命题，并判断其逆命题的真假。
（1）两直线平行，同旁内角互补。
逆命题：
（2）全等三角形的周长相等。
逆命题：
（3）如果$ab=0$，那么$a=0$或$b=0$。
逆命题：
（1）两直线平行，同旁内角互补。
逆命题：
同旁内角互补，两直线平行
。 （真
）（2）全等三角形的周长相等。
逆命题：
周长相等的两个三角形是全等三角形
。 （假
）（3）如果$ab=0$，那么$a=0$或$b=0$。
逆命题：
如果$a=0$或$b=0$，那么$ab=0$
。 （真
）答案
1.（1）同旁内角互补，两直线平行（真）
（2）周长相等的两个三角形是全等三角形（假）
（3）如果a=0或b=0，那么ab=0（真）
（2）周长相等的两个三角形是全等三角形（假）
（3）如果a=0或b=0，那么ab=0（真）
解析
【分析】
解决这类问题要分两步走：第一步构造逆命题，核心是准确拆分原命题的条件（题设）和结论，将二者互换位置即可得到原命题的逆命题；第二步判断逆命题的真假，若逆命题符合已学的公理、定理、性质则为真命题，若能举出反例证明逆命题不成立则为假命题。
针对3个小题的具体思考路径：
（1）原命题条件是“两直线平行”，结论是“同旁内角互补”，互换后结合平行线的判定定理即可判断真假；
（2）原命题条件是“两个三角形全等”，结论是“周长相等”，互换后可通过举反例验证真假；
（3）原命题条件是“ab=0”，结论是“a=0或b=0”，互换后结合有理数乘法的性质即可判断真假。
【解析】
根据逆命题的构造规则（交换原命题的条件和结论），逐个求解：
（1）原命题“两直线平行，同旁内角互补”交换条件和结论，得逆命题：同旁内角互补，两直线平行。该命题是平行线的判定定理，符合几何事实，是真命题。
（2）原命题“全等三角形的周长相等”可改写为“如果两个三角形全等，那么它们的周长相等”，交换条件和结论，得逆命题：周长相等的两个三角形是全等三角形。举反例：边长为3、4、5的直角三角形和边长为4、4、4的等边三角形周长均为12，但二者不全等，因此该命题是假命题。
（3）原命题“如果ab=0，那么a=0或b=0”交换条件和结论，得逆命题：如果a=0或b=0，那么ab=0。根据乘法的性质，0乘任何数都得0，因此当a=0或b=0时，ab一定为0，该命题是真命题。
【答案】
（1）同旁内角互补，两直线平行；真
（2）周长相等的两个三角形是全等三角形；假
（3）如果a=0或b=0，那么ab=0；真
【知识点】
逆命题的定义、命题真假判断、有理数乘法性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是准确区分命题的条件和结论，改写逆命题时要注意语句通顺符合逻辑，判断假命题时熟练运用举反例的方法即可轻松解题。
【难度系数】
0.8
解决这类问题要分两步走：第一步构造逆命题，核心是准确拆分原命题的条件（题设）和结论，将二者互换位置即可得到原命题的逆命题；第二步判断逆命题的真假，若逆命题符合已学的公理、定理、性质则为真命题，若能举出反例证明逆命题不成立则为假命题。
针对3个小题的具体思考路径：
（1）原命题条件是“两直线平行”，结论是“同旁内角互补”，互换后结合平行线的判定定理即可判断真假；
（2）原命题条件是“两个三角形全等”，结论是“周长相等”，互换后可通过举反例验证真假；
（3）原命题条件是“ab=0”，结论是“a=0或b=0”，互换后结合有理数乘法的性质即可判断真假。
【解析】
根据逆命题的构造规则（交换原命题的条件和结论），逐个求解：
（1）原命题“两直线平行，同旁内角互补”交换条件和结论，得逆命题：同旁内角互补，两直线平行。该命题是平行线的判定定理，符合几何事实，是真命题。
（2）原命题“全等三角形的周长相等”可改写为“如果两个三角形全等，那么它们的周长相等”，交换条件和结论，得逆命题：周长相等的两个三角形是全等三角形。举反例：边长为3、4、5的直角三角形和边长为4、4、4的等边三角形周长均为12，但二者不全等，因此该命题是假命题。
（3）原命题“如果ab=0，那么a=0或b=0”交换条件和结论，得逆命题：如果a=0或b=0，那么ab=0。根据乘法的性质，0乘任何数都得0，因此当a=0或b=0时，ab一定为0，该命题是真命题。
【答案】
（1）同旁内角互补，两直线平行；真
（2）周长相等的两个三角形是全等三角形；假
（3）如果a=0或b=0，那么ab=0；真
【知识点】
逆命题的定义、命题真假判断、有理数乘法性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是准确区分命题的条件和结论，改写逆命题时要注意语句通顺符合逻辑，判断假命题时熟练运用举反例的方法即可轻松解题。
【难度系数】
0.8
2. 定理“等腰三角形的两个底角相等”的逆定理是(
A.有两个底角相等的三角形是等腰三角形
B.有两个角相等的三角形是等腰三角形
C.有两个角不相等的三角形不是等腰三角形
D.不是等腰三角形的两个角不相等
B
)。A.有两个底角相等的三角形是等腰三角形
B.有两个角相等的三角形是等腰三角形
C.有两个角不相等的三角形不是等腰三角形
D.不是等腰三角形的两个角不相等
答案
2. B
解析
【分析】
要找一个定理的逆定理，首先需明确原定理的题设（条件）和结论，再将题设和结论互换，同时注意表述的严谨性，避免出现逻辑错误。首先拆分原定理“等腰三角形的两个底角相等”的题设和结论：题设是“一个三角形是等腰三角形”，结论是“它的两个底角相等”。互换时要注意，“底角”是仅属于等腰三角形的概念，未确定三角形是等腰三角形时不能使用“底角”的表述，因此互换后需调整表述为通用的“两个角相等”，再对应选项辨析即可。
【解析】
1. 先将原定理改写为“如果…那么…”的形式，明确条件和结论：
如果一个三角形是等腰三角形，那么它的两个底角相等。
其中条件为“三角形是等腰三角形”，结论为“两个底角相等”。
2. 交换条件和结论推导逆定理：
由于“底角”是等腰三角形特有的概念，在未知三角形为等腰三角形时不能使用“底角”表述，因此交换后正确表述为：如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形，即“有两个角相等的三角形是等腰三角形”。
3. 逐一辨析选项：
A选项使用“底角”表述，默认了三角形是等腰三角形，存在逻辑错误，排除；
B选项与推导的逆定理表述一致，正确；
C选项是原命题的否命题，不是逆定理，排除；
D选项是原命题的逆否命题，不是逆定理，排除。
【答案】
B
【知识点】
逆定理的概念；等腰三角形的判定；命题的结构
【点评】
本题核心考查逆定理的判断方法，易错点是忽略“底角”概念的适用前提，误选A选项，解题时要注意数学表述的严谨性，避免出现逻辑循环的问题。
【难度系数】
0.7
要找一个定理的逆定理，首先需明确原定理的题设（条件）和结论，再将题设和结论互换，同时注意表述的严谨性，避免出现逻辑错误。首先拆分原定理“等腰三角形的两个底角相等”的题设和结论：题设是“一个三角形是等腰三角形”，结论是“它的两个底角相等”。互换时要注意，“底角”是仅属于等腰三角形的概念，未确定三角形是等腰三角形时不能使用“底角”的表述，因此互换后需调整表述为通用的“两个角相等”，再对应选项辨析即可。
【解析】
1. 先将原定理改写为“如果…那么…”的形式，明确条件和结论：
如果一个三角形是等腰三角形，那么它的两个底角相等。
其中条件为“三角形是等腰三角形”，结论为“两个底角相等”。
2. 交换条件和结论推导逆定理：
由于“底角”是等腰三角形特有的概念，在未知三角形为等腰三角形时不能使用“底角”表述，因此交换后正确表述为：如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形，即“有两个角相等的三角形是等腰三角形”。
3. 逐一辨析选项：
A选项使用“底角”表述，默认了三角形是等腰三角形，存在逻辑错误，排除；
B选项与推导的逆定理表述一致，正确；
C选项是原命题的否命题，不是逆定理，排除；
D选项是原命题的逆否命题，不是逆定理，排除。
【答案】
B
【知识点】
逆定理的概念；等腰三角形的判定；命题的结构
【点评】
本题核心考查逆定理的判断方法，易错点是忽略“底角”概念的适用前提，误选A选项，解题时要注意数学表述的严谨性，避免出现逻辑循环的问题。
【难度系数】
0.7
3. 下列说法正确的是(
A.每个命题都有逆命题
B.每个定理都有逆定理
C.真命题的逆命题一定是真命题
D.假命题的逆命题一定是假命题
A
)。A.每个命题都有逆命题
B.每个定理都有逆定理
C.真命题的逆命题一定是真命题
D.假命题的逆命题一定是假命题
答案
3. A
解析
【分析】
解题时首先回忆逆命题、逆定理的相关概念：命题由题设和结论两部分构成，将命题的题设和结论互换即可得到其逆命题；逆定理需要满足两个条件，一是原命题是定理，二是其逆命题也为真命题。随后逐一分析每个选项，结合举反例的方法判断选项正误即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：任何命题都由题设和结论组成，将题设和结论互换就能得到该命题的逆命题，因此每个命题都有逆命题，该说法正确。
选项B：定理是经过证明的真命题，但定理的逆命题不一定为真命题，只有逆命题也为真时，才称其为原定理的逆定理。例如定理“对顶角相等”的逆命题是“相等的角是对顶角”，这是假命题，因此该定理没有逆定理，故不是每个定理都有逆定理，该说法错误。
选项C：真命题的逆命题不一定是真命题，还是以“对顶角相等”这个真命题为例，它的逆命题“相等的角是对顶角”是假命题，该说法错误。
选项D：假命题的逆命题不一定是假命题，例如假命题“相等的角是对顶角”的逆命题“对顶角相等”是真命题，该说法错误。
综上，只有A选项的说法正确。
【答案】
A
【知识点】
逆命题的定义；逆定理的定义；命题真假判断
【点评】
本题属于基础概念辨析题，核心考查对逆命题、逆定理的概念理解，掌握命题与逆命题的结构关系，学会用举反例的方法验证命题的真假是解题的关键。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆逆命题、逆定理的相关概念：命题由题设和结论两部分构成，将命题的题设和结论互换即可得到其逆命题；逆定理需要满足两个条件，一是原命题是定理，二是其逆命题也为真命题。随后逐一分析每个选项，结合举反例的方法判断选项正误即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：任何命题都由题设和结论组成，将题设和结论互换就能得到该命题的逆命题，因此每个命题都有逆命题，该说法正确。
选项B：定理是经过证明的真命题，但定理的逆命题不一定为真命题，只有逆命题也为真时，才称其为原定理的逆定理。例如定理“对顶角相等”的逆命题是“相等的角是对顶角”，这是假命题，因此该定理没有逆定理，故不是每个定理都有逆定理，该说法错误。
选项C：真命题的逆命题不一定是真命题，还是以“对顶角相等”这个真命题为例，它的逆命题“相等的角是对顶角”是假命题，该说法错误。
选项D：假命题的逆命题不一定是假命题，例如假命题“相等的角是对顶角”的逆命题“对顶角相等”是真命题，该说法错误。
综上，只有A选项的说法正确。
【答案】
A
【知识点】
逆命题的定义；逆定理的定义；命题真假判断
【点评】
本题属于基础概念辨析题，核心考查对逆命题、逆定理的概念理解，掌握命题与逆命题的结构关系，学会用举反例的方法验证命题的真假是解题的关键。
【难度系数】
0.8
4. 下列定理有逆定理吗？如果有逆定理，写出其逆定理。
（1）等边三角形的三个内角都相等。
（2）全等三角形的对应角相等。
（1）等边三角形的三个内角都相等。
（2）全等三角形的对应角相等。
答案
4.（1）有逆定理。三个内角都相等的三角形是等边三角形。
（2）没有逆定理。
（2）没有逆定理。
解析
【分析】
要解决这类问题，首先明确逆定理的判定逻辑：①先把原定理拆分为“题设（条件）”和“结论”两部分；②交换题设和结论得到原定理的逆命题；③判断逆命题的真假：如果逆命题是真命题，那么原定理有逆定理，该逆命题就是逆定理；如果逆命题是假命题，那么原定理没有逆定理。
针对两个小问分别处理：对于（1），拆分原命题的条件是“三角形是等边三角形”，结论是“三个内角都相等”，交换后得到逆命题，再结合三角形判定知识判断真假即可；对于（2），拆分原命题条件是“两个三角形全等”，结论是“对应角相等”，交换得到逆命题后，可通过举反例判断真假。
【解析】
判断定理是否有逆定理的步骤：先将原定理改写为“如果…那么…”的形式，区分题设和结论，交换题设和结论得到逆命题，再判断逆命题的真假。
（1）原定理改写为：如果一个三角形是等边三角形，那么它的三个内角都相等。
题设：一个三角形是等边三角形；结论：它的三个内角都相等。
交换题设和结论得到逆命题：三个内角都相等的三角形是等边三角形。
根据等边三角形的判定规则，该逆命题是真命题，因此原定理有逆定理。
（2）原定理改写为：如果两个三角形是全等三角形，那么它们的对应角相等。
题设：两个三角形是全等三角形；结论：它们的对应角相等。
交换题设和结论得到逆命题：对应角相等的两个三角形是全等三角形。
举反例：两个边长分别为1和2的等边三角形，对应角都为60°，但边长不相等，不全等，因此该逆命题是假命题，原定理没有逆定理。
【答案】
（1）有逆定理。三个内角都相等的三角形是等边三角形。
（2）没有逆定理。
【知识点】
逆命题与逆定理；命题真假判断；全等三角形的性质
【点评】
本题核心考查逆定理的判定方法，解题关键是准确拆分原命题的条件和结论构造逆命题，同时要熟练掌握常见几何定理的性质和判定，会用举反例的方法快速判断假命题，注意定理一定有逆命题，但不一定有逆定理。
【难度系数】
0.8
要解决这类问题，首先明确逆定理的判定逻辑：①先把原定理拆分为“题设（条件）”和“结论”两部分；②交换题设和结论得到原定理的逆命题；③判断逆命题的真假：如果逆命题是真命题，那么原定理有逆定理，该逆命题就是逆定理；如果逆命题是假命题，那么原定理没有逆定理。
针对两个小问分别处理：对于（1），拆分原命题的条件是“三角形是等边三角形”，结论是“三个内角都相等”，交换后得到逆命题，再结合三角形判定知识判断真假即可；对于（2），拆分原命题条件是“两个三角形全等”，结论是“对应角相等”，交换得到逆命题后，可通过举反例判断真假。
【解析】
判断定理是否有逆定理的步骤：先将原定理改写为“如果…那么…”的形式，区分题设和结论，交换题设和结论得到逆命题，再判断逆命题的真假。
（1）原定理改写为：如果一个三角形是等边三角形，那么它的三个内角都相等。
题设：一个三角形是等边三角形；结论：它的三个内角都相等。
交换题设和结论得到逆命题：三个内角都相等的三角形是等边三角形。
根据等边三角形的判定规则，该逆命题是真命题，因此原定理有逆定理。
（2）原定理改写为：如果两个三角形是全等三角形，那么它们的对应角相等。
题设：两个三角形是全等三角形；结论：它们的对应角相等。
交换题设和结论得到逆命题：对应角相等的两个三角形是全等三角形。
举反例：两个边长分别为1和2的等边三角形，对应角都为60°，但边长不相等，不全等，因此该逆命题是假命题，原定理没有逆定理。
【答案】
（1）有逆定理。三个内角都相等的三角形是等边三角形。
（2）没有逆定理。
【知识点】
逆命题与逆定理；命题真假判断；全等三角形的性质
【点评】
本题核心考查逆定理的判定方法，解题关键是准确拆分原命题的条件和结论构造逆命题，同时要熟练掌握常见几何定理的性质和判定，会用举反例的方法快速判断假命题，注意定理一定有逆命题，但不一定有逆定理。
【难度系数】
0.8
5. 写出命题“等腰三角形底边上的高线与顶角平分线互相重合”的逆命题，并判断这个逆命题的真假。
答案
5. 逆命题是:如果一个三角形一边上的高线与该边所对角的平分线互相重合,那么这个三角形是等腰三角形。这是一个真命题。
解析
【分析】
要解决这个问题，首先要明确逆命题的改写规则：把原命题的题设和结论互换位置，再调整语句使表述通顺合理，之后通过几何证明判断改写后命题的真假。首先拆分原命题：原命题的题设为“一个三角形是等腰三角形”，结论为“它底边上的高线与顶角平分线互相重合”，互换题设和结论时要注意对应关系：原命题中“底边”对应的角是顶角（即底边所对的角），因此改写时要把对应关系表述准确。判断逆命题真假时，可通过构造全等三角形，证明三角形两边相等即可验证命题成立。
【解析】
1. 改写逆命题：
原命题的题设是“一个三角形是等腰三角形”，结论是“这个三角形底边上的高线与顶角平分线互相重合”，将题设和结论互换，调整表述严谨性后得到逆命题：如果一个三角形一边上的高线与该边所对角的平分线互相重合，那么这个三角形是等腰三角形。
2. 判断逆命题真假：
已知：在△ABC中，AD⊥BC于点D，且AD平分∠BAC，求证：AB=AC。
证明：
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD
在△ABD和△ACD中：
$\{\begin{array}{l}∠ BAD=∠ CAD\\ AD=AD\\ ∠ ADB=∠ ADC\end{array} $
∴△ABD≌△ACD（ASA）
∴AB=AC，即△ABC是等腰三角形
因此该逆命题是真命题。
【答案】
逆命题是:如果一个三角形一边上的高线与该边所对角的平分线互相重合,那么这个三角形是等腰三角形。这是一个真命题。
【知识点】
1. 逆命题的改写
2. 全等三角形的判定与性质
3. 等腰三角形的判定
【点评】
本题核心考查逆命题的改写方法和命题真假的判断，改写逆命题时要注意梳理清楚原命题的题设和结论，保证互换后表述的逻辑严谨、对应关系准确，判断几何命题真假时可通过严谨的几何推理进行验证。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，首先要明确逆命题的改写规则：把原命题的题设和结论互换位置，再调整语句使表述通顺合理，之后通过几何证明判断改写后命题的真假。首先拆分原命题：原命题的题设为“一个三角形是等腰三角形”，结论为“它底边上的高线与顶角平分线互相重合”，互换题设和结论时要注意对应关系：原命题中“底边”对应的角是顶角（即底边所对的角），因此改写时要把对应关系表述准确。判断逆命题真假时，可通过构造全等三角形，证明三角形两边相等即可验证命题成立。
【解析】
1. 改写逆命题：
原命题的题设是“一个三角形是等腰三角形”，结论是“这个三角形底边上的高线与顶角平分线互相重合”，将题设和结论互换，调整表述严谨性后得到逆命题：如果一个三角形一边上的高线与该边所对角的平分线互相重合，那么这个三角形是等腰三角形。
2. 判断逆命题真假：
已知：在△ABC中，AD⊥BC于点D，且AD平分∠BAC，求证：AB=AC。
证明：
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD
在△ABD和△ACD中：
$\{\begin{array}{l}∠ BAD=∠ CAD\\ AD=AD\\ ∠ ADB=∠ ADC\end{array} $
∴△ABD≌△ACD（ASA）
∴AB=AC，即△ABC是等腰三角形
因此该逆命题是真命题。
【答案】
逆命题是:如果一个三角形一边上的高线与该边所对角的平分线互相重合,那么这个三角形是等腰三角形。这是一个真命题。
【知识点】
1. 逆命题的改写
2. 全等三角形的判定与性质
3. 等腰三角形的判定
【点评】
本题核心考查逆命题的改写方法和命题真假的判断，改写逆命题时要注意梳理清楚原命题的题设和结论，保证互换后表述的逻辑严谨、对应关系准确，判断几何命题真假时可通过严谨的几何推理进行验证。
【难度系数】
0.8
