知识梳理
探究→勾股定理
勾股定理
表达形式：在Rt△ABC中，∠C=90°,∠A,∠B,∠C的对边分别是a,b,c,则①。
直角三角形②。
引申：以直角三角形两直角边为③的④等于以斜边为⑤的⑥。
勾股定理的逆定理：如果⑦，那么这个三角形是直角三角形。
常见勾股数：3,4,5;⑧。
应用
直角三角形中已知两边长求第三边长
典型题：几何体表面两点间的最短距离
专题探究

①$a^{2}+b^{2}=c^{2}$
②两直角边长度的平方和等于斜边长度的平方
③边
④正方形的面积之和
⑤边
⑥正方形的面积
⑦三角形三条边的长度a,b,c满足$a^{2}+b^{2}=c^{2}$
⑧6,8,10;5,12,13;7,24,25等

【分析】
这是一道勾股定理相关的基础概念填空题，解题时需要逐一匹配勾股定理的表达形式、文字定义、几何引申意义、逆定理内容、常见勾股数这些核心基础知识点，结合题干给出的描述对应填入正确内容即可。
【解析】
①在Rt△ABC中，∠C=90°，则c为斜边，a、b为直角边，根据勾股定理的字母表达形式，应填$a^2+b^2=c^2$；
②此处为勾股定理的文字叙述，内容是直角三角形两直角边长度的平方和等于斜边长度的平方；
③~⑥为勾股定理的面积引申意义：以直角三角形两直角边为边的正方形的面积之和，等于以斜边为边的正方形的面积，因此③填边，④填正方形的面积之和，⑤填边，⑥填正方形的面积；
⑦此处为勾股定理逆定理的前提条件，即如果三角形三条边的长度a,b,c满足$a^2+b^2=c^2$，那么这个三角形是直角三角形；
⑧常见勾股数是满足勾股定理的正整数组，除3,4,5外，典型的还有6,8,10;5,12,13;7,24,25等，填写合理即可。
【答案】
①$a^{2}+b^{2}=c^{2}$
②两直角边长度的平方和等于斜边长度的平方
③边
④正方形的面积之和
⑤边
⑥正方形的面积
⑦三角形三条边的长度a,b,c满足$a^{2}+b^{2}=c^{2}$
⑧6,8,10;5,12,13;7,24,25等
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理；勾股数
【点评】
本题属于基础概念考察题，主要考查对勾股定理及其逆定理相关核心定义的记忆和理解，掌握这些基础内容是后续运用勾股定理解决边长计算、几何证明、实际应用类问题的前提。
【难度系数】
0.9

1. 如图,某港口 P 位于东西方向的海岸线上,甲、乙两艘轮船同时离开港口 P,分别以每小时 12 海里和 16 海里的速度沿着北偏西 $40°$方向和北偏东 $50°$的方向航行,1小时后,两船相距 海里。

1. 20

【分析】
首先根据路程=速度×时间，算出航行1小时后甲、乙两船分别到港口P的距离；再结合方位角的度数，计算两船航行路线的夹角，判断得出的三角形为直角三角形；最后利用勾股定理计算直角三角形的斜边，即可得到两船的距离。
【解析】
1. 计算1小时后两船到港口P的距离：
甲船航行距离：$12×1=12$（海里），即甲到P的距离为12海里；
乙船航行距离：$16×1=16$（海里），即乙到P的距离为16海里。
2. 判断三角形形状：
甲沿北偏西$40°$航行，乙沿北偏东$50°$航行，因此两船航行路线的夹角为$40°+50°=90°$，即两船和港口P构成的三角形是直角三角形，直角在P点。
3. 用勾股定理计算两船距离：
设两船相距$x$海里，根据勾股定理可得：
$x^2=12^2+16^2=144+256=400$
因为距离为正数，所以$x=\sqrt{400}=20$海里。
【答案】
20
【知识点】
方位角识别；勾股定理的应用；路程计算
【点评】
本题是勾股定理在实际航行问题中的应用，解题关键是结合方位角判断出直角三角形，再利用勾股定理计算边长，属于基础的几何应用类题目。
【难度系数】
0.8

2. 如图，要在河边$l$上修建一个水泵站，分别向$A$，$B$两个村庄送水，已知$A$，$B$两村到河边的距离分别为$AC=1\ \mathrm{km}$和$BD=3\ \mathrm{km}$，且$C$，$D$两点相距$3\ \mathrm{km}$，则所铺设的水管至少是（）。

A.$5\ \mathrm{km}$
B.$4\ \mathrm{km}$
C.$3\ \mathrm{km}$
D.$6\ \mathrm{km}$

2. A

【分析】
本题是最短路径的实际应用问题，解题思路遵循“将军饮马”模型的转化方法：要在直线l上找一点使得到A、B的距离和最小，首先利用轴对称的性质，作其中一个点关于直线l的对称点，将同侧两点转化为异侧两点，根据“两点之间线段最短”，连接对称点与另一个点，线段的长度就是最短距离，最后构造直角三角形用勾股定理计算长度即可。
【解析】
1. 作点A关于直线l的对称点A'，过A'作A'E⊥BD，交BD的延长线于点E。
根据轴对称的性质可知：$A'C = AC = 1\ \mathrm{km}$，且对直线l上任意一点P，都有$PA = PA'$，因此$PA + PB = PA' + PB$，当A'、P、B三点共线时，$PA' + PB$取得最小值，最小值为$A'B$的长度。
2. 由题意可知四边形A'CDE为矩形，因此：
$A'E = CD = 3\ \mathrm{km}$，$DE = A'C = 1\ \mathrm{km}$，
则$BE = BD + DE = 3 + 1 = 4\ \mathrm{km}$。
3. 在$\mathrm{Rt}△ A'EB$中，根据勾股定理：
$A'B = \sqrt{A'E^2 + BE^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5\ \mathrm{km}$。
即铺设的水管长度至少为5 km。
【答案】
A
【知识点】
最短路径问题，勾股定理，轴对称的性质
【点评】
本题将几何最短路径模型与实际问题结合，解题核心是掌握对称转化的思路，把折线长度和转化为两点间的线段长度，再结合勾股定理完成计算，是最短路径类问题的典型考法。
【难度系数】
0.7

3. 如图，一高层住宅发生火灾，消防车立即赶到距高层住宅9 m处（车尾AE到高层住宅墙面的距离DE），升起云梯AB到发生火灾的住户家窗口，已知云梯长15 m，云梯底部距地面3 m，问：发生火灾的住户家窗口距地面的高度BD是多少米？

3. 解:过点 A 作$AC⊥ BD$,垂足为点 C,如图,由题意可知
$AE=CD=3\ \mathrm{m},AC=9\ \mathrm{m},AB=15\ \mathrm{m}$,
在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中, 根据勾股定理,
得$AC^{2}+BC^{2}=AB^{2}$,
即 $9^{2}+BC^{2}=15^{2}$,
所以 $BC^{2}=15^{2}-9^{2}=144=12^{2}$,
所以 $BC=12\ \mathrm{m}$,
因此 $BD=BC+CD=12+3=15(\mathrm{m})$,
所以发生火灾的住户家窗口距地面的高度 BD 是15 m。

【分析】
求解本题首先要将实际场景转化为几何问题：我们要求窗口距地面的高度BD，已知云梯底部距地面高度AE=3m，水平距离DE=9m，云梯长AB=15m。首先过点A作AC⊥BD，垂足为C，此时四边形ACDE为矩形，可得AC=DE=9m、CD=AE=3m，这样就构造出了直角三角形ABC，已知Rt△ABC的斜边AB和直角边AC，可通过勾股定理求出BC的长度，最后将BC与CD相加即可得到BD的长度。
【解析】
过点A作$AC⊥ BD$，垂足为点C，由题意得：
$AE=CD=3\ \mathrm{m}$，$AC=DE=9\ \mathrm{m}$，$AB=15\ \mathrm{m}$，
在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中，根据勾股定理：
$AC^{2}+BC^{2}=AB^{2}$，
代入数值得：$9^{2}+BC^{2}=15^{2}$，
计算得：$BC^{2}=15^{2}-9^{2}=225-81=144$，
由于边长为正，因此$BC=12\ \mathrm{m}$，
所以$BD=BC+CD=12+3=15(\mathrm{m})$。
【答案】
发生火灾的住户家窗口距地面的高度 BD 是15 m。
【知识点】
勾股定理，矩形的性质，几何建模
【点评】
本题属于勾股定理的实际应用类基础题，解题关键是通过作辅助线构造直角三角形，将实际问题转化为直角三角形的边长计算问题，计算时要注意不要遗漏云梯底部距地面的高度，能够很好地考察学生的知识应用能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.8