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4.【数学应用】有一辆装满货物的卡车，高2.5 m，宽1.6 m，要开进如图所示的上边是半圆、下边是长方形的桥洞，已知半圆的直径是2 m，长方形的长是2.3 m。
（1）这辆卡车能否通过此桥洞？说明理由。
（2）为了适应需求，想把桥洞改成双行线，并且要使宽为1.2 m、高为2.8 m的卡车能安全通过，那么此桥洞的宽至少应增加多少米？
（1）这辆卡车能否通过此桥洞？说明理由。
（2）为了适应需求，想把桥洞改成双行线，并且要使宽为1.2 m、高为2.8 m的卡车能安全通过，那么此桥洞的宽至少应增加多少米？
答案
4. 解:(1)能。理由如下：
如图①,MN 为卡车的宽度,分别过点 M,N 作 AB 的垂线交半圆于点 C,D,连接 CD 交 GH 于点 E,连接 OC,
易知$OE⊥ CD$。
因为 $CD=MN=1.6\ \mathrm{m},AB=2\ \mathrm{m}$,
所以 $CE=DE=0.8\ \mathrm{m},OC=OA=1\ \mathrm{m}$。
在 $\mathrm{Rt}△ OCE$ 中,$OE^{2}=OC^{2}-CE^{2}=0.36$,所以 $OE=0.6\ \mathrm{m}$,所以 $CM=2.3+0.6=2.9(\mathrm{m})$。
因为 $2.9＞2.5$,所以这辆卡车能通过此桥洞。
(2)如图②,根据题意可知 $CG=BE=2.8\ \mathrm{m}$,
$BG=OF=1.2\ \mathrm{m},EF=AD=2.3\ \mathrm{m},BF=0.5\ \mathrm{m}$,
根据勾股定理有 $OA^{2}=OB^{2}=BF^{2}+OF^{2}=0.5^{2}+1.2^{2}=1.3^{2}$,所以 $OA=1.3\ \mathrm{m}$,
所以此桥洞的宽至少应增加 $1.3× 2-2=0.6(\mathrm{m})$。
解析
【分析】
（1）判断卡车能否通过的核心是比较卡车宽度对应位置的桥洞高度与卡车高度：卡车宽1.6m，取半宽0.8m，在半圆中构造直角三角形，用勾股定理算出该位置半圆的高度，加上下方长方形的高度得到桥洞总高度，再和卡车高度2.5m对比即可。
（2）双行线场景下，先计算卡车超出长方形部分的高度，结合卡车半宽1.2m，用勾股定理求出改造后半圆的最小半径，进而得到新桥洞的总宽度，减去原桥洞宽度即可得到需要增加的宽度。
【解析】
(1) 能通过，理由如下：
如图①，设MN为卡车宽度，分别过M、N作AB的垂线交半圆于C、D，连接CD交GH于E，连接OC，易知OE⊥CD。
已知CD=MN=1.6m，半圆直径AB=2m，因此CE=0.8m，半圆半径OC=1m。
在Rt△OCE中，由勾股定理得：$OE^2=OC^2-CE^2=1^2-0.8^2=0.36$，解得$OE=0.6\mathrm{m}$。
该位置桥洞总高度为$2.3+0.6=2.9\mathrm{m}$，$2.9＞2.5$，因此卡车能通过。
(2) 双行线通行时，卡车高2.8m，超出长方形部分的高度为$2.8-2.3=0.5\mathrm{m}$，卡车半宽为1.2m。
设改造后半圆半径为r，在对应的直角三角形中，由勾股定理得：$r^2=0.5^2+1.2^2=1.69$，解得$r=1.3\mathrm{m}$。
改造后桥洞总宽度为$1.3×2=2.6\mathrm{m}$，需要增加的宽度为$2.6-2=0.6\mathrm{m}$。
【答案】
4. 解:(1)能。理由如下：
如图①,MN 为卡车的宽度,分别过点 M,N 作 AB 的垂线交半圆于点 C,D,连接 CD 交 GH 于点 E,连接 OC,
易知$OE⊥ CD$。
因为 $CD=MN=1.6\ \mathrm{m},AB=2\ \mathrm{m}$,
所以 $CE=DE=0.8\ \mathrm{m},OC=OA=1\ \mathrm{m}$。
在 $\mathrm{Rt}△ OCE$ 中,$OE^{2}=OC^{2}-CE^{2}=0.36$,所以 $OE=0.6\ \mathrm{m}$,所以 $CM=2.3+0.6=2.9(\mathrm{m})$。
因为 $2.9＞2.5$,所以这辆卡车能通过此桥洞。
(2)如图②,根据题意可知 $CG=BE=2.8\ \mathrm{m}$,
$BG=OF=1.2\ \mathrm{m},EF=AD=2.3\ \mathrm{m},BF=0.5\ \mathrm{m}$,
根据勾股定理有 $OA^{2}=OB^{2}=BF^{2}+OF^{2}=0.5^{2}+1.2^{2}=1.3^{2}$,所以 $OA=1.3\ \mathrm{m}$,
所以此桥洞的宽至少应增加 $1.3× 2-2=0.6(\mathrm{m})$。
【知识点】
勾股定理；圆的性质；实际问题建模
【点评】
本题结合生活实际场景考查几何知识的应用，解题的关键是将实际通行需求转化为直角三角形的线段计算，能有效锻炼学生的数学建模能力和知识应用能力。
【难度系数】
0.7
（1）判断卡车能否通过的核心是比较卡车宽度对应位置的桥洞高度与卡车高度：卡车宽1.6m，取半宽0.8m，在半圆中构造直角三角形，用勾股定理算出该位置半圆的高度，加上下方长方形的高度得到桥洞总高度，再和卡车高度2.5m对比即可。
（2）双行线场景下，先计算卡车超出长方形部分的高度，结合卡车半宽1.2m，用勾股定理求出改造后半圆的最小半径，进而得到新桥洞的总宽度，减去原桥洞宽度即可得到需要增加的宽度。
【解析】
(1) 能通过，理由如下：
如图①，设MN为卡车宽度，分别过M、N作AB的垂线交半圆于C、D，连接CD交GH于E，连接OC，易知OE⊥CD。
已知CD=MN=1.6m，半圆直径AB=2m，因此CE=0.8m，半圆半径OC=1m。
在Rt△OCE中，由勾股定理得：$OE^2=OC^2-CE^2=1^2-0.8^2=0.36$，解得$OE=0.6\mathrm{m}$。
该位置桥洞总高度为$2.3+0.6=2.9\mathrm{m}$，$2.9＞2.5$，因此卡车能通过。
(2) 双行线通行时，卡车高2.8m，超出长方形部分的高度为$2.8-2.3=0.5\mathrm{m}$，卡车半宽为1.2m。
设改造后半圆半径为r，在对应的直角三角形中，由勾股定理得：$r^2=0.5^2+1.2^2=1.69$，解得$r=1.3\mathrm{m}$。
改造后桥洞总宽度为$1.3×2=2.6\mathrm{m}$，需要增加的宽度为$2.6-2=0.6\mathrm{m}$。
【答案】
4. 解:(1)能。理由如下：
如图①,MN 为卡车的宽度,分别过点 M,N 作 AB 的垂线交半圆于点 C,D,连接 CD 交 GH 于点 E,连接 OC,
易知$OE⊥ CD$。
因为 $CD=MN=1.6\ \mathrm{m},AB=2\ \mathrm{m}$,
所以 $CE=DE=0.8\ \mathrm{m},OC=OA=1\ \mathrm{m}$。
在 $\mathrm{Rt}△ OCE$ 中,$OE^{2}=OC^{2}-CE^{2}=0.36$,所以 $OE=0.6\ \mathrm{m}$,所以 $CM=2.3+0.6=2.9(\mathrm{m})$。
因为 $2.9＞2.5$,所以这辆卡车能通过此桥洞。
(2)如图②,根据题意可知 $CG=BE=2.8\ \mathrm{m}$,
$BG=OF=1.2\ \mathrm{m},EF=AD=2.3\ \mathrm{m},BF=0.5\ \mathrm{m}$,
根据勾股定理有 $OA^{2}=OB^{2}=BF^{2}+OF^{2}=0.5^{2}+1.2^{2}=1.3^{2}$,所以 $OA=1.3\ \mathrm{m}$,
所以此桥洞的宽至少应增加 $1.3× 2-2=0.6(\mathrm{m})$。
【知识点】
勾股定理；圆的性质；实际问题建模
【点评】
本题结合生活实际场景考查几何知识的应用，解题的关键是将实际通行需求转化为直角三角形的线段计算，能有效锻炼学生的数学建模能力和知识应用能力。
【难度系数】
0.7
5. 如图,已知点 M,N 是线段 AB 上的两点,AM=MN=2,NB=1,以点 A 为圆心,以 AN 的长为半径画弧;再以点 B 为圆心,以 BM 的长为半径画弧,两弧交于点 C,连接 AC,BC,则△ABC 一定是(
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等腰三角形
B
)。A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等腰三角形
答案
5. B
解析
【分析】
解题时首先需要根据已知的线段长度计算出△ABC三条边的长度，再借助勾股定理的逆定理判断三角形的形状。第一步先计算线段AB的总长度，再根据画弧的规则（半径相等）分别求出AC、BC的长度，最后验证三边的平方关系即可得出结论。
【解析】
已知AM=MN=2，NB=1：
1. 计算AB的长度：$AB = AM + MN + NB = 2+2+1=5$
2. 计算AN的长度：$AN = AM + MN = 2+2=4$，因为以A为圆心、AN为半径画弧得到点C，所以$AC=AN=4$
3. 计算BM的长度：$BM = MN + NB = 2+1=3$，因为以B为圆心、BM为半径画弧得到点C，所以$BC=BM=3$
4. 验证三边平方关系：$BC^2 + AC^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$，$AB^2 = 5^2 =25$，即$BC^2 + AC^2 = AB^2$
根据勾股定理的逆定理可知，△ABC是直角三角形。
【答案】
B
【知识点】
1. 勾股定理的逆定理
2. 圆的半径相等
3. 线段和差计算
【点评】
本题属于基础综合题，将线段计算、圆的基本性质和三角形形状判定相结合，解题的核心是准确求出三角形的三边长，再利用勾股定理逆定理判定，能较好地考查学生对基础知识点的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先需要根据已知的线段长度计算出△ABC三条边的长度，再借助勾股定理的逆定理判断三角形的形状。第一步先计算线段AB的总长度，再根据画弧的规则（半径相等）分别求出AC、BC的长度，最后验证三边的平方关系即可得出结论。
【解析】
已知AM=MN=2，NB=1：
1. 计算AB的长度：$AB = AM + MN + NB = 2+2+1=5$
2. 计算AN的长度：$AN = AM + MN = 2+2=4$，因为以A为圆心、AN为半径画弧得到点C，所以$AC=AN=4$
3. 计算BM的长度：$BM = MN + NB = 2+1=3$，因为以B为圆心、BM为半径画弧得到点C，所以$BC=BM=3$
4. 验证三边平方关系：$BC^2 + AC^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$，$AB^2 = 5^2 =25$，即$BC^2 + AC^2 = AB^2$
根据勾股定理的逆定理可知，△ABC是直角三角形。
【答案】
B
【知识点】
1. 勾股定理的逆定理
2. 圆的半径相等
3. 线段和差计算
【点评】
本题属于基础综合题，将线段计算、圆的基本性质和三角形形状判定相结合，解题的核心是准确求出三角形的三边长，再利用勾股定理逆定理判定，能较好地考查学生对基础知识点的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
6. 如图所示的一块菜地，$AD=12\ \mathrm{m},CD=9\ \mathrm{m},∠ ADC=90°,AB=39\ \mathrm{m},BC=36\ \mathrm{m},$
这块菜地的面积为________。
这块菜地的面积为________。
答案
6. $216\ \mathrm{m^2}$
解析
【分析】
本题是不规则四边形面积计算问题，解题思路如下：第一步，连接辅助线AC，将四边形分割为两个三角形；第二步，在Rt△ADC中，已知两条直角边长度，可通过勾股定理求出斜边AC的长度；第三步，已知△ABC的三边长，利用勾股定理的逆定理判断△ABC是否为直角三角形；第四步，若△ABC为直角三角形，菜地面积即为△ABC的面积减去Rt△ADC的面积，代入数值计算即可。
【解析】
连接AC，
在$Rt△ ADC$中，$∠ ADC=90°$，$AD=12\ \mathrm{m}$，$CD=9\ \mathrm{m}$，
由勾股定理得：$AC^2=AD^2+CD^2=12^2+9^2=144+81=225$，
$\therefore AC=15\ \mathrm{m}$（边长为正，舍去负根）。
在$△ ABC$中，$AC=15\ \mathrm{m}$，$BC=36\ \mathrm{m}$，$AB=39\ \mathrm{m}$，
$\because AC^2+BC^2=15^2+36^2=225+1296=1521$，$AB^2=39^2=1521$，
$\therefore AC^2+BC^2=AB^2$，根据勾股定理的逆定理可得$∠ ACB=90°$，即$△ ABC$是直角三角形。
$\therefore$ 菜地面积$S=S_{△ ABC}-S_{△ ADC}$
$=\frac{1}{2}× AC× BC - \frac{1}{2}× AD× CD$
$=\frac{1}{2}×15×36 - \frac{1}{2}×12×9$
$=270 - 54$
$=216(\mathrm{m^2})$
【答案】
$216\ \mathrm{m^2}$
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理；三角形面积计算
【点评】
本题属于几何面积计算的常规题型，解题关键是通过添加辅助线将不规则图形转化为规则的直角三角形，再结合勾股定理及其逆定理求解，需要注意判断直角三角形时要准确对应三边关系。
【难度系数】
0.7
本题是不规则四边形面积计算问题，解题思路如下：第一步，连接辅助线AC，将四边形分割为两个三角形；第二步，在Rt△ADC中，已知两条直角边长度，可通过勾股定理求出斜边AC的长度；第三步，已知△ABC的三边长，利用勾股定理的逆定理判断△ABC是否为直角三角形；第四步，若△ABC为直角三角形，菜地面积即为△ABC的面积减去Rt△ADC的面积，代入数值计算即可。
【解析】
连接AC，
在$Rt△ ADC$中，$∠ ADC=90°$，$AD=12\ \mathrm{m}$，$CD=9\ \mathrm{m}$，
由勾股定理得：$AC^2=AD^2+CD^2=12^2+9^2=144+81=225$，
$\therefore AC=15\ \mathrm{m}$（边长为正，舍去负根）。
在$△ ABC$中，$AC=15\ \mathrm{m}$，$BC=36\ \mathrm{m}$，$AB=39\ \mathrm{m}$，
$\because AC^2+BC^2=15^2+36^2=225+1296=1521$，$AB^2=39^2=1521$，
$\therefore AC^2+BC^2=AB^2$，根据勾股定理的逆定理可得$∠ ACB=90°$，即$△ ABC$是直角三角形。
$\therefore$ 菜地面积$S=S_{△ ABC}-S_{△ ADC}$
$=\frac{1}{2}× AC× BC - \frac{1}{2}× AD× CD$
$=\frac{1}{2}×15×36 - \frac{1}{2}×12×9$
$=270 - 54$
$=216(\mathrm{m^2})$
【答案】
$216\ \mathrm{m^2}$
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理；三角形面积计算
【点评】
本题属于几何面积计算的常规题型，解题关键是通过添加辅助线将不规则图形转化为规则的直角三角形，再结合勾股定理及其逆定理求解，需要注意判断直角三角形时要准确对应三边关系。
【难度系数】
0.7
7. 如图，已知在$△ ABC$中，$CD ⊥ AB$于点$D$，$AC=20$，$BC=15$，$DB=9$。
(1)求$CD$，$AB$的长；
(2)试说明$△ ABC$是直角三角形。
(1)求$CD$，$AB$的长；
(2)试说明$△ ABC$是直角三角形。
答案
7. 解:(1)因为 $CD⊥ AB$,所以$∠ CDB=90°$。
在 $\mathrm{Rt}△ CDB$ 中,$BC=15$,$BD=9$,由勾股定理可得，
$CD^{2}=15^{2}-9^{2}=144=12^{2}$,所以 $CD=12$。
在 $\mathrm{Rt}△ ADC$ 中,$AC=20$,$CD=12$,根据勾股定理可知，
$AD^{2}=20^{2}-12^{2}=256=16^{2}$,所以 $AD=16$。
所以 $AB=AD+BD=16+9=25$。
(2)因为 $AC=20$,$BC=15$,$AB=25$,
所以 $AC^{2}+BC^{2}=20^{2}+15^{2}=625$,$AB^{2}=625$,
所以 $AC^{2}+BC^{2}=AB^{2}$,
所以$△ ABC$是直角三角形,且$∠ ACB=90°$。
在 $\mathrm{Rt}△ CDB$ 中,$BC=15$,$BD=9$,由勾股定理可得，
$CD^{2}=15^{2}-9^{2}=144=12^{2}$,所以 $CD=12$。
在 $\mathrm{Rt}△ ADC$ 中,$AC=20$,$CD=12$,根据勾股定理可知，
$AD^{2}=20^{2}-12^{2}=256=16^{2}$,所以 $AD=16$。
所以 $AB=AD+BD=16+9=25$。
(2)因为 $AC=20$,$BC=15$,$AB=25$,
所以 $AC^{2}+BC^{2}=20^{2}+15^{2}=625$,$AB^{2}=625$,
所以 $AC^{2}+BC^{2}=AB^{2}$,
所以$△ ABC$是直角三角形,且$∠ ACB=90°$。
解析
【分析】
(1) 要求CD和AB的长度，首先由CD⊥AB可知△CDB和△ADC都是直角三角形，先在Rt△CDB中，已知斜边BC和直角边BD的长度，可直接用勾股定理求出CD的长；再把求得的CD长作为已知条件，在Rt△ADC中用勾股定理求出AD的长，最后根据AB=AD+BD即可求出AB的总长。
(2) 要证明△ABC是直角三角形，可利用勾股定理的逆定理，计算△ABC三边的平方，验证两条较短边的平方和是否等于最长边的平方，若相等即可判定为直角三角形。
【解析】
(1)
∵ CD⊥AB，
∴ ∠CDB=∠ADC=90°。
在Rt△CDB中，BC=15，BD=9，由勾股定理得：
$CD^2=BC^2-BD^2=15^2-9^2=225-81=144$，
∴ CD=12。
在Rt△ADC中，AC=20，CD=12，由勾股定理得：
$AD^2=AC^2-CD^2=20^2-12^2=400-144=256$，
∴ AD=16。
∴ AB=AD+BD=16+9=25。
(2) 已知AC=20，BC=15，AB=25，计算三边平方：
$AC^2+BC^2=20^2+15^2=400+225=625$，$AB^2=25^2=625$，
∴ $AC^2+BC^2=AB^2$，
根据勾股定理的逆定理可得，△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°。
【答案】
(1) $CD=12$，$AB=25$；
(2) △ABC是直角三角形，∠ACB=90°。
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理；线段和差计算
【点评】
本题是勾股定理相关的基础应用题型，解题核心是先利用勾股定理求解直角三角形的未知边长，再通过勾股定理的逆定理判定三角形形状，解题时注意定理的适用条件，计算过程要仔细避免运算错误。
【难度系数】
0.8
(1) 要求CD和AB的长度，首先由CD⊥AB可知△CDB和△ADC都是直角三角形，先在Rt△CDB中，已知斜边BC和直角边BD的长度，可直接用勾股定理求出CD的长；再把求得的CD长作为已知条件，在Rt△ADC中用勾股定理求出AD的长，最后根据AB=AD+BD即可求出AB的总长。
(2) 要证明△ABC是直角三角形，可利用勾股定理的逆定理，计算△ABC三边的平方，验证两条较短边的平方和是否等于最长边的平方，若相等即可判定为直角三角形。
【解析】
(1)
∵ CD⊥AB，
∴ ∠CDB=∠ADC=90°。
在Rt△CDB中，BC=15，BD=9，由勾股定理得：
$CD^2=BC^2-BD^2=15^2-9^2=225-81=144$，
∴ CD=12。
在Rt△ADC中，AC=20，CD=12，由勾股定理得：
$AD^2=AC^2-CD^2=20^2-12^2=400-144=256$，
∴ AD=16。
∴ AB=AD+BD=16+9=25。
(2) 已知AC=20，BC=15，AB=25，计算三边平方：
$AC^2+BC^2=20^2+15^2=400+225=625$，$AB^2=25^2=625$，
∴ $AC^2+BC^2=AB^2$，
根据勾股定理的逆定理可得，△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°。
【答案】
(1) $CD=12$，$AB=25$；
(2) △ABC是直角三角形，∠ACB=90°。
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理；线段和差计算
【点评】
本题是勾股定理相关的基础应用题型，解题核心是先利用勾股定理求解直角三角形的未知边长，再通过勾股定理的逆定理判定三角形形状，解题时注意定理的适用条件，计算过程要仔细避免运算错误。
【难度系数】
0.8
8. 如图,在动物园有两只猴子在一棵树CD上的点B处,BC=5 m,它们都要到池塘A处吃东西。猴子甲先沿树爬至树底C处,再沿CA走到离树24 m处的池塘A处。猴子乙先爬到树顶D处,再沿缆绳DA滑到A处。已知猴子甲经过的路程比猴子乙经过的路程多2 m,设BD=x m。
(1)请用含x的整式表示线段AD的长为
(2)这棵树高多少米?
(1)请用含x的整式表示线段AD的长为
(27−x)
m。(2)这棵树高多少米?
答案
8. 解:(1)$(27-x)$ 解析:因为 $BD+AD+2=BC+AC$,
即 $x+AD+2=5+24$,所以 $AD=(27-x)\ \mathrm{m}$。
(2)在 $\mathrm{Rt}△ ACD$ 中,因为 $∠ C=90°$,所以$AD^{2}=AC^{2}+DC^{2}$,即 $24^{2}+(x+5)^{2}=(27-x)^{2}$,解得 $x=2$。
所以 $CD=x+5=2+5=7(\mathrm{m})$,
所以这棵树高 7 m。
即 $x+AD+2=5+24$,所以 $AD=(27-x)\ \mathrm{m}$。
(2)在 $\mathrm{Rt}△ ACD$ 中,因为 $∠ C=90°$,所以$AD^{2}=AC^{2}+DC^{2}$,即 $24^{2}+(x+5)^{2}=(27-x)^{2}$,解得 $x=2$。
所以 $CD=x+5=2+5=7(\mathrm{m})$,
所以这棵树高 7 m。
解析
【分析】
（1）先计算猴子甲经过的总路程，再根据两只猴子的路程差求出猴子乙经过的总路程，猴子乙的路程为BD与AD的和，代入BD=x即可表示出AD的长度；（2）树高CD为BC与BD的和，即可用含x的式子表示CD，观察图形可知△ACD是直角三角形，利用勾股定理建立关于x的方程，求解x后代入CD的表达式即可求出树高。
【解析】
(1) 首先计算猴子甲经过的路程：$BC + AC = 5 + 24 = 29\ \mathrm{m}$，
已知猴子甲经过的路程比猴子乙多2m，因此猴子乙经过的路程为$29 - 2 = 27\ \mathrm{m}$，
猴子乙经过的路程为$BD + AD$，代入$BD=x\ \mathrm{m}$，可得$x + AD = 27$，
整理得$AD = (27 - x)\ \mathrm{m}$。
(2) 由题意可知，树高$CD = BC + BD = (5 + x)\ \mathrm{m}$，
$△ ACD$为直角三角形，$∠ C=90°$，根据勾股定理可得：$AD^2 = AC^2 + CD^2$，
将$AD=(27-x)\ \mathrm{m}$，$AC=24\ \mathrm{m}$，$CD=(5+x)\ \mathrm{m}$代入得：
$24^2 + (x+5)^2 = (27-x)^2$
展开计算：
$576 + x^2 + 10x + 25 = 729 - 54x + x^2$
消去两边的$x^2$，移项合并同类项得：
$64x = 128$
解得$x=2$
因此树高$CD = 5 + x = 5 + 2 = 7\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1) $\boxed{27-x}$；(2) $\boxed{7\ \mathrm{m}}$
【知识点】
勾股定理的应用；一元一次方程的应用
【点评】
本题结合生活场景考查几何与方程的结合应用，解题核心是先根据路程的数量关系表示出未知线段的长度，再利用直角三角形的勾股定理建立方程求解，计算时注意展开完全平方公式不要出错。
【难度系数】
0.7
（1）先计算猴子甲经过的总路程，再根据两只猴子的路程差求出猴子乙经过的总路程，猴子乙的路程为BD与AD的和，代入BD=x即可表示出AD的长度；（2）树高CD为BC与BD的和，即可用含x的式子表示CD，观察图形可知△ACD是直角三角形，利用勾股定理建立关于x的方程，求解x后代入CD的表达式即可求出树高。
【解析】
(1) 首先计算猴子甲经过的路程：$BC + AC = 5 + 24 = 29\ \mathrm{m}$，
已知猴子甲经过的路程比猴子乙多2m，因此猴子乙经过的路程为$29 - 2 = 27\ \mathrm{m}$，
猴子乙经过的路程为$BD + AD$，代入$BD=x\ \mathrm{m}$，可得$x + AD = 27$，
整理得$AD = (27 - x)\ \mathrm{m}$。
(2) 由题意可知，树高$CD = BC + BD = (5 + x)\ \mathrm{m}$，
$△ ACD$为直角三角形，$∠ C=90°$，根据勾股定理可得：$AD^2 = AC^2 + CD^2$，
将$AD=(27-x)\ \mathrm{m}$，$AC=24\ \mathrm{m}$，$CD=(5+x)\ \mathrm{m}$代入得：
$24^2 + (x+5)^2 = (27-x)^2$
展开计算：
$576 + x^2 + 10x + 25 = 729 - 54x + x^2$
消去两边的$x^2$，移项合并同类项得：
$64x = 128$
解得$x=2$
因此树高$CD = 5 + x = 5 + 2 = 7\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1) $\boxed{27-x}$；(2) $\boxed{7\ \mathrm{m}}$
【知识点】
勾股定理的应用；一元一次方程的应用
【点评】
本题结合生活场景考查几何与方程的结合应用，解题核心是先根据路程的数量关系表示出未知线段的长度，再利用直角三角形的勾股定理建立方程求解，计算时注意展开完全平方公式不要出错。
【难度系数】
0.7
