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9.【综合与实践】如图,在长方形纸片ABCD中,AB=3 cm,AD=9 cm,将此长方形纸片折叠,使点D与点B重合,点C落在点H的位置,折痕为EF,则△BEF的面积为(
A.6 cm²
B.12 cm²
C.$\frac{15}{2}$ cm²
D.$\frac{20}{3}$ cm²
C
)。A.6 cm²
B.12 cm²
C.$\frac{15}{2}$ cm²
D.$\frac{20}{3}$ cm²
答案
9. C
解析
【分析】
本题是长方形折叠类几何计算题，解题思路如下：第一步，利用折叠的性质得到相等的边$ED=EB$、相等的角$∠ DEF=∠ BEF$；第二步，设未知边长，在$Rt△ ABE$中运用勾股定理列方程求出$BE$的长度；第三步，结合长方形$AD// BC$的性质，推导得出$∠ BEF=∠ BFE$，利用等角对等边得到$BE=BF$，确定$△ BEF$的底边长；第四步，$△ BEF$的高等于长方形的宽$AB$，代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
解：
∵四边形$ABCD$是长方形，
∴$∠ A=90°$，$AD// BC$，$AD=9\mathrm{cm}$，$AB=3\mathrm{cm}$。
由折叠的性质可得：$ED=EB$，$∠ DEF=∠ BEF$。
设$AE=x\mathrm{cm}$，则$ED=AD-AE=(9-x)\mathrm{cm}$，
∴$BE=ED=(9-x)\mathrm{cm}$。
在$Rt△ ABE$中，由勾股定理得：
$AB^2 + AE^2 = BE^2$，即$3^2 + x^2 = (9-x)^2$，
展开得：$9 + x^2 = 81 - 18x + x^2$，
化简得：$18x=72$，解得$x=4$，
∴$BE=9-4=5\mathrm{cm}$。
∵$AD// BC$，
∴$∠ DEF=∠ BFE$，
又
∵$∠ DEF=∠ BEF$，
∴$∠ BEF=∠ BFE$，
∴$BF=BE=5\mathrm{cm}$。
∵$AB⊥ BC$，即$△ BEF$中$BF$边上的高为$AB$的长度，
∴$S_{△ BEF}=\frac{1}{2} × BF × AB = \frac{1}{2} × 5 × 3 = \frac{15}{2}\mathrm{cm}^2$。
【答案】
C
【知识点】
折叠的性质，勾股定理，平行线的性质
【点评】
本题是折叠类问题的典型考法，核心是利用折叠变换的不变性找到等量关系，结合勾股定理列方程求解边长，再通过平行线的性质推导得到三角形的底，掌握折叠的性质是解题的关键。
【难度系数】
0.6
本题是长方形折叠类几何计算题，解题思路如下：第一步，利用折叠的性质得到相等的边$ED=EB$、相等的角$∠ DEF=∠ BEF$；第二步，设未知边长，在$Rt△ ABE$中运用勾股定理列方程求出$BE$的长度；第三步，结合长方形$AD// BC$的性质，推导得出$∠ BEF=∠ BFE$，利用等角对等边得到$BE=BF$，确定$△ BEF$的底边长；第四步，$△ BEF$的高等于长方形的宽$AB$，代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
解：
∵四边形$ABCD$是长方形，
∴$∠ A=90°$，$AD// BC$，$AD=9\mathrm{cm}$，$AB=3\mathrm{cm}$。
由折叠的性质可得：$ED=EB$，$∠ DEF=∠ BEF$。
设$AE=x\mathrm{cm}$，则$ED=AD-AE=(9-x)\mathrm{cm}$，
∴$BE=ED=(9-x)\mathrm{cm}$。
在$Rt△ ABE$中，由勾股定理得：
$AB^2 + AE^2 = BE^2$，即$3^2 + x^2 = (9-x)^2$，
展开得：$9 + x^2 = 81 - 18x + x^2$，
化简得：$18x=72$，解得$x=4$，
∴$BE=9-4=5\mathrm{cm}$。
∵$AD// BC$，
∴$∠ DEF=∠ BFE$，
又
∵$∠ DEF=∠ BEF$，
∴$∠ BEF=∠ BFE$，
∴$BF=BE=5\mathrm{cm}$。
∵$AB⊥ BC$，即$△ BEF$中$BF$边上的高为$AB$的长度，
∴$S_{△ BEF}=\frac{1}{2} × BF × AB = \frac{1}{2} × 5 × 3 = \frac{15}{2}\mathrm{cm}^2$。
【答案】
C
【知识点】
折叠的性质，勾股定理，平行线的性质
【点评】
本题是折叠类问题的典型考法，核心是利用折叠变换的不变性找到等量关系，结合勾股定理列方程求解边长，再通过平行线的性质推导得到三角形的底，掌握折叠的性质是解题的关键。
【难度系数】
0.6
10. 如图，在$△ ABC$中，$AB=15$，$BC=14$，$AC=13$，求$△ ABC$的面积。
某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的思路完成解答过程。
作$AD ⊥ BC$于点$D$，设$BD = x$，用含$x$的代数式表示$CD$。→ 根据勾股定理，利用$AD$作为“桥梁”，建立方程模型求出$x$。→ 先利用勾股定理求出$AD$的长，再计算三角形的面积。
某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的思路完成解答过程。
作$AD ⊥ BC$于点$D$，设$BD = x$，用含$x$的代数式表示$CD$。→ 根据勾股定理，利用$AD$作为“桥梁”，建立方程模型求出$x$。→ 先利用勾股定理求出$AD$的长，再计算三角形的面积。
答案
10. 解:在$△ ABC$中,$AB=15$,$BC=14$,$AC=13$。
若设 $BD=x$,则 $CD=14-x$,
由勾股定理可知，
在 $\mathrm{Rt}△ ABD$ 中,$AD^{2}=AB^{2}-BD^{2}=15^{2}-x^{2}$;
在 $\mathrm{Rt}△ ACD$ 中,$AD^{2}=AC^{2}-CD^{2}=13^{2}-(14-x)^{2}$,故
$15^{2}-x^{2}=13^{2}-(14-x)^{2}$,解得$x=9$。
所以 $AD^{2}=15^{2}-9^{2}=144=12^{2}$,所以 $AD=12$。
因此 $S_{△ ABC}=\frac{1}{2}BC· AD=\frac{1}{2}×14×12=84$。
若设 $BD=x$,则 $CD=14-x$,
由勾股定理可知，
在 $\mathrm{Rt}△ ABD$ 中,$AD^{2}=AB^{2}-BD^{2}=15^{2}-x^{2}$;
在 $\mathrm{Rt}△ ACD$ 中,$AD^{2}=AC^{2}-CD^{2}=13^{2}-(14-x)^{2}$,故
$15^{2}-x^{2}=13^{2}-(14-x)^{2}$,解得$x=9$。
所以 $AD^{2}=15^{2}-9^{2}=144=12^{2}$,所以 $AD=12$。
因此 $S_{△ ABC}=\frac{1}{2}BC· AD=\frac{1}{2}×14×12=84$。
解析
【分析】
要求△ABC的面积，已知三边长度但缺少对应高，因此先作AD⊥BC构造两个直角三角形。设BD=x，则CD=BC-BD=14-x，由于AD是两个直角三角形的公共直角边，根据勾股定理可分别用含x的式子表示AD²，两个表达式相等即可建立一元一次方程，解出x的值后就能求出AD的长度，最后代入三角形面积公式即可得到结果。
【解析】
解：在△ABC中，AB=15，BC=14，AC=13，作AD⊥BC于点D。
设BD = x，则CD = BC - BD = 14 - x。
根据勾股定理：
在$\mathrm{Rt}△ ABD$ 中，$AD^{2}=AB^{2}-BD^{2}=15^{2}-x^{2}$；
在$\mathrm{Rt}△ ACD$ 中，$AD^{2}=AC^{2}-CD^{2}=13^{2}-(14-x)^{2}$。
联立可得方程：$15^{2}-x^{2}=13^{2}-(14-x)^{2}$
展开计算得：$225 - x^{2}=169-(196-28x+x^{2})$
消去同类项整理得：$28x=252$，解得$x=9$。
将$x=9$代入$AD^{2}=15^{2}-9^{2}=144$，因此$AD=12$（边长为正，舍去负根）。
所以$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}BC· AD=\frac{1}{2}×14×12=84$。
【答案】
84
【知识点】
勾股定理；三角形面积公式；一元一次方程的应用
【点评】
本题是利用勾股定理求解斜三角形面积的经典题型，通过作高将斜三角形转化为两个直角三角形，借助公共边作为等量关系建立方程，实现了几何问题向代数问题的转化，能很好地考查数形结合思想与方程思想的应用能力。
【难度系数】
0.7
要求△ABC的面积，已知三边长度但缺少对应高，因此先作AD⊥BC构造两个直角三角形。设BD=x，则CD=BC-BD=14-x，由于AD是两个直角三角形的公共直角边，根据勾股定理可分别用含x的式子表示AD²，两个表达式相等即可建立一元一次方程，解出x的值后就能求出AD的长度，最后代入三角形面积公式即可得到结果。
【解析】
解：在△ABC中，AB=15，BC=14，AC=13，作AD⊥BC于点D。
设BD = x，则CD = BC - BD = 14 - x。
根据勾股定理：
在$\mathrm{Rt}△ ABD$ 中，$AD^{2}=AB^{2}-BD^{2}=15^{2}-x^{2}$；
在$\mathrm{Rt}△ ACD$ 中，$AD^{2}=AC^{2}-CD^{2}=13^{2}-(14-x)^{2}$。
联立可得方程：$15^{2}-x^{2}=13^{2}-(14-x)^{2}$
展开计算得：$225 - x^{2}=169-(196-28x+x^{2})$
消去同类项整理得：$28x=252$，解得$x=9$。
将$x=9$代入$AD^{2}=15^{2}-9^{2}=144$，因此$AD=12$（边长为正，舍去负根）。
所以$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}BC· AD=\frac{1}{2}×14×12=84$。
【答案】
84
【知识点】
勾股定理；三角形面积公式；一元一次方程的应用
【点评】
本题是利用勾股定理求解斜三角形面积的经典题型，通过作高将斜三角形转化为两个直角三角形，借助公共边作为等量关系建立方程，实现了几何问题向代数问题的转化，能很好地考查数形结合思想与方程思想的应用能力。
【难度系数】
0.7
11. 如图, 在 $Rt△ ABC$ 中, $∠ ACB = 90°$, $AB=5\ \mathrm{cm}, AC=3\ \mathrm{cm}$, 动点 $P$ 从点 $B$ 出发沿射线 $BC$ 以 $1\ \mathrm{cm/s}$ 的速度移动, 设运动的时间为 $t\ \mathrm{s}$。
(1) 求 $BC$ 边的长；
(2) 当 $△ ABP$ 为直角三角形时, 求 $t$ 的值。
(备用图)
(1) 求 $BC$ 边的长；
(2) 当 $△ ABP$ 为直角三角形时, 求 $t$ 的值。
(备用图)
答案
11. 解:(1)在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中,由勾股定理，
得 $BC^{2}=AB^{2}-AC^{2}=5^{2}-3^{2}=16$,所以 $BC=4\ \mathrm{cm}$。
(2)由题意,得 $BP=t\ \mathrm{cm}$,分两种情况讨论：
①当$∠ APB=90°$时,如图①所示,点 P 与点 C 重合，
所以 $BP=BC=4\ \mathrm{cm}$,所以 $t=4$。
②当$∠ BAP=90°$时,如图②所示，
则 $CP=(t-4)\mathrm{cm}$,$∠ ACP=90°$。
在 $\mathrm{Rt}△ ACP$ 中,由勾股定理,得 $AP^{2}=AC^{2}+CP^{2}$;
在 $\mathrm{Rt}△ ABP$ 中,由勾股定理,得 $AP^{2}=BP^{2}-AB^{2}$,
所以 $AC^{2}+CP^{2}=BP^{2}-AB^{2}$,
即 $3^{2}+(t-4)^{2}=t^{2}-5^{2}$,解得 $t=\frac{25}{4}$。
综上所述,当$△ ABP$为直角三角形时,$t$的值为4或$\frac{25}{4}$。
解析
【分析】
(1) 第一问是直角三角形已知两边求第三边，直接运用勾股定理即可求解，属于基础应用。(2) 第二问中△ABP为直角三角形，未指明直角顶点，因此需分类讨论：①当∠APB为直角时，结合AC⊥BC的条件，可知此时P与C重合，直接由BP的长度即可求出t；②当∠BAP为直角时，P在C的右侧，分别在Rt△ACP和Rt△ABP中用勾股定理表示AP²，建立关于t的方程求解即可，注意不要漏解。
【解析】
(1) 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，由勾股定理得：
$BC^{2}=AB^{2}-AC^{2}=5^{2}-3^{2}=16$，
因此$BC=4\ \mathrm{cm}$。
(2) 由题意得$BP=t\ \mathrm{cm}$，分两种情况讨论：
① 当$∠ APB=90°$时，如图①所示，点P与点C重合，故$BP=BC=4\ \mathrm{cm}$，因此$t=4$。
② 当$∠ BAP=90°$时，如图②所示，此时$CP=(t-4)\mathrm{cm}$，$∠ ACP=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ ACP$中，由勾股定理得$AP^{2}=AC^{2}+CP^{2}$；
在$\mathrm{Rt}△ ABP$中，由勾股定理得$AP^{2}=BP^{2}-AB^{2}$；
联立得$3^{2}+(t-4)^{2}=t^{2}-5^{2}$，
展开计算得$9+t^2-8t+16=t^2-25$，
化简解得$t=\frac{25}{4}$。
综上，当$△ ABP$为直角三角形时，$t$的值为4或$\frac{25}{4}$。
【答案】
(1) $BC=4\ \mathrm{cm}$；
(2) $t$的值为$\boldsymbol{4}$或$\boldsymbol{\frac{25}{4}}$。
【知识点】
勾股定理；分类讨论思想；动点问题求解
【点评】
本题主要考查勾股定理的应用，解题的关键是对直角三角形的直角顶点进行分类讨论，避免漏解，通过勾股定理建立等量关系列方程是处理动点类几何问题的常用方法。
【难度系数】
0.7
(1) 第一问是直角三角形已知两边求第三边，直接运用勾股定理即可求解，属于基础应用。(2) 第二问中△ABP为直角三角形，未指明直角顶点，因此需分类讨论：①当∠APB为直角时，结合AC⊥BC的条件，可知此时P与C重合，直接由BP的长度即可求出t；②当∠BAP为直角时，P在C的右侧，分别在Rt△ACP和Rt△ABP中用勾股定理表示AP²，建立关于t的方程求解即可，注意不要漏解。
【解析】
(1) 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，由勾股定理得：
$BC^{2}=AB^{2}-AC^{2}=5^{2}-3^{2}=16$，
因此$BC=4\ \mathrm{cm}$。
(2) 由题意得$BP=t\ \mathrm{cm}$，分两种情况讨论：
① 当$∠ APB=90°$时，如图①所示，点P与点C重合，故$BP=BC=4\ \mathrm{cm}$，因此$t=4$。
② 当$∠ BAP=90°$时，如图②所示，此时$CP=(t-4)\mathrm{cm}$，$∠ ACP=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ ACP$中，由勾股定理得$AP^{2}=AC^{2}+CP^{2}$；
在$\mathrm{Rt}△ ABP$中，由勾股定理得$AP^{2}=BP^{2}-AB^{2}$；
联立得$3^{2}+(t-4)^{2}=t^{2}-5^{2}$，
展开计算得$9+t^2-8t+16=t^2-25$，
化简解得$t=\frac{25}{4}$。
综上，当$△ ABP$为直角三角形时，$t$的值为4或$\frac{25}{4}$。
【答案】
(1) $BC=4\ \mathrm{cm}$；
(2) $t$的值为$\boldsymbol{4}$或$\boldsymbol{\frac{25}{4}}$。
【知识点】
勾股定理；分类讨论思想；动点问题求解
【点评】
本题主要考查勾股定理的应用，解题的关键是对直角三角形的直角顶点进行分类讨论，避免漏解，通过勾股定理建立等量关系列方程是处理动点类几何问题的常用方法。
【难度系数】
0.7
