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|过程性学习 已知平面上两点$A,B$,则所有符合$\frac{PA}{PB}=k(k＞0$且$k≠1)$的点$P$会组成一个圆.这个结论最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现,称阿氏圆.
如图①,在平面直角坐标系中,在$x$轴,$y$轴上分别有点$C(m,0),D(0,n)$,点$P$是平面内一动点,且$OP=r$,设$\frac{OP}{OD}=k$,求$PC+kPD$的最小值.
下面是该题的解答过程(部分):
解:在$OD$上取点$M$,使得$OM:OP=OP:OD=k$,又$\because ∠POD=∠MOP,\therefore △POM∽△DOP$.
(1)将以上解答过程补充完整;
(2)如图②,在$Rt△ABC$中,$∠ACB=90°,AC=4,BC=3$,$D$为$△ABC$内一动点,满足$CD=2$,利用(1)中的结论,请直接写出$AD+\frac{2}{3}BD$的最小值.
如图①,在平面直角坐标系中,在$x$轴,$y$轴上分别有点$C(m,0),D(0,n)$,点$P$是平面内一动点,且$OP=r$,设$\frac{OP}{OD}=k$,求$PC+kPD$的最小值.
下面是该题的解答过程(部分):
解:在$OD$上取点$M$,使得$OM:OP=OP:OD=k$,又$\because ∠POD=∠MOP,\therefore △POM∽△DOP$.
(1)将以上解答过程补充完整;
(2)如图②,在$Rt△ABC$中,$∠ACB=90°,AC=4,BC=3$,$D$为$△ABC$内一动点,满足$CD=2$,利用(1)中的结论,请直接写出$AD+\frac{2}{3}BD$的最小值.
答案
(1)$\therefore MP: PD=k,\therefore MP=kPD,\therefore PC+kPD=PC+MP$,当$PC+kPD$取最小值时,$PC+MP$有最小值,即$C,P,M$三点共线时有最小值,利用勾股定理得最小值为$\sqrt{OC^2+OM^2} = \sqrt{m^2+(kr)^2} = \sqrt{m^2+k^2 r^2}$.
(2)$\frac{4 \sqrt{10}}{3}$ 解析:在$CB$上取一点$M$,使得$CM = \frac{2}{3}CD,\frac{CM}{CD}=\frac{CD}{BC}=\frac{2}{3}$,又$\because ∠DCM = ∠BCD,\therefore △ DCM ∽ △ BCD,\therefore \frac{DM}{BD}=\frac{CM}{CD}=\frac{2}{3}$,
$\therefore AD+\frac{2}{3}BD = AD+DM$,当$A,D,M$三点共线时有最小值,$CM = \frac{2}{3}CD=\frac{4}{3}$,$\therefore AD+\frac{2}{3}BD$的最小值为$AM=\sqrt{4^2 + (\frac{4}{3})^2}=\frac{4 \sqrt{10}}{3}$.
(2)$\frac{4 \sqrt{10}}{3}$ 解析:在$CB$上取一点$M$,使得$CM = \frac{2}{3}CD,\frac{CM}{CD}=\frac{CD}{BC}=\frac{2}{3}$,又$\because ∠DCM = ∠BCD,\therefore △ DCM ∽ △ BCD,\therefore \frac{DM}{BD}=\frac{CM}{CD}=\frac{2}{3}$,
$\therefore AD+\frac{2}{3}BD = AD+DM$,当$A,D,M$三点共线时有最小值,$CM = \frac{2}{3}CD=\frac{4}{3}$,$\therefore AD+\frac{2}{3}BD$的最小值为$AM=\sqrt{4^2 + (\frac{4}{3})^2}=\frac{4 \sqrt{10}}{3}$.
解析
【分析】
(1) 求$PC+kPD$的最小值时，结合题目给出的相似三角形构造思路，可先利用相似性质将带系数的$kPD$转化为等长线段，再根据两点之间线段最短的原理，确定三点共线时取最小值，最后用勾股定理计算线段长度即可。
(2) 属于(1)的方法迁移应用，仿照(1)的构造思路，在$CB$上取合适的点构造相似三角形，将$\frac{2}{3}BD$转化为等长线段，再通过三点共线确定折线段最小值，最后用勾股定理求解即可。
【解析】
(1) 已知$△ POM ∽ △ DOP$，根据相似三角形对应边成比例可得：
$\frac{MP}{PD}=\frac{OP}{OD}=k$，即$MP=kPD$。
因此$PC+kPD=PC+MP$，根据两点之间线段最短，当$C$、$P$、$M$三点共线时，$PC+MP$取得最小值，最小值为线段$CM$的长度。
由题意得$OC=m$，$\frac{OM}{OP}=k$，$OP=r$，故$OM=kr$，又$∠ COM=90°$，由勾股定理得：
$CM=\sqrt{OC^2+OM^2}=\sqrt{m^2+(kr)^2}=\sqrt{m^2+k^2r^2}$。
(2) 在$CB$上取点$M$，使得$\frac{CM}{CD}=\frac{CD}{BC}=\frac{2}{3}$。
$\because ∠ DCM=∠ BCD$，且两边对应成比例，$\therefore △ DCM ∽ △ BCD$，
$\therefore \frac{DM}{BD}=\frac{CM}{CD}=\frac{2}{3}$，即$DM=\frac{2}{3}BD$，
则$AD+\frac{2}{3}BD=AD+DM$，当$A$、$D$、$M$三点共线时，$AD+DM$取得最小值，最小值为线段$AM$的长度。
计算得$CM=\frac{2}{3}CD=\frac{2}{3}×2=\frac{4}{3}$，$\because ∠ ACB=90°$，$AC=4$，
由勾股定理得：$AM=\sqrt{AC^2+CM^2}=\sqrt{4^2+(\frac{4}{3})^2}=\frac{4\sqrt{10}}{3}$。
【答案】
(1) $\sqrt{m^2+k^2r^2}$；(2) $\frac{4\sqrt{10}}{3}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质，两点之间线段最短，勾股定理
【点评】
本题是阿氏圆的典型应用题型，解题核心是通过构造两边成比例且夹角相等的相似三角形，将带系数的线段等效转化，把折线段最值问题转化为两点之间线段最短的问题，掌握相似三角形的构造方法是解题的关键。
【难度系数】
0.5
(1) 求$PC+kPD$的最小值时，结合题目给出的相似三角形构造思路，可先利用相似性质将带系数的$kPD$转化为等长线段，再根据两点之间线段最短的原理，确定三点共线时取最小值，最后用勾股定理计算线段长度即可。
(2) 属于(1)的方法迁移应用，仿照(1)的构造思路，在$CB$上取合适的点构造相似三角形，将$\frac{2}{3}BD$转化为等长线段，再通过三点共线确定折线段最小值，最后用勾股定理求解即可。
【解析】
(1) 已知$△ POM ∽ △ DOP$，根据相似三角形对应边成比例可得：
$\frac{MP}{PD}=\frac{OP}{OD}=k$，即$MP=kPD$。
因此$PC+kPD=PC+MP$，根据两点之间线段最短，当$C$、$P$、$M$三点共线时，$PC+MP$取得最小值，最小值为线段$CM$的长度。
由题意得$OC=m$，$\frac{OM}{OP}=k$，$OP=r$，故$OM=kr$，又$∠ COM=90°$，由勾股定理得：
$CM=\sqrt{OC^2+OM^2}=\sqrt{m^2+(kr)^2}=\sqrt{m^2+k^2r^2}$。
(2) 在$CB$上取点$M$，使得$\frac{CM}{CD}=\frac{CD}{BC}=\frac{2}{3}$。
$\because ∠ DCM=∠ BCD$，且两边对应成比例，$\therefore △ DCM ∽ △ BCD$，
$\therefore \frac{DM}{BD}=\frac{CM}{CD}=\frac{2}{3}$，即$DM=\frac{2}{3}BD$，
则$AD+\frac{2}{3}BD=AD+DM$，当$A$、$D$、$M$三点共线时，$AD+DM$取得最小值，最小值为线段$AM$的长度。
计算得$CM=\frac{2}{3}CD=\frac{2}{3}×2=\frac{4}{3}$，$\because ∠ ACB=90°$，$AC=4$，
由勾股定理得：$AM=\sqrt{AC^2+CM^2}=\sqrt{4^2+(\frac{4}{3})^2}=\frac{4\sqrt{10}}{3}$。
【答案】
(1) $\sqrt{m^2+k^2r^2}$；(2) $\frac{4\sqrt{10}}{3}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质，两点之间线段最短，勾股定理
【点评】
本题是阿氏圆的典型应用题型，解题核心是通过构造两边成比例且夹角相等的相似三角形，将带系数的线段等效转化，把折线段最值问题转化为两点之间线段最短的问题，掌握相似三角形的构造方法是解题的关键。
【难度系数】
0.5
