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1. ★★★ (2025·平顶山期中)某数学兴趣小组在学习相似多边形时,三位同学分别将边长为4,6,6的等腰三角形、边长为4的正方形和长、宽分别为6,4的矩形按如图所示的方式向外扩张,各得到一个新图形,它们的对应边间距均为1,则画出的三组图形中,新图形和旧图形是相似多边形的有 (
A.0组
B.1组
C.2组
D.3组
(第1题)
C
)A.0组
B.1组
C.2组
D.3组
(第1题)答案
1. C
解析
【分析】
要判断新图形和旧图形是否为相似多边形，需牢记相似多边形的两个判定条件：①对应角相等；②对应边成比例，二者缺一不可。接下来我们逐个分析三组图形：首先看等腰三角形，向外扩张时各边平行移动，对应角必然相等，三角形满足角对应相等即可判定相似；再看正方形，扩张后仍然是正方形，对应角都是直角，只需验证对应边是否成比例即可；最后看矩形，对应角都是直角，需要验证扩张前后长宽比是否一致，若不一致则不相似。
【解析】
根据相似多边形的判定规则：对应角相等且对应边成比例的多边形为相似多边形，逐一分析：
1. 等腰三角形组：原三角形各边向外平移1个单位得到新三角形，对应边互相平行，同位角相等，因此两个三角形的三个内角对应相等，根据相似三角形的AA判定定理，二者相似。
2. 正方形组：原正方形边长为4，向外扩张后新正方形的边长为$4+1×2=6$。两个图形都是正方形，所有对应角均为$90°$（相等），对应边的比为$4:6=2:3$（成比例），因此二者相似。
3. 矩形组：原矩形长为6、宽为4，向外扩张后新矩形的长为$6+1×2=8$，宽为$4+1×2=6$。原矩形长宽比为$6:4=3:2$，新矩形长宽比为$8:6=4:3$，两个比例不相等，对应边不成比例，因此二者不相似。
综上，相似的共有2组。
【答案】
C
【知识点】
相似多边形判定；相似三角形判定；图形平移性质
【点评】
本题重点考查相似多边形的判定，解题时要注意不能仅通过对应角相等就判定多边形相似，还需验证对应边是否成比例，矩形、菱形等特殊多边形尤其要注意两个判定条件同时满足才能判定相似。
【难度系数】
0.7
要判断新图形和旧图形是否为相似多边形，需牢记相似多边形的两个判定条件：①对应角相等；②对应边成比例，二者缺一不可。接下来我们逐个分析三组图形：首先看等腰三角形，向外扩张时各边平行移动，对应角必然相等，三角形满足角对应相等即可判定相似；再看正方形，扩张后仍然是正方形，对应角都是直角，只需验证对应边是否成比例即可；最后看矩形，对应角都是直角，需要验证扩张前后长宽比是否一致，若不一致则不相似。
【解析】
根据相似多边形的判定规则：对应角相等且对应边成比例的多边形为相似多边形，逐一分析：
1. 等腰三角形组：原三角形各边向外平移1个单位得到新三角形，对应边互相平行，同位角相等，因此两个三角形的三个内角对应相等，根据相似三角形的AA判定定理，二者相似。
2. 正方形组：原正方形边长为4，向外扩张后新正方形的边长为$4+1×2=6$。两个图形都是正方形，所有对应角均为$90°$（相等），对应边的比为$4:6=2:3$（成比例），因此二者相似。
3. 矩形组：原矩形长为6、宽为4，向外扩张后新矩形的长为$6+1×2=8$，宽为$4+1×2=6$。原矩形长宽比为$6:4=3:2$，新矩形长宽比为$8:6=4:3$，两个比例不相等，对应边不成比例，因此二者不相似。
综上，相似的共有2组。
【答案】
C
【知识点】
相似多边形判定；相似三角形判定；图形平移性质
【点评】
本题重点考查相似多边形的判定，解题时要注意不能仅通过对应角相等就判定多边形相似，还需验证对应边是否成比例，矩形、菱形等特殊多边形尤其要注意两个判定条件同时满足才能判定相似。
【难度系数】
0.7
2. 如图，矩形ABCD∽矩形FAHG，连结BD，延长GH分别交BD，BC于点I，J，延长CD，FG交于点E，一定能求出△BIJ面积的条件是（
A.矩形ABJH和矩形HJCD的面积之差
B.矩形ABJH和矩形HDEG的面积之差
C.矩形ABCD和矩形AHGF的面积之差
D.矩形FBJG和矩形GJCE的面积之差
B
）A.矩形ABJH和矩形HJCD的面积之差
B.矩形ABJH和矩形HDEG的面积之差
C.矩形ABCD和矩形AHGF的面积之差
D.矩形FBJG和矩形GJCE的面积之差
答案
2. B
解析
【分析】
要解决本题，我们可以先设参数表示两个相似矩形的边长，结合相似多边形对应边成比例的性质推导出△BIJ的面积表达式，再计算各选项对应的矩形面积差，对比找到与△BIJ面积直接相关的条件即可。
【解析】
设矩形ABCD的长$BC=a$，宽$AB=b$，矩形$FAHG$与矩形$ABCD$的相似比为$k$，由相似多边形对应边成比例可得：$AH=ka$，$AF=kb$。
1. 推导$△ BIJ$的面积：
$\because GJ⊥ BC$，$\therefore BJ=AH=ka$，且$IJ// CD$。
$\because IJ// CD$，$\therefore △ BIJ ∽ △ BDC$，相似比为$\frac{BJ}{BC}=\frac{ka}{a}=k$。
$\therefore \frac{IJ}{CD}=k$，即$IJ=k· CD=kb$。
$△ BIJ$是直角三角形，直角在$J$点，因此：
$S_{△ BIJ}=\frac{1}{2}× BJ× IJ=\frac{1}{2}× ka× kb=\frac{1}{2}k^2ab$。
2. 验证选项B：
矩形$ABJH$的面积：$S_1=AB× BJ=b× ka=kab$。
矩形$HDEG$的邻边$HD=AD-AH=a-ka$，$DE=AF=kb$，因此其面积：
$S_2=HD× DE=(a-ka)× kb=kab-k^2ab$。
两者的面积差为：$S_1-S_2=kab-(kab-k^2ab)=k^2ab=2S_{△ BIJ}$。
因此只要知道该面积差，就可直接求出$S_{△ BIJ}=\frac{1}{2}(S_1-S_2)$，其余选项的面积差均无法推导得到$k^2ab$，不符合要求。
【答案】
B
【知识点】
相似多边形的性质，矩形的性质，三角形面积计算
【点评】
本题采用设参数的方法将未知面积用参数表示，结合相似性质建立不同面积间的数量关系，解题核心是正确利用相似多边形对应边成比例的性质，找到阴影面积和矩形面积差的关联。
【难度系数】
0.6
要解决本题，我们可以先设参数表示两个相似矩形的边长，结合相似多边形对应边成比例的性质推导出△BIJ的面积表达式，再计算各选项对应的矩形面积差，对比找到与△BIJ面积直接相关的条件即可。
【解析】
设矩形ABCD的长$BC=a$，宽$AB=b$，矩形$FAHG$与矩形$ABCD$的相似比为$k$，由相似多边形对应边成比例可得：$AH=ka$，$AF=kb$。
1. 推导$△ BIJ$的面积：
$\because GJ⊥ BC$，$\therefore BJ=AH=ka$，且$IJ// CD$。
$\because IJ// CD$，$\therefore △ BIJ ∽ △ BDC$，相似比为$\frac{BJ}{BC}=\frac{ka}{a}=k$。
$\therefore \frac{IJ}{CD}=k$，即$IJ=k· CD=kb$。
$△ BIJ$是直角三角形，直角在$J$点，因此：
$S_{△ BIJ}=\frac{1}{2}× BJ× IJ=\frac{1}{2}× ka× kb=\frac{1}{2}k^2ab$。
2. 验证选项B：
矩形$ABJH$的面积：$S_1=AB× BJ=b× ka=kab$。
矩形$HDEG$的邻边$HD=AD-AH=a-ka$，$DE=AF=kb$，因此其面积：
$S_2=HD× DE=(a-ka)× kb=kab-k^2ab$。
两者的面积差为：$S_1-S_2=kab-(kab-k^2ab)=k^2ab=2S_{△ BIJ}$。
因此只要知道该面积差，就可直接求出$S_{△ BIJ}=\frac{1}{2}(S_1-S_2)$，其余选项的面积差均无法推导得到$k^2ab$，不符合要求。
【答案】
B
【知识点】
相似多边形的性质，矩形的性质，三角形面积计算
【点评】
本题采用设参数的方法将未知面积用参数表示，结合相似性质建立不同面积间的数量关系，解题核心是正确利用相似多边形对应边成比例的性质，找到阴影面积和矩形面积差的关联。
【难度系数】
0.6
3. ★★ 如图，把一个矩形分割成四个全等的小矩形，要使小矩形与原矩形相似，则原矩形的长与宽之比为
2:1
。答案
3. 2:1
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以先设出原矩形的长和宽，再结合分割方式表示出小矩形的长和宽，最后根据相似多边形对应边成比例的性质列等式，求解原矩形长宽的比值即可，解题时要注意对应边的对应关系，避免比例列错。
【解析】
设原矩形的长为$ x $，宽为$ y $（$ x＞0,y＞0 $）。
由分割方式可知，每个全等的小矩形的长为$ y $，宽为$ \frac{x}{4} $。
因为小矩形与原矩形相似，根据相似多边形对应边成比例，可得：
$\frac{x}{y}=\frac{y}{\frac{x}{4}}$
整理等式得：$ x^2=4y^2 $
由于边长为正数，对等式两边开方得$ x=2y $，因此$ x:y=2:1 $。
【答案】
$ 2:1 $
【知识点】
1.相似多边形的性质
2.比例的运算
【点评】
本题考查相似多边形性质的应用，解题的核心是准确找到大小矩形的对应边，正确列出比例式求解，注意边长均为正数，最终比值取正值即可。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，我们可以先设出原矩形的长和宽，再结合分割方式表示出小矩形的长和宽，最后根据相似多边形对应边成比例的性质列等式，求解原矩形长宽的比值即可，解题时要注意对应边的对应关系，避免比例列错。
【解析】
设原矩形的长为$ x $，宽为$ y $（$ x＞0,y＞0 $）。
由分割方式可知，每个全等的小矩形的长为$ y $，宽为$ \frac{x}{4} $。
因为小矩形与原矩形相似，根据相似多边形对应边成比例，可得：
$\frac{x}{y}=\frac{y}{\frac{x}{4}}$
整理等式得：$ x^2=4y^2 $
由于边长为正数，对等式两边开方得$ x=2y $，因此$ x:y=2:1 $。
【答案】
$ 2:1 $
【知识点】
1.相似多边形的性质
2.比例的运算
【点评】
本题考查相似多边形性质的应用，解题的核心是准确找到大小矩形的对应边，正确列出比例式求解，注意边长均为正数，最终比值取正值即可。
【难度系数】
0.7
4. ★★★(2025·太原月考)如图,矩形ABCD的边AB=4,点E,F分别在边BC,AD上,且四边形ABEF为正方形.若矩形CDFE与矩形ABCD相似,则$\dot{AD}$的长为
2+2√5
.答案
4. 2+2√5
解析
【分析】
设AD的长为x，首先根据正方形ABEF的性质可得AF=AB=4，进而得到FD=x-4、CD=AB=4；再利用相似多边形对应边成比例的性质，列出关于x的比例式，解一元二次方程后舍去不符合实际意义的负根，即可求出AD的长度，解题时需注意正确匹配相似矩形的对应边，避免列错比例式。
【解析】
设AD的长为x。
∵四边形ABEF是正方形，AB=4，
∴AF=AB=4，且矩形对边相等，故CD=AB=4，
∴FD=AD - AF = x - 4。
∵矩形CDFE与矩形ABCD相似，
∴对应边成比例，可得$\frac{CD}{AD}=\frac{FD}{AB}$，
将已知数值代入得：$\frac{4}{x}=\frac{x-4}{4}$，
交叉相乘整理得：$x^2-4x-16=0$，
由求根公式解得：$x=\frac{4±\sqrt{(-4)^2-4×1×(-16)}}{2}=2±2\sqrt{5}$，
∵线段长度为正数，故舍去$x=2-2\sqrt{5}$，
∴$x=2+2\sqrt{5}$。
【答案】
$2+2\sqrt{5}$
【知识点】
相似多边形的性质；正方形的性质；一元二次方程的解法
【点评】
本题是相似多边形性质的典型应用，解题核心是准确找到相似矩形的对应边列出比例式，求解后注意结合实际意义舍去负根，是代数与几何结合的基础题型。
【难度系数】
0.6
设AD的长为x，首先根据正方形ABEF的性质可得AF=AB=4，进而得到FD=x-4、CD=AB=4；再利用相似多边形对应边成比例的性质，列出关于x的比例式，解一元二次方程后舍去不符合实际意义的负根，即可求出AD的长度，解题时需注意正确匹配相似矩形的对应边，避免列错比例式。
【解析】
设AD的长为x。
∵四边形ABEF是正方形，AB=4，
∴AF=AB=4，且矩形对边相等，故CD=AB=4，
∴FD=AD - AF = x - 4。
∵矩形CDFE与矩形ABCD相似，
∴对应边成比例，可得$\frac{CD}{AD}=\frac{FD}{AB}$，
将已知数值代入得：$\frac{4}{x}=\frac{x-4}{4}$，
交叉相乘整理得：$x^2-4x-16=0$，
由求根公式解得：$x=\frac{4±\sqrt{(-4)^2-4×1×(-16)}}{2}=2±2\sqrt{5}$，
∵线段长度为正数，故舍去$x=2-2\sqrt{5}$，
∴$x=2+2\sqrt{5}$。
【答案】
$2+2\sqrt{5}$
【知识点】
相似多边形的性质；正方形的性质；一元二次方程的解法
【点评】
本题是相似多边形性质的典型应用，解题核心是准确找到相似矩形的对应边列出比例式，求解后注意结合实际意义舍去负根，是代数与几何结合的基础题型。
【难度系数】
0.6
5. 根据相似多边形的定义,我们把四个角分别相等,四条边对应成比例的两个凸四边形叫作相似四边形.相似四边形对应边的比叫作相似比.如图,在四边形ABCD和四边形$A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$中,$∠ ABC=∠ A_{1}B_{1}C_{1}$,$∠ BCD=∠ B_{1}C_{1}D_{1}$,$\frac{AB}{A_{1}B_{1}}=\frac{BC}{B_{1}C_{1}}=\frac{CD}{C_{1}D_{1}}$,求证:四边形ABCD与四边形$A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$相似.
答案
5. 分别连结 BD, B₁ D₁,
∵ ∠BCD = ∠B₁C₁D₁, 且$\frac{BC}{B_{1}C_{1}}=\frac{CD}{C_{1}D_{1}}$,
∴ △BCD∽△B₁C₁D₁,
∴ ∠CDB = ∠C₁D₁B₁, ∠C₁B₁D₁ = ∠CBD,
$\frac{BD}{B_{1}D_{1}}=\frac{BC}{B_{1}C_{1}}=\frac{CD}{C_{1}D_{1}}$,
∴ $\frac{BD}{B_{1}D_{1}}=\frac{AB}{A_{1}B_{1}}$.
∵ ∠ABC = ∠A₁B₁C₁,
∴ ∠ABD =
∠A₁B₁D₁,
∴ △ABD∽△A₁B₁D₁,
∴ $\frac{AD}{A_{1}D_{1}}=\frac{AB}{A_{1}B_{1}}$, ∠A = ∠A₁, ∠ADB =
∠A₁D₁B₁,
∴ $\frac{AB}{A_{1}B_{1}}=\frac{BC}{B_{1}C_{1}}=\frac{CD}{C_{1}D_{1}}=\frac{AD}{A_{1}D_{1}}$, ∠ADC = ∠A₁D₁C₁, ∠A =
∠A₁, ∠ABC = ∠A₁B₁C₁, ∠BCD = ∠B₁C₁D₁,
∴ 四边形 ABCD 与四边形A₁B₁C₁D₁相似.
∵ ∠BCD = ∠B₁C₁D₁, 且$\frac{BC}{B_{1}C_{1}}=\frac{CD}{C_{1}D_{1}}$,
∴ △BCD∽△B₁C₁D₁,
∴ ∠CDB = ∠C₁D₁B₁, ∠C₁B₁D₁ = ∠CBD,
$\frac{BD}{B_{1}D_{1}}=\frac{BC}{B_{1}C_{1}}=\frac{CD}{C_{1}D_{1}}$,
∴ $\frac{BD}{B_{1}D_{1}}=\frac{AB}{A_{1}B_{1}}$.
∵ ∠ABC = ∠A₁B₁C₁,
∴ ∠ABD =
∠A₁B₁D₁,
∴ △ABD∽△A₁B₁D₁,
∴ $\frac{AD}{A_{1}D_{1}}=\frac{AB}{A_{1}B_{1}}$, ∠A = ∠A₁, ∠ADB =
∠A₁D₁B₁,
∴ $\frac{AB}{A_{1}B_{1}}=\frac{BC}{B_{1}C_{1}}=\frac{CD}{C_{1}D_{1}}=\frac{AD}{A_{1}D_{1}}$, ∠ADC = ∠A₁D₁C₁, ∠A =
∠A₁, ∠ABC = ∠A₁B₁C₁, ∠BCD = ∠B₁C₁D₁,
∴ 四边形 ABCD 与四边形A₁B₁C₁D₁相似.
解析
【分析】
要证明两个四边形相似，根据相似四边形的定义，需要验证四个角对应相等、四条边对应成比例。题目已给出两组角相等、三组边对应成比例，因此我们可以通过连接对角线将四边形拆分为两个三角形，先证明对应的三角形相似，再利用相似三角形的性质推导剩余的角相等和边成比例的关系：首先连接BD、B₁D₁，先证△BCD∽△B₁C₁D₁，得到BD与B₁D₁的比等于已知的边的比，同时得到对应角相等，进而推出∠ABD=∠A₁B₁D₁，再证△ABD∽△A₁B₁D₁，即可得到剩余的边的比例关系和角的相等关系，最终满足相似四边形的判定条件。
【解析】
分别连结 BD, B₁ D₁,
∵ ∠BCD = ∠B₁C₁D₁, 且$\frac{BC}{B_{1}C_{1}}=\frac{CD}{C_{1}D_{1}}$,
∴ △BCD∽△B₁C₁D₁,
∴ ∠CDB = ∠C₁D₁B₁, ∠C₁B₁D₁ = ∠CBD,
$\frac{BD}{B_{1}D_{1}}=\frac{BC}{B_{1}C_{1}}=\frac{CD}{C_{1}D_{1}}$,
∴ $\frac{BD}{B_{1}D_{1}}=\frac{AB}{A_{1}B_{1}}$.
∵ ∠ABC = ∠A₁B₁C₁,
∴ ∠ABD = ∠A₁B₁D₁,
∴ △ABD∽△A₁B₁D₁,
∴ $\frac{AD}{A_{1}D_{1}}=\frac{AB}{A_{1}B_{1}}$, ∠A = ∠A₁, ∠ADB = ∠A₁D₁B₁,
∴ $\frac{AB}{A_{1}B_{1}}=\frac{BC}{B_{1}C_{1}}=\frac{CD}{C_{1}D_{1}}=\frac{AD}{A_{1}D_{1}}$, ∠ADC = ∠A₁D₁C₁, ∠A = ∠A₁, ∠ABC = ∠A₁B₁C₁, ∠BCD = ∠B₁C₁D₁,
∴ 四边形ABCD与四边形A₁B₁C₁D₁相似。
【答案】
四边形ABCD与四边形$A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$相似，得证。
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质、相似四边形的定义
【点评】
本题考查多边形相似的证明，核心解题思路是通过添加辅助线将四边形问题转化为熟悉的三角形相似问题来解决，体现了化归的数学思想，解题的关键是利用已知条件构造出符合相似判定条件的三角形，逐步推导出相似四边形需要满足的全部条件。
【难度系数】
0.6
要证明两个四边形相似，根据相似四边形的定义，需要验证四个角对应相等、四条边对应成比例。题目已给出两组角相等、三组边对应成比例，因此我们可以通过连接对角线将四边形拆分为两个三角形，先证明对应的三角形相似，再利用相似三角形的性质推导剩余的角相等和边成比例的关系：首先连接BD、B₁D₁，先证△BCD∽△B₁C₁D₁，得到BD与B₁D₁的比等于已知的边的比，同时得到对应角相等，进而推出∠ABD=∠A₁B₁D₁，再证△ABD∽△A₁B₁D₁，即可得到剩余的边的比例关系和角的相等关系，最终满足相似四边形的判定条件。
【解析】
分别连结 BD, B₁ D₁,
∵ ∠BCD = ∠B₁C₁D₁, 且$\frac{BC}{B_{1}C_{1}}=\frac{CD}{C_{1}D_{1}}$,
∴ △BCD∽△B₁C₁D₁,
∴ ∠CDB = ∠C₁D₁B₁, ∠C₁B₁D₁ = ∠CBD,
$\frac{BD}{B_{1}D_{1}}=\frac{BC}{B_{1}C_{1}}=\frac{CD}{C_{1}D_{1}}$,
∴ $\frac{BD}{B_{1}D_{1}}=\frac{AB}{A_{1}B_{1}}$.
∵ ∠ABC = ∠A₁B₁C₁,
∴ ∠ABD = ∠A₁B₁D₁,
∴ △ABD∽△A₁B₁D₁,
∴ $\frac{AD}{A_{1}D_{1}}=\frac{AB}{A_{1}B_{1}}$, ∠A = ∠A₁, ∠ADB = ∠A₁D₁B₁,
∴ $\frac{AB}{A_{1}B_{1}}=\frac{BC}{B_{1}C_{1}}=\frac{CD}{C_{1}D_{1}}=\frac{AD}{A_{1}D_{1}}$, ∠ADC = ∠A₁D₁C₁, ∠A = ∠A₁, ∠ABC = ∠A₁B₁C₁, ∠BCD = ∠B₁C₁D₁,
∴ 四边形ABCD与四边形A₁B₁C₁D₁相似。
【答案】
四边形ABCD与四边形$A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$相似，得证。
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质、相似四边形的定义
【点评】
本题考查多边形相似的证明，核心解题思路是通过添加辅助线将四边形问题转化为熟悉的三角形相似问题来解决，体现了化归的数学思想，解题的关键是利用已知条件构造出符合相似判定条件的三角形，逐步推导出相似四边形需要满足的全部条件。
【难度系数】
0.6
6. 如图,点 E 是菱形 ABCD 对角线 CA 的延长线上任意一点,以线段 AE 为边作一个菱形 AEFG,且菱形 AEFG 与菱形 ABCD 相似,连结 EB,GD.
(1)求证:EB=GD;
(2)若∠DAB=60°,AB=2,AG=√3,求 GD 的长.
(1)求证:EB=GD;
(2)若∠DAB=60°,AB=2,AG=√3,求 GD 的长.
答案
6. (1)
∵ 菱形 AEFG 和菱形 ABCD 相似,
∴ ∠EAG = ∠BAD,
∴ ∠EAG+∠GAB = ∠BAD+∠GAB,
∴ ∠EAB = ∠GAD.
∵ AE=AG,AB=AD,
∴ △AEB≌△AGD,
∴ EB = GD.
(2) 如图,连结 BD 交 AC 于点 P,则 BP ⊥ AC.
∵ ∠DAB = 60°,
∴ ∠PAB=30°,
∴ $BP=\frac{1}{2}AB=1$,$AP=\sqrt{AB^2-BP^2}=\sqrt{3}$.
∵ AE=AG=
$\sqrt{3}$,
∴ EP = 2√3 ,
∴ EB = $\sqrt{EP^2+BP^2} = \sqrt{(2\sqrt{3})^2+1^2} = \sqrt{13}$,
∴ GD = $\sqrt{13}$.
解析
【分析】
(1) 要证明EB=GD，可通过证明两条线段所在的三角形全等实现。首先利用相似菱形的对应角相等，推导得出∠EAB=∠GAD，再结合菱形邻边相等的性质，即可通过SAS判定△AEB≌△AGD，从而得到EB=GD的结论。
(2) 由(1)可知GD=EB，因此只需计算EB的长度即可。根据菱形对角线互相垂直的性质，连接BD交AC于点P，可得BP⊥AC；结合∠DAB=60°的条件，可在Rt△ABP中利用30°直角三角形的性质和勾股定理求出BP、AP的长度，再结合已知AG的长度得到EP的长度，最后在Rt△EBP中用勾股定理求出EB，即为GD的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵ 菱形AEFG和菱形ABCD相似，
∴ ∠EAG = ∠BAD，
∴ ∠EAG + ∠GAB = ∠BAD + ∠GAB，即∠EAB = ∠GAD。
∵ 菱形的四条边相等，
∴ AE=AG，AB=AD，
在△AEB和△AGD中：
$\begin{cases} AE=AG \\ ∠ EAB=∠ GAD \\ AB=AD \end{cases}$
∴ $△ AEB ≌ △ AGD$（SAS），
∴ EB = GD。
(2) 解：
如图，连结BD交AC于点P，根据菱形对角线互相垂直的性质，可得BP⊥AC。
∵ ∠DAB = 60°，AC平分∠DAB，
∴ ∠PAB = 30°，
∴ $BP=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2} × 2 = 1$，
由勾股定理得：$AP=\sqrt{AB^2 - BP^2}=\sqrt{2^2 - 1^2}=\sqrt{3}$。
∵ 菱形AEFG中AE=AG=$\sqrt{3}$，
∴ $EP = EA + AP = \sqrt{3} + \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$，
在Rt△EBP中，由勾股定理得：
$EB = \sqrt{EP^2 + BP^2} = \sqrt{(2\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{13}$，
由(1)知EB=GD，故$GD=\sqrt{13}$。
【答案】
(1) 证明如上，EB=GD成立；
(2) $\boxed{\sqrt{13}}$
【知识点】
菱形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题综合了相似多边形、菱形、全等三角形、勾股定理的知识点，第一问通过角的和差转化得到全等所需的等角是解题突破口，第二问借助菱形对角线垂直的性质构造直角三角形，利用第一问的结论转化所求线段，体现了几何问题中常用的转化思想，对基础知识点的综合运用能力有一定考查。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明EB=GD，可通过证明两条线段所在的三角形全等实现。首先利用相似菱形的对应角相等，推导得出∠EAB=∠GAD，再结合菱形邻边相等的性质，即可通过SAS判定△AEB≌△AGD，从而得到EB=GD的结论。
(2) 由(1)可知GD=EB，因此只需计算EB的长度即可。根据菱形对角线互相垂直的性质，连接BD交AC于点P，可得BP⊥AC；结合∠DAB=60°的条件，可在Rt△ABP中利用30°直角三角形的性质和勾股定理求出BP、AP的长度，再结合已知AG的长度得到EP的长度，最后在Rt△EBP中用勾股定理求出EB，即为GD的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵ 菱形AEFG和菱形ABCD相似，
∴ ∠EAG = ∠BAD，
∴ ∠EAG + ∠GAB = ∠BAD + ∠GAB，即∠EAB = ∠GAD。
∵ 菱形的四条边相等，
∴ AE=AG，AB=AD，
在△AEB和△AGD中：
$\begin{cases} AE=AG \\ ∠ EAB=∠ GAD \\ AB=AD \end{cases}$
∴ $△ AEB ≌ △ AGD$（SAS），
∴ EB = GD。
(2) 解：
如图，连结BD交AC于点P，根据菱形对角线互相垂直的性质，可得BP⊥AC。
∵ ∠DAB = 60°，AC平分∠DAB，
∴ ∠PAB = 30°，
∴ $BP=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2} × 2 = 1$，
由勾股定理得：$AP=\sqrt{AB^2 - BP^2}=\sqrt{2^2 - 1^2}=\sqrt{3}$。
∵ 菱形AEFG中AE=AG=$\sqrt{3}$，
∴ $EP = EA + AP = \sqrt{3} + \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$，
在Rt△EBP中，由勾股定理得：
$EB = \sqrt{EP^2 + BP^2} = \sqrt{(2\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{13}$，
由(1)知EB=GD，故$GD=\sqrt{13}$。
【答案】
(1) 证明如上，EB=GD成立；
(2) $\boxed{\sqrt{13}}$
【知识点】
菱形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题综合了相似多边形、菱形、全等三角形、勾股定理的知识点，第一问通过角的和差转化得到全等所需的等角是解题突破口，第二问借助菱形对角线垂直的性质构造直角三角形，利用第一问的结论转化所求线段，体现了几何问题中常用的转化思想，对基础知识点的综合运用能力有一定考查。
【难度系数】
0.7
