【问题探究】(1)如图①,AB是$\odot O$的弦,直线$l$与圆$O$相交于$M,N$两点,$M_1,M_2$是直线$l$上异于点$M,N$的两个点,则$∠ AMB$$∠ AM_1B$(用＞,＜或=连结);

(1)＜ 解析:如图①,延长AM₁交⊙O于E,连结BE,
∵ ∠AM₁B是△BEM₁的外角,
∴ ∠AM₁B＞∠AEB.
∵ ∠AEB=∠AMB,
∴ ∠AMB＜∠AM₁B.

【分析】
要比较∠AMB和∠AM₁B的大小，首先观察到点M在⊙O上，∠AMB是弧AB所对的圆周角，点M₁在圆外，没有直接定理可直接比较两个角的大小，因此考虑构造辅助线建立两个角的关联：延长AM₁交⊙O于点E，连接BE，此时∠AEB与∠AMB是同弧AB所对的圆周角，二者相等，再利用三角形外角的性质，即可推出两个待比较角的大小关系。
【解析】
如图①，延长AM₁交⊙O于点E，连接BE。
∵ ∠AM₁B是△BEM₁的外角，根据三角形外角的性质，三角形的外角大于任意一个和它不相邻的内角，
∴ ∠AM₁B＞∠AEB。
又
∵ ∠AEB和∠AMB都是弧AB所对的圆周角，根据圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，
∴ ∠AEB=∠AMB，
∴ ∠AMB＜∠AM₁B。
【答案】
＜
【知识点】
圆周角定理；三角形外角的性质
【点评】
本题是最大张角（米勒问题）的基础探究题，通过构造辅助线实现角的转化，将未知的角大小比较问题转化为已学的圆周角、三角形外角性质的应用，解题的核心是合理构造辅助线建立两个待比较角的关联。
【难度系数】
0.8

(2)如图②,AB是$\odot O$的弦,直线$l$与$\odot O$相切于点$M$,点$M_1$是直线$l$上异于点$M$的任意一点,请在图②中画出图形,试判断$∠ AMB,∠ AM_1B$的大小关系,并证明;
【解决问题】(3)某游乐园的平面图如图③所示,场所保卫人员想在线段$OD$上的点$M$处安装监控装置,用来监控$OC$边上的$AB$段,为了让监控效果达到最佳,必须要求$∠ AMB$最大.已知$∠ DOC=60°$,$OA=400\ \mathrm{m},AB=200\sqrt{3}\ \mathrm{m}$,问在线段$OD$上是否存在一点$M$,使得$∠ AMB$最大,若存在,请求出此时$OM$的长和$∠ AMB$的度数,如果不存在,请说明理由.

(2)画出图形如图②所示.∠AMB＞∠AM₁B,证明:在l上任取一点M₁异于点M,连结AM₁,BM₁,AM₁与⊙O交于点F,连结BF,
∵ ∠AFB是△FBM₁的外角,
∴ ∠AFB＞∠AM₁B.
∵ ∠AMB=∠AFB,
∴ ∠AMB＞∠AM₁B.
(3)存在，当经过点A,点B的⊙T与OD相切于点M时,∠AMB的值最大,作TH⊥OC于点H,交OD于点Q,连结TA,TB,OT,TM.设TM=TA=TB=r,
∵ TA=TB,TH⊥AB,
∴ AH=HB=100√3 m.
∵ ∠OHQ=90°,∠COD=60°,
∴ ∠OQH=30°,OH=OA+AH=(400+100√3) m,
∴ QH=√3 OH=(400√3+300) m,
∴ MQ=√3 r, TQ=2MT = 2r.
∵ TH = √(AT²-AH²) = √(r²-(100√3)²) ,
∴ 2r + √(r²-(100√3)²) =400√3 +300,整理得3r²-(1 600√3 +1 200)r+600 000+240 000√3 = 0,
∴ (r-200√3)(3r-1 000√3 -1 200)=0,
∴ r₁=200√3 ,r₂=$\frac{1\ 000\sqrt{3}+1\ 200}{3}$(舍去),
∴ AT=200√3 m,MQ=600 m,
∴ AT=2AH,
∴ ∠ATH=30°,∠ATB=2 ∠ATH = 60°,
∴ ∠AMB = $\frac{1}{2}$∠ATB= 30°.
∵ TH ⊥ OH, ∠DOC = 60°,
∴ Rt△OHQ 中, OQ = 2(OA+AH) = (800+200√3) m,
∴ OM = OQ-MQ = 800+200√3 -600 = (200+200√3) m.

【分析】
(2) 要比较∠AMB和∠AM₁B的大小，可通过构造辅助线结合圆周角性质、三角形外角性质推导：先将M₁A与圆的交点和B连接，得到同弧AB所对的圆周角∠AFB=∠AMB，再利用三角形外角大于任意一个不相邻内角得到∠AFB＞∠AM₁B，即可推出两角大小关系。
(3) 本题属于最大张角（米勒）问题，核心规律是：过A、B两点的圆与OD相切于M时，∠AMB最大。构造辅助线后设圆的半径为r，结合等腰三角形三线合一、含30°直角三角形的性质、勾股定理列方程求解半径，再进一步计算OM长度和∠AMB的度数即可。
【解析】
(2) 图形绘制如图②所示，∠AMB＞∠AM₁B，证明如下：
在直线l上任取异于M的点M₁，连接AM₁、BM₁，设AM₁与⊙O交于点F，连接BF。
∵ ∠AFB是△FBM₁的外角，
∴ ∠AFB＞∠AM₁B（三角形外角大于任意一个不相邻的内角）。
∵ ∠AMB和∠AFB都是弧AB所对的圆周角，
∴ ∠AMB=∠AFB，
∴ ∠AMB＞∠AM₁B。
(3) 存在符合条件的点M，求解过程如下：
当经过A、B的⊙T与OD相切于点M时，∠AMB的值最大。
作TH⊥OC于点H，交OD于点Q，连接TA、TB、OT、TM，设TM=TA=TB=r。
∵ TA=TB，TH⊥AB，
∴ AH=HB=$\frac{1}{2}$AB=$100\sqrt{3}\ \mathrm{m}$，
∴ OH=OA+AH=$400+100\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
∵ ∠OHQ=90°，∠COD=60°，
∴ ∠OQH=30°，
∴ QH=$\sqrt{3}OH=\sqrt{3}×(400+100\sqrt{3})=400\sqrt{3}+300\ \mathrm{m}$，
∵ TM⊥OD（切线垂直于过切点的半径），在Rt△QTM中，∠TQM=30°，
∴ TQ=2TM=2r，MQ=$\sqrt{3}TM=\sqrt{3}r$。
在Rt△ATH中，由勾股定理得：$TH=\sqrt{AT^2-AH^2}=\sqrt{r^2-(100\sqrt{3})^2}$。
∵ QH=QT+TH，
∴ $2r + \sqrt{r^2-(100\sqrt{3})^2} = 400\sqrt{3} + 300$，
整理得：$3r^2-(1600\sqrt{3}+1200)r + 600000+240000\sqrt{3}=0$，
因式分解得：$(r-200\sqrt{3})(3r-1000\sqrt{3}-1200)=0$，
解得$r_1=200\sqrt{3}$，$r_2=\frac{1000\sqrt{3}+1200}{3}$（不符合题意，舍去）。
∴ $AT=200\sqrt{3}\ \mathrm{m}$，$MQ=\sqrt{3}r=600\ \mathrm{m}$，
∵ $AT=200\sqrt{3}=2AH$，
∴ 在Rt△ATH中，∠ATH=30°，
∴ ∠ATB=2∠ATH=60°，
∴ $∠ AMB=\frac{1}{2}∠ ATB=30°$（同弧所对圆周角是圆心角的一半）。
在Rt△OHQ中，∠OQH=30°，
∴ $OQ=2OH=2×(400+100\sqrt{3})=800+200\sqrt{3}\ \mathrm{m}$，
∴ $OM=OQ-MQ=800+200\sqrt{3} - 600=200+200\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
【答案】
(2) $∠ AMB＞∠ AM_1B$，证明见解析；
(3) 存在，OM的长为$(200+200\sqrt{3})\ \mathrm{m}$，$∠ AMB$的度数为$30°$。

【知识点】
圆周角定理，切线的性质，解直角三角形
【点评】
本题结合圆的性质与实际应用考查隐圆中的最大张角问题，第(2)问是最大张角结论的推导，需灵活运用三角形外角性质和圆周角定理；第(3)问是结论的实际应用，解题关键是明确过两点的圆与直线相切时张角最大，再结合勾股定理、特殊直角三角形的性质计算即可，对几何辅助线构造能力和计算能力有一定要求。
【难度系数】
0.4