过程性学习 圆幂定理是平面几何中最重要的定理之一,它包含了相交弦定理、切割线定理、割线定理以及它们的推论,下面是切割线定理证明的开头:
已知:如图①,点 P 为$\odot O$外一点,切线 PA 与圆相切于点 A,割线 PBC 与圆相交于点 B,C.
求证:$PA^2 = PB · PC$.
证明:如图②,连结 AB,AC,BO,AO,$\because PA$切$\odot O$于点 A,$\therefore PA ⊥ AO$,即$∠ PAB + ∠ BAO = 90°$.
阅读以上材料,完成下列问题:
(1)补充完成上面的证明过程;
(2)如图③,割线 PDE 与$\odot O$交于点 D,E,且$PB=BC=4,PE=7$,求 DE 的长.

(1) 连结 AB,AC,BO,AO,$\because PA$切$\odot O$于点 A,$\therefore PA ⊥ AO$,即$∠ PAB+ ∠ BAO = 90°. \because OA = OB, \therefore ∠ OAB = ∠ OBA. \because ∠ OAB+∠ OBA+∠ O=180°, \therefore 2∠ OAB+∠ O=180°, \therefore ∠ OAB+\frac{1}{2}∠ O=90°,$
$\therefore ∠ PAB=\frac{1}{2}∠ O. \because ∠ C=\frac{1}{2}∠ O, \therefore ∠ PAB=∠ C. 又\because ∠ P=∠ P,$
$\therefore △ PAB ∽ △ PCA, \therefore \frac{PA}{PC}=\frac{PB}{PA}, \therefore PA^2 = PB · PC.$
(2) 由(1)可知$PA^2 = PB · PC$,同理$PA^2 = PD · PE, \therefore PB · PC = PD · PE, \therefore PD = \frac{PB · PC}{PE} = \frac{4×(4+4)}{7} = \frac{32}{7}, \therefore DE = PE - PD = 7 - \frac{32}{7} = \frac{17}{7},$
$\therefore DE的长为\frac{17}{7}.$

【分析】
(1) 要证明$PA^2=PB·PC$，可转化为证明$\frac{PA}{PC}=\frac{PB}{PA}$，即证$△ PAB ∽ △ PCA$。首先利用切线的性质得到垂直关系，再结合等腰三角形内角和、圆周角定理推导角相等，结合公共角即可证明三角形相似，进而得到比例式变形得证。
(2) 根据第一问得到的切割线定理，可知同一点引出的两条割线满足$PB·PC=PD·PE$，代入已知数值先求出$PD$，再用$PE$减去$PD$即可得到$DE$的长度。
【解析】
(1) 证明：
$\because OA=OB$，$\therefore ∠OAB=∠OBA$，
$\because ∠OAB+∠OBA+∠O=180°$，$\therefore 2∠OAB+∠O=180°$，即$∠OAB+\frac{1}{2}∠O=90°$，
结合$∠PAB+∠BAO=90°$，可得$∠PAB=\frac{1}{2}∠O$，
$\because ∠C$是弧$AB$对应的圆周角，$∠O$是弧$AB$对应的圆心角，$\therefore ∠C=\frac{1}{2}∠O$，
$\therefore ∠PAB=∠C$，
又$\because ∠P=∠P$，$\therefore △ PAB ∽ △ PCA$，
$\therefore \frac{PA}{PC}=\frac{PB}{PA}$，即$PA^2=PB·PC$。
(2) 解：由切割线定理可得$PA^2=PB·PC$，同理$PA^2=PD·PE$，因此$PB·PC=PD·PE$，
已知$PB=BC=4$，则$PC=PB+BC=8$，$PE=7$，代入得：
$PD=\frac{PB·PC}{PE}=\frac{4×8}{7}=\frac{32}{7}$，
$\therefore DE=PE-PD=7-\frac{32}{7}=\frac{17}{7}$。
【答案】
(1) 证明过程见上述解析；
(2) $\frac{17}{7}$
【知识点】
切线的性质，相似三角形的判定与性质，割线定理
【点评】
本题是圆与相似结合的典型题目，既考查了切割线定理的推导逻辑，又考查了圆幂定理的应用，解题核心是通过角的等量代换证明相似，再利用比例关系计算线段长度，有助于理解圆幂定理的本质。
【难度系数】
0.7