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6. ★★★ 如图，小红晚上在一条笔直的小路上由A处径直走到B处，小路的正中间有一盏路灯，那么小红在灯光照射下的影长l与她行走的路程s之间的变化关系用图象刻画出来大致是 (
B
)答案
6. B
解析
【分析】
要判断影长l和行走路程s的函数图象，需分两段分析变化规律：①小红从A处走到路灯正下方的过程：随着路程s增加，她距离路灯越来越近，根据中心投影的特点，影长l会逐渐缩短，走到路灯正下方时影长为0；②小红从路灯正下方走到B处的过程：随着路程s继续增加，她距离路灯越来越远，影长l会逐渐变长。同时注意s=0时（还未出发，在A点），影长l是正数，结合这两个阶段的变化趋势匹配图象即可。
【解析】
我们分两个阶段分析影长l的变化：
1. 从A处行走到路灯正下方：行走路程s逐渐增大，人与路灯的水平距离逐渐减小，由中心投影的影长规律可知，影长l随s的增大逐渐减小，当人走到路灯正下方时，影长l=0。
2. 从路灯正下方行走到B处：行走路程s继续增大，人与路灯的水平距离逐渐增大，影长l随s的增大逐渐变大。
因此l随s的变化趋势为：先减小到0，再增大，且初始时刻s=0时l＞0，只有B选项的图象符合该规律。
【答案】
B
【知识点】
中心投影；函数图象识别
【点评】
本题结合生活场景考查投影相关知识，解题时需分段分析影长的变化趋势，同时要注意初始位置的影长不为0，避免误选从原点出发的A选项。
【难度系数】
0.7
要判断影长l和行走路程s的函数图象，需分两段分析变化规律：①小红从A处走到路灯正下方的过程：随着路程s增加，她距离路灯越来越近，根据中心投影的特点，影长l会逐渐缩短，走到路灯正下方时影长为0；②小红从路灯正下方走到B处的过程：随着路程s继续增加，她距离路灯越来越远，影长l会逐渐变长。同时注意s=0时（还未出发，在A点），影长l是正数，结合这两个阶段的变化趋势匹配图象即可。
【解析】
我们分两个阶段分析影长l的变化：
1. 从A处行走到路灯正下方：行走路程s逐渐增大，人与路灯的水平距离逐渐减小，由中心投影的影长规律可知，影长l随s的增大逐渐减小，当人走到路灯正下方时，影长l=0。
2. 从路灯正下方行走到B处：行走路程s继续增大，人与路灯的水平距离逐渐增大，影长l随s的增大逐渐变大。
因此l随s的变化趋势为：先减小到0，再增大，且初始时刻s=0时l＞0，只有B选项的图象符合该规律。
【答案】
B
【知识点】
中心投影；函数图象识别
【点评】
本题结合生活场景考查投影相关知识，解题时需分段分析影长的变化趋势，同时要注意初始位置的影长不为0，避免误选从原点出发的A选项。
【难度系数】
0.7
7. 如图,正方形纸板的一条对角线垂直于地面,纸板上方的灯(看作一个点)与这条对角线所确定的平面垂直于纸板,在灯光照射下,正方形纸板在地面上形成的影子的形状可以是 (
D
) 答案
7. D
解析
【分析】
这道题是中心投影的实际应用问题，解题思路如下：第一步先明确投影类型，灯光是点光源，对应中心投影，区别于平行投影的平行光线；第二步结合题目给出的几何位置关系：正方形一条对角线垂直地面（竖直放置），灯与这条对角线确定的平面垂直纸板，说明影子是轴对称图形，对称轴对应竖直对角线的投影；第三步利用中心投影“离点光源越近，相同长度的物体投影越大”的规律，判断正方形上端离光源更近，上端的横向投影宽度大于下端，最终确定影子形状。
【解析】
解：①首先判断投影类型：灯光属于点光源，所形成的投影为中心投影，其特点是离点光源越近的物体部分，投影放大比例越大。
②分析几何约束：正方形的一条对角线垂直于地面，即该对角线为竖直方向；灯与这条竖直对角线确定的平面垂直于纸板，因此正方形关于该竖直平面对称，其在地面的影子也为轴对称图形，可排除矩形B选项。
③结合中心投影规律分析：灯在纸板上方，正方形上端离点光源更近，上端的横向长度投影后会比下端更长，因此影子为上宽下窄的轴对称图形。A为正菱形、C为上下等宽的菱形，均不符合上宽下窄的特点，只有D符合要求。
【答案】
D
【知识点】
中心投影，正方形的性质，投影规律
【点评】
本题重点考察中心投影的特点，需要结合物体的空间摆放位置分析投影形状，易错点是混淆中心投影与平行投影的差异，误将中心投影当作平行投影选择上下对称的C选项。
【难度系数】
0.6
这道题是中心投影的实际应用问题，解题思路如下：第一步先明确投影类型，灯光是点光源，对应中心投影，区别于平行投影的平行光线；第二步结合题目给出的几何位置关系：正方形一条对角线垂直地面（竖直放置），灯与这条对角线确定的平面垂直纸板，说明影子是轴对称图形，对称轴对应竖直对角线的投影；第三步利用中心投影“离点光源越近，相同长度的物体投影越大”的规律，判断正方形上端离光源更近，上端的横向投影宽度大于下端，最终确定影子形状。
【解析】
解：①首先判断投影类型：灯光属于点光源，所形成的投影为中心投影，其特点是离点光源越近的物体部分，投影放大比例越大。
②分析几何约束：正方形的一条对角线垂直于地面，即该对角线为竖直方向；灯与这条竖直对角线确定的平面垂直于纸板，因此正方形关于该竖直平面对称，其在地面的影子也为轴对称图形，可排除矩形B选项。
③结合中心投影规律分析：灯在纸板上方，正方形上端离点光源更近，上端的横向长度投影后会比下端更长，因此影子为上宽下窄的轴对称图形。A为正菱形、C为上下等宽的菱形，均不符合上宽下窄的特点，只有D符合要求。
【答案】
D
【知识点】
中心投影，正方形的性质，投影规律
【点评】
本题重点考察中心投影的特点，需要结合物体的空间摆放位置分析投影形状，易错点是混淆中心投影与平行投影的差异，误将中心投影当作平行投影选择上下对称的C选项。
【难度系数】
0.6
8. (2025·深圳期中)如图①,路灯AB与路灯CD都与地面垂直,且相距18米,路灯AB的高度比路灯CD的高度低1.6米.夜晚,身高为1.6米的小明以1.5米/秒的速度从路灯AB走向路灯CD,行走时间为t秒.当行走2秒时,他走到了P处,此时发现身后影子顶部正好触到路灯AB的底部(点B).如图②,在行走过程中,小明在路灯AB下的影子为FM,在路灯CD下的影子为FN.
(1)求路灯CD的高度.
(2)当t=4秒时,求影子FN的长.
(3)常言道:形影不离.其原意为:人的影子与自己紧密相伴,无法分离.
①从路灯AB走向路灯CD的过程中,两路灯下的影子总长MN=
②小明发现:在灯光下人的速度与影子的速度是不一样的,小明在路灯CD下的影子的顶端N在地面上移动的速度为
(1)求路灯CD的高度.
(2)当t=4秒时,求影子FN的长.
(3)常言道:形影不离.其原意为:人的影子与自己紧密相伴,无法分离.
①从路灯AB走向路灯CD的过程中,两路灯下的影子总长MN=
$\frac{144+3t}{40}$米
(用含t的代数式表示);②小明发现:在灯光下人的速度与影子的速度是不一样的,小明在路灯CD下的影子的顶端N在地面上移动的速度为
1.8
米/秒.答案
8. (1)由题意,可知 BP=3 米,BD=18 米,PQ=1.6 米,$\because PQ⊥BD$,$CD⊥BD$,$\therefore PQ// CD$,$\therefore ∠BPQ=∠BDC=90°$,又$\because ∠PBQ=∠DBC$,$\therefore △BPQ∽△BDC$,$\therefore \frac{BP}{BD}=\frac{QP}{CD}$,$\therefore \frac{3}{18}=\frac{1.6}{CD}$,$\therefore CD=9.6$米.答:路灯 CD 的高度为 9.6 米.
(2)$\because t=4$,$\therefore BF=1.5×4=6$(米).$\because BD=18$米,$CD=9.6$米,$\therefore AB=9.6-1.6=8$(米),$FD=18-6=12$(米).$\because EF⊥BD$,$CD⊥BD$,$\therefore EF// CD$,$\therefore ∠NFE=∠NDC=90°$,又$\because ∠FNE=∠DNC$,$\therefore △NFE∽△NDC$,$\therefore \frac{FN}{ND}=\frac{EF}{CD}$,$\therefore \frac{FN}{FN+FD}=\frac{FE}{CD}$,$\therefore \frac{FN}{FN+12}=\frac{1.6}{9.6}$,$\therefore FN=\frac{12}{5}$米.答:FN 的长是$\frac{12}{5}$米.
(3)①$\frac{144+3t}{40}$米 解析:由(1)(2)得$\frac{MF}{MB}=\frac{EF}{AB}=\frac{1}{5}$,$\frac{NF}{ND}=\frac{EF}{CD}=\frac{1}{6}$,当运动 t 秒后,$BF=\frac{3}{2}t$米,则$FD=(18-\frac{3}{2}t)$米.设$NF=a$米,$FM=b$米,则$\frac{a}{a+18-\frac{3}{2}t}=\frac{1}{6}$,解得$a=\frac{18}{5}-\frac{3t}{10}$;$\frac{b}{b+\frac{3}{2}t}=\frac{1}{5}$,解得$b=\frac{3t}{8}$.$MN=a+b=\frac{18}{5}-\frac{3t}{10}+\frac{3t}{8}=\frac{144+3t}{40}$米.故答案为$\frac{144+3t}{40}$米.
②1.8 解析:由题意可知,影子的顶端 N 在地面上移动的距离是 BN,$BN=BF-FN=\frac{3}{2}t-(\frac{18}{5}-\frac{3t}{10})=(1.8t-3.6)$米,当$t=m$秒时,$BN=(1.8m-3.6)$米,当$t=(m+1)$秒时,$BN=1.8(m+1)-3.6=(1.8m-1.8)$米,
∴1 秒时间内 N 移动的距离为$1.8m-1.8-(1.8m-3.6)=1.8$(米),
∴影子的顶端 N 在地面上移动的速度是 1.8 米/秒.
(2)$\because t=4$,$\therefore BF=1.5×4=6$(米).$\because BD=18$米,$CD=9.6$米,$\therefore AB=9.6-1.6=8$(米),$FD=18-6=12$(米).$\because EF⊥BD$,$CD⊥BD$,$\therefore EF// CD$,$\therefore ∠NFE=∠NDC=90°$,又$\because ∠FNE=∠DNC$,$\therefore △NFE∽△NDC$,$\therefore \frac{FN}{ND}=\frac{EF}{CD}$,$\therefore \frac{FN}{FN+FD}=\frac{FE}{CD}$,$\therefore \frac{FN}{FN+12}=\frac{1.6}{9.6}$,$\therefore FN=\frac{12}{5}$米.答:FN 的长是$\frac{12}{5}$米.
(3)①$\frac{144+3t}{40}$米 解析:由(1)(2)得$\frac{MF}{MB}=\frac{EF}{AB}=\frac{1}{5}$,$\frac{NF}{ND}=\frac{EF}{CD}=\frac{1}{6}$,当运动 t 秒后,$BF=\frac{3}{2}t$米,则$FD=(18-\frac{3}{2}t)$米.设$NF=a$米,$FM=b$米,则$\frac{a}{a+18-\frac{3}{2}t}=\frac{1}{6}$,解得$a=\frac{18}{5}-\frac{3t}{10}$;$\frac{b}{b+\frac{3}{2}t}=\frac{1}{5}$,解得$b=\frac{3t}{8}$.$MN=a+b=\frac{18}{5}-\frac{3t}{10}+\frac{3t}{8}=\frac{144+3t}{40}$米.故答案为$\frac{144+3t}{40}$米.
②1.8 解析:由题意可知,影子的顶端 N 在地面上移动的距离是 BN,$BN=BF-FN=\frac{3}{2}t-(\frac{18}{5}-\frac{3t}{10})=(1.8t-3.6)$米,当$t=m$秒时,$BN=(1.8m-3.6)$米,当$t=(m+1)$秒时,$BN=1.8(m+1)-3.6=(1.8m-1.8)$米,
∴1 秒时间内 N 移动的距离为$1.8m-1.8-(1.8m-3.6)=1.8$(米),
∴影子的顶端 N 在地面上移动的速度是 1.8 米/秒.
解析
【分析】
(1) 求路灯CD的高度时，先根据小明的行走速度和时间算出BP的长度，再由PQ、CD均垂直地面得到PQ//CD，推出△BPQ∽△BDC，利用相似三角形对应边成比例即可求解。
(2) 当t=4秒时，先计算小明到B点的距离BF，再得到FD的长度，由EF//CD推出△NFE∽△NDC，根据相似比列方程即可求出FN的长度。
(3) ① 先分别用t表示出BF、FD的长度，再结合两个相似三角形的比例关系，用t分别表示出FM、FN的长度，两者相加即为MN的长度；② 先求出影子顶端N到点B的距离关于t的表达式，计算单位时间内该距离的变化量，即可得到影子顶端的移动速度。
【解析】
(1) 由题意得：小明行走速度为1.5米/秒，行走2秒到P处，因此$BP=1.5×2=3$米，已知$BD=18$米，小明身高$PQ=1.6$米。
∵$PQ⊥BD$，$CD⊥BD$，
∴$PQ// CD$，
∴$∠BPQ=∠BDC=90°$，又
∵$∠PBQ=∠DBC$（公共角），
∴$△ BPQ ∽ △ BDC$。
∴$\frac{BP}{BD}=\frac{QP}{CD}$，代入数据得$\frac{3}{18}=\frac{1.6}{CD}$，解得$CD=9.6$米。
(2) 当$t=4$时，$BF=1.5×4=6$米，
∵路灯AB的高度比CD低1.6米，
∴$AB=9.6-1.6=8$米，$FD=BD-BF=18-6=12$米。
∵$EF⊥BD$，$CD⊥BD$，
∴$EF// CD$，
∴$∠NFE=∠NDC=90°$，又
∵$∠FNE=∠DNC$（公共角），
∴$△ NFE ∽ △ NDC$。
∴$\frac{FN}{ND}=\frac{EF}{CD}$，其中$ND=FN+FD$，代入得$\frac{FN}{FN+12}=\frac{1.6}{9.6}$，解得$FN=\frac{12}{5}$米。
(3) ① 由(1)(2)可得：$\frac{MF}{MB}=\frac{EF}{AB}=\frac{1.6}{8}=\frac{1}{5}$，$\frac{NF}{ND}=\frac{EF}{CD}=\frac{1.6}{9.6}=\frac{1}{6}$。
运动t秒后，$BF=1.5t=\frac{3}{2}t$米，$FD=18-\frac{3}{2}t$米。
设$NF=a$米，$FM=b$米，
对$△ NEF$和$△ NCD$：$\frac{a}{a+(18-\frac{3}{2}t)}=\frac{1}{6}$，解得$a=\frac{18}{5}-\frac{3t}{10}$；
对$△ MEF$和$△ MAB$：$\frac{b}{b+\frac{3}{2}t}=\frac{1}{5}$，解得$b=\frac{3t}{8}$。
∴$MN=a+b=\frac{18}{5}-\frac{3t}{10}+\frac{3t}{8}=\frac{144+3t}{40}$米。
② 影子顶端N到B点的距离$BN=BF-FN=\frac{3}{2}t-(\frac{18}{5}-\frac{3t}{10})=1.8t-3.6$。
设$t=m$秒时，$BN_1=1.8m-3.6$；$t=m+1$秒时，$BN_2=1.8(m+1)-3.6=1.8m-1.8$。
1秒内N移动的距离为$BN_2-BN_1=1.8$米，因此影子顶端N的移动速度为1.8米/秒。
【答案】
(1) 9.6米
(2) $\frac{12}{5}$米（或2.4米）
(3) ① $\frac{144+3t}{40}$米；② 1.8
【知识点】
相似三角形的应用、中心投影、列代数式
【点评】
本题结合生活中的灯光投影场景，考查相似三角形判定与性质的实际应用，解题核心是根据平行关系找到相似三角形，利用对应边成比例建立等量关系求解，最后一问的速度问题需要理清影子位置随时间的变化规律，对分析能力有一定要求，体现了数学与生活的紧密联系。
【难度系数】
0.6
(1) 求路灯CD的高度时，先根据小明的行走速度和时间算出BP的长度，再由PQ、CD均垂直地面得到PQ//CD，推出△BPQ∽△BDC，利用相似三角形对应边成比例即可求解。
(2) 当t=4秒时，先计算小明到B点的距离BF，再得到FD的长度，由EF//CD推出△NFE∽△NDC，根据相似比列方程即可求出FN的长度。
(3) ① 先分别用t表示出BF、FD的长度，再结合两个相似三角形的比例关系，用t分别表示出FM、FN的长度，两者相加即为MN的长度；② 先求出影子顶端N到点B的距离关于t的表达式，计算单位时间内该距离的变化量，即可得到影子顶端的移动速度。
【解析】
(1) 由题意得：小明行走速度为1.5米/秒，行走2秒到P处，因此$BP=1.5×2=3$米，已知$BD=18$米，小明身高$PQ=1.6$米。
∵$PQ⊥BD$，$CD⊥BD$，
∴$PQ// CD$，
∴$∠BPQ=∠BDC=90°$，又
∵$∠PBQ=∠DBC$（公共角），
∴$△ BPQ ∽ △ BDC$。
∴$\frac{BP}{BD}=\frac{QP}{CD}$，代入数据得$\frac{3}{18}=\frac{1.6}{CD}$，解得$CD=9.6$米。
(2) 当$t=4$时，$BF=1.5×4=6$米，
∵路灯AB的高度比CD低1.6米，
∴$AB=9.6-1.6=8$米，$FD=BD-BF=18-6=12$米。
∵$EF⊥BD$，$CD⊥BD$，
∴$EF// CD$，
∴$∠NFE=∠NDC=90°$，又
∵$∠FNE=∠DNC$（公共角），
∴$△ NFE ∽ △ NDC$。
∴$\frac{FN}{ND}=\frac{EF}{CD}$，其中$ND=FN+FD$，代入得$\frac{FN}{FN+12}=\frac{1.6}{9.6}$，解得$FN=\frac{12}{5}$米。
(3) ① 由(1)(2)可得：$\frac{MF}{MB}=\frac{EF}{AB}=\frac{1.6}{8}=\frac{1}{5}$，$\frac{NF}{ND}=\frac{EF}{CD}=\frac{1.6}{9.6}=\frac{1}{6}$。
运动t秒后，$BF=1.5t=\frac{3}{2}t$米，$FD=18-\frac{3}{2}t$米。
设$NF=a$米，$FM=b$米，
对$△ NEF$和$△ NCD$：$\frac{a}{a+(18-\frac{3}{2}t)}=\frac{1}{6}$，解得$a=\frac{18}{5}-\frac{3t}{10}$；
对$△ MEF$和$△ MAB$：$\frac{b}{b+\frac{3}{2}t}=\frac{1}{5}$，解得$b=\frac{3t}{8}$。
∴$MN=a+b=\frac{18}{5}-\frac{3t}{10}+\frac{3t}{8}=\frac{144+3t}{40}$米。
② 影子顶端N到B点的距离$BN=BF-FN=\frac{3}{2}t-(\frac{18}{5}-\frac{3t}{10})=1.8t-3.6$。
设$t=m$秒时，$BN_1=1.8m-3.6$；$t=m+1$秒时，$BN_2=1.8(m+1)-3.6=1.8m-1.8$。
1秒内N移动的距离为$BN_2-BN_1=1.8$米，因此影子顶端N的移动速度为1.8米/秒。
【答案】
(1) 9.6米
(2) $\frac{12}{5}$米（或2.4米）
(3) ① $\frac{144+3t}{40}$米；② 1.8
【知识点】
相似三角形的应用、中心投影、列代数式
【点评】
本题结合生活中的灯光投影场景，考查相似三角形判定与性质的实际应用，解题核心是根据平行关系找到相似三角形，利用对应边成比例建立等量关系求解，最后一问的速度问题需要理清影子位置随时间的变化规律，对分析能力有一定要求，体现了数学与生活的紧密联系。
【难度系数】
0.6
