1. ★★★（2025·杭州月考）如图，小明在B时测得直立于地面的某树的影长为12 m，A时又测得该树的影长为3 m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为m.

1. 6

【分析】
解决这道题首先要结合平行投影的特点，将树、树影、太阳光线构成的图形转化为直角三角形模型：已知两次日照光线互相垂直，且树始终垂直于地面，可得两个直角三角形的锐角互余，进而判定两个三角形相似，再利用相似三角形对应边成比例的性质列方程，即可求出树的高度。
【解析】
设树的高度为$ h \, \mathrm{m} $。
∵ 树垂直于地面，两次日照光线互相垂直，
∴ 两个分别以“B时树影、树”和“A时树影、树”为直角边的直角三角形相似（两角分别相等的两个三角形相似：两三角形均有直角，且光线夹角为90°，因此一个三角形的锐角与另一个三角形的对应锐角相等）。
根据相似三角形对应边成比例，可得：
$\frac{h}{12} = \frac{3}{h}$
整理得 $ h^2 = 12 × 3 = 36 $，
∵ 树高为正数，
∴ $ h = 6 $（负值舍去）。
【答案】
6
【知识点】
相似三角形的应用，平行投影
【点评】
本题是平行投影结合相似三角形的典型应用题，解题关键是从实际场景中抽象出相似三角形模型，利用相似性质列方程求解，将几何知识和实际生活场景结合，考查知识的灵活运用能力。
【难度系数】
0.65

2. 圆柱的轴截面平行于投影面,它的正投影是长为4、宽为3的矩形,则这个圆柱的表面积是.(结果保留π)

2. 20π 或 16.5π

【分析】
本题是正投影与圆柱表面积结合的计算题，解题思路如下：首先根据正投影的性质，当圆柱轴截面平行于投影面时，正投影的矩形的两条边分别对应圆柱的底面直径和高；由于题目未明确矩形的长、宽分别对应哪个量，因此需要分两种情况讨论；最后分别代入圆柱表面积公式计算两种情况的结果即可。
【解析】
当圆柱的轴截面平行于投影面时，其正投影矩形的两边分别对应圆柱的底面直径和圆柱的高，分两种情况计算：
情况1：若圆柱的底面直径$d=4$，高$h=3$，则底面半径$r=\frac{d}{2}=2$
圆柱表面积$S=2S_{底}+S_{侧}=2π r^2 + π dh$
代入得：$S=2π×2^2 + π×4×3=8π +12π=20π$
情况2：若圆柱的底面直径$d=3$，高$h=4$，则底面半径$r=\frac{d}{2}=1.5$
代入表面积公式得：$S=2π×1.5^2 + π×3×4=4.5π +12π=16.5π$
综上，圆柱的表面积为20π或16.5π。
【答案】
20π 或 16.5π
【知识点】
正投影的性质，圆柱轴截面特征，圆柱表面积计算
【点评】
本题属于投影与几何体的综合题，解题的关键是明确投影边长与圆柱的底面直径、高的对应关系，注意分类讨论避免漏解。
【难度系数】
0.6

3. ★★★（2025·徐州期末）如图，太阳光线与地面成$60°$的角，照在地面的一只排球上，排球在地面的投影长是$14\sqrt{3}$ cm，则排球的直径是 cm.

3. 21

【分析】
这是一道平行投影与圆的性质、解直角三角形结合的应用题，解题思路如下：1. 太阳光线为平行光线，排球的边缘光线是圆的两条平行切线，两条切线的间距就是排球的直径；2. 排球在地面的投影长是两条边缘光线与地面交点的距离，结合光线与地面成60°角的条件，我们可以构造含60°角的直角三角形，将直径转化为直角三角形的直角边，利用三角函数即可计算出直径长度。
【解析】
设两条边缘太阳光线分别与地面交于点C、D，CD为排球的投影，即$CD=14\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$，光线与地面夹角为$60°$。
过点C作$CE⊥$右侧光线于点E，由于太阳光线互相平行，CE的长度就是两条平行光线的距离，即排球的直径。
在$\mathrm{Rt}△ CDE$中，$∠ CDE=60°$，$CD=14\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$，根据正弦的定义：
$\sin60°=\frac{CE}{CD}$
则$CE=CD·\sin60°=14\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{14×3}{2}=21\ \mathrm{cm}$
即排球的直径为21 cm。
【答案】
21
【知识点】
平行投影的性质，圆的切线性质，解直角三角形
【点评】
本题属于投影与几何计算结合的中档题，核心是将排球直径转化为两条平行光线的距离，通过构造直角三角形将几何条件转化为三角函数关系求解，能很好地考查学生的图形转化能力和知识综合应用能力。
【难度系数】
0.6

4. 某同学想测量树的高度.在阳光下,测得一根长为1 m的竹竿的影长为0.4 m,同时另一名同学测量树的高度时,发现树的影子不全落在地面上,有一部分落在教学楼的第一级台阶上,测得此影长为0.2 m,一级台阶高为0.3 m,如图所示,若此时落在地面上的影长为4.4 m,求树的高度.

4. 设树高为 h m,由题意得$\frac{4.4+0.2}{h-0.3}=\frac{0.4}{1}$,则 0.4(h-0.3)=4.6,解得 h=11.8.答:树的高度为 11.8 m.

【分析】
本题属于平行投影的实际应用问题，解题思路如下：
1. 首先明确同一时刻阳光下，平行投影的核心性质是物体的高度和影长成正比；
2. 树的影子分为两部分：地面上的4.4m和台阶上的0.2m，同时台阶高0.3m，相当于参与比例计算的树高为总树高减去台阶高度0.3m，对应的总水平影长为地面影长加台阶上的影长，即$ 4.4+0.2=4.6\,\mathrm{m} $；
3. 最后根据竹竿的物高和影长的比值，列出比例方程求解即可。
【解析】
解：设树的高度为$ h \, \mathrm{m} $。
根据平行投影的性质，同一时刻物高与影长成正比，可得：
$\frac{1}{0.4} = \frac{h - 0.3}{4.4 + 0.2}$
整理得：
$0.4(h - 0.3) = 4.6$
解方程：
$h - 0.3 = 11.5$
$h = 11.8$
答：树的高度为11.8 m。
【答案】
11.8 m
【知识点】
平行投影性质、比例计算、一元一次方程应用
【点评】
本题是投影类的典型实际应用题，解题的关键是正确梳理树高、台阶高度与各段影长的对应关系，避免漏算台阶高度或错算总影长，能很好地考查学生将实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.6

5. （2025·南通月考）在阳光下，测得一根与地面垂直、长为1米的竹竿的影长为2米.同时两名同学测量一棵树的高度时，发现树的影子不全落在地面上.
（1）如图①，小明发现树的影子一部分落在地面上，还有一部分影子落在教学楼的墙壁上，量得墙壁上的影长CD为3.5米，落在地面上的影长BD为6米，求树AB的高度.
（2）如图②，小红发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上，此时测得地面上的影长EF为8米，坡面上的影长FG为4米.已知斜坡的坡角为$30°$，则树的高度为多少？

5. (1)根据题意,CD=3.5米,BD=6米,①所示,连结 AC 并延长,交 BD 延长线于点 M,
∵与地面垂直、长为 1 米的竹竿的影长为 2 米,$\therefore \frac{CD}{DM}=\frac{1}{2}$,即$\frac{3.5}{DM}=\frac{1}{2}$,$\therefore DM=7$米,$\therefore BM=BD+DM=6+7=13$(米).同理,$\frac{AB}{BM}=\frac{1}{2}$,$\therefore AB=\frac{1}{2}BM=\frac{1}{2}×13=6.5$(米).
(2)②所示,延长 AG 交 EF 延长线于点 N,过点 G 作$GH⊥FN$于点 H,EF=8 米,FG=4 米,$∠GFH=30°$,
∴在$Rt△GFH$中,$GH=FG· \sin 30°=\frac{1}{2}FG=\frac{1}{2}×4=2$(米),$FH=GF· \cos 30°=\frac{\sqrt{3}}{2}×4=2\sqrt{3}$(米).
∵与地面垂直、长为 1 米的竹竿的影长为 2 米,$\therefore \frac{GH}{HN}=\frac{1}{2}$,即$\frac{2}{HN}=\frac{1}{2}$,$\therefore HN=4$米,$\therefore EN=EF+FH+HN=8+2\sqrt{3}+4=(12+2\sqrt{3})$米.在$Rt△AEN$中,$\frac{AE}{EN}=\frac{1}{2}$,$\therefore AE=\frac{1}{2}EN=\frac{1}{2}×(12+2\sqrt{3})=(6+\sqrt{3})$米,
∴树的高度为$(6+\sqrt{3})$米.

【分析】
本题围绕平行投影的实际应用展开，解题核心是利用“同一时刻，垂直于地面的物体高度与影长的比值为定值”的规律求解：
(1) 落在墙壁上的影子无法直接参与计算，可通过延长树顶到墙壁影子顶端的连线，把墙壁上的影子转化为对应的地面影长，得到无遮挡时树的总影长，再结合物高与影长的比例关系计算树高。
(2) 落在斜坡上的影子需先拆分：过坡面上影子的顶端作地面的垂线，把斜坡上的影子拆分为垂直高度和水平长度两部分，再结合投影比例算出该垂直高度对应的地面影长，得到树的总等效地面影长后，用比例关系即可求出树高。
【解析】
(1) 如图①所示，连结AC并延长，交BD的延长线于点M。
由题意得，同一时刻垂直地面的物体高度与影长的比为$\frac{1}{2}$，因此$\frac{CD}{DM}=\frac{1}{2}$。
已知CD=3.5米，代入得$\frac{3.5}{DM}=\frac{1}{2}$，解得$DM=7$米。
则树的总等效地面影长$BM=BD+DM=6+7=13$米。
同理$\frac{AB}{BM}=\frac{1}{2}$，因此$AB=\frac{1}{2}BM=\frac{1}{2}×13=6.5$米。
(2) 如图②所示，延长AG交EF的延长线于点N，过点G作$GH⊥FN$于点H。
已知FG=4米，斜坡坡角$∠GFH=30°$，在$Rt△GFH$中：
$GH=FG·\sin30°=4×\frac{1}{2}=2$米，
$FH=FG·\cos30°=4×\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$米。
由同一时刻物高与影长比为$\frac{1}{2}$，得$\frac{GH}{HN}=\frac{1}{2}$，代入GH=2米，解得$HN=4$米。
因此树的总等效地面影长$EN=EF+FH+HN=8+2\sqrt{3}+4=(12+2\sqrt{3})$米。
在$Rt△AEN$中，$\frac{AE}{EN}=\frac{1}{2}$，因此$AE=\frac{1}{2}EN=\frac{1}{2}×(12+2\sqrt{3})=(6+\sqrt{3})$米。
【答案】
(1) 树AB的高度为6.5米；
(2) 树的高度为$(6+\sqrt{3})$米。
【知识点】
1. 平行投影的性质
2. 解直角三角形
3. 比例的应用
【点评】
本题以生活中测量树高的实际场景为载体，考查了平行投影规律和解直角三角形的综合应用，解题关键是通过作辅助线，将墙面、坡面上的特殊影子转化为可直接计算的等效地面影长，体现了转化思想在实际问题中的应用，能有效锻炼学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.6