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1. $-\dfrac{1}{2026}$的倒数是。
答案
$\boldsymbol{-2026}$
解析
【分析】
要解决求一个数倒数的问题，首先回忆倒数的核心定义：乘积为1的两个数互为倒数。求非零数的倒数，只需用1除以这个数即可，同时要注意负数的倒数仍然是负数，计算时不要弄错符号。
【解析】
根据倒数的定义，设$-\dfrac{1}{2026}$的倒数为$x$，则满足：
$-\dfrac{1}{2026} × x = 1$
计算$x$的值：
$x = 1 ÷ (-\dfrac{1}{2026}) = 1 × (-2026) = -2026$
【答案】
$-2026$
【知识点】
倒数的定义
【点评】
本题是基础概念题，主要考查对倒数定义的掌握与简单应用，解题时注意区分倒数和相反数的概念，不要误改负数倒数的符号。
【难度系数】
0.9
要解决求一个数倒数的问题，首先回忆倒数的核心定义：乘积为1的两个数互为倒数。求非零数的倒数，只需用1除以这个数即可，同时要注意负数的倒数仍然是负数，计算时不要弄错符号。
【解析】
根据倒数的定义，设$-\dfrac{1}{2026}$的倒数为$x$，则满足：
$-\dfrac{1}{2026} × x = 1$
计算$x$的值：
$x = 1 ÷ (-\dfrac{1}{2026}) = 1 × (-2026) = -2026$
【答案】
$-2026$
【知识点】
倒数的定义
【点评】
本题是基础概念题，主要考查对倒数定义的掌握与简单应用，解题时注意区分倒数和相反数的概念，不要误改负数倒数的符号。
【难度系数】
0.9
2.计算：$-5×4×(-3)=$。
答案
解：
$-5×4×(-3)$
$=-20×(-3)$
$=60$
$-5×4×(-3)$
$=-20×(-3)$
$=60$
解析
【分析】
本题考查多个有理数的乘法运算，解题遵循有理数乘法的运算规则：首先确定积的符号，几个不为0的数相乘，负因数的个数为偶数时，积为正，负因数个数为奇数时，积为负；再计算各因数绝对值的乘积。也可以按从左到右的顺序逐步计算，每一步都先定符号、再算绝对值，避免符号出错。
【解析】
按照从左到右的运算顺序计算：
$-5×4×(-3)$
$=-20×(-3)$
$=60$
【答案】
$60$
【知识点】
有理数乘法法则、多个有理数乘法运算
【点评】
本题属于有理数乘法的基础运算题，核心考查乘法运算中的符号判定和绝对值计算，运算时只要牢记符号规则，按顺序逐步计算即可正确求解，是基础类运算题。
【难度系数】
0.9
本题考查多个有理数的乘法运算，解题遵循有理数乘法的运算规则：首先确定积的符号，几个不为0的数相乘，负因数的个数为偶数时，积为正，负因数个数为奇数时，积为负；再计算各因数绝对值的乘积。也可以按从左到右的顺序逐步计算，每一步都先定符号、再算绝对值，避免符号出错。
【解析】
按照从左到右的运算顺序计算：
$-5×4×(-3)$
$=-20×(-3)$
$=60$
【答案】
$60$
【知识点】
有理数乘法法则、多个有理数乘法运算
【点评】
本题属于有理数乘法的基础运算题，核心考查乘法运算中的符号判定和绝对值计算，运算时只要牢记符号规则，按顺序逐步计算即可正确求解，是基础类运算题。
【难度系数】
0.9
3.由四舍五入法得到的近似数$9.12× 10^{4}$精确到位.
答案
百
解析
【分析】
要判断科学记数法表示的近似数精确到哪一位，解题思路分两步：第一步先把科学记数法形式的数还原为普通整数，第二步找到原近似数中乘号前的数字的最后一位，看它在还原后的数里处于哪个数位，该数位就是精确到的位数。
【解析】
首先将$9.12×10^4$还原为普通整数：
$9.12×10^4 = 9.12×10000 = 91200$
观察$9.12$的最后一位数字是2，对应到91200中，数字2位于百位，因此该近似数精确到百位。
【答案】
百
【知识点】
科学记数法，近似数的精确度
【点评】
本题是近似数精确度判断的常见题型，易错点是未还原原数，直接误判$9.12$的最后一位2在百分位就得出错误结论，解题时牢记要先还原科学记数法表示的数，再对应数位判断。
【难度系数】
0.7
要判断科学记数法表示的近似数精确到哪一位，解题思路分两步：第一步先把科学记数法形式的数还原为普通整数，第二步找到原近似数中乘号前的数字的最后一位，看它在还原后的数里处于哪个数位，该数位就是精确到的位数。
【解析】
首先将$9.12×10^4$还原为普通整数：
$9.12×10^4 = 9.12×10000 = 91200$
观察$9.12$的最后一位数字是2，对应到91200中，数字2位于百位，因此该近似数精确到百位。
【答案】
百
【知识点】
科学记数法，近似数的精确度
【点评】
本题是近似数精确度判断的常见题型，易错点是未还原原数，直接误判$9.12$的最后一位2在百分位就得出错误结论，解题时牢记要先还原科学记数法表示的数，再对应数位判断。
【难度系数】
0.7
4. 将 439 000 用科学记数法表示为。
答案
解：
439 000 = 4.39 × 10⁵
439 000 = 4.39 × 10⁵
解析
【分析】
要解这道题，首先回忆科学记数法的表示规则：科学记数法的标准形式是$a × 10^n$，其中要求$1 ≤ |a| ＜ 10$，$n$为整数。解题分两步走：第一步先确定$a$的值，把原数的小数点向左移动，直到得到的数满足1到10之间的要求；第二步确定$n$的值，$n$的大小等于小数点向左移动的位数，也等于原数的整数位数减1。
【解析】
科学记数法是将大于10的数表示为$a × 10^n$的形式，其中$1 ≤ a ＜ 10$，$n$为正整数。
1. 确定$a$：将439000的小数点向左移动5位，得到$a=4.39$，满足$1 ≤ 4.39 ＜ 10$的要求。
2. 确定$n$：小数点一共向左移动了5位，因此$n=5$。
综上，$439000 = 4.39 × 10^5$。
【答案】
$4.39 × 10^5$
【知识点】
科学记数法
【点评】
本题属于基础题型，核心考查科学记数法的表示规则，解题关键是准确确定$a$的取值和$n$的数值，避免数错小数点移动的位数即可得分。
【难度系数】
0.9
要解这道题，首先回忆科学记数法的表示规则：科学记数法的标准形式是$a × 10^n$，其中要求$1 ≤ |a| ＜ 10$，$n$为整数。解题分两步走：第一步先确定$a$的值，把原数的小数点向左移动，直到得到的数满足1到10之间的要求；第二步确定$n$的值，$n$的大小等于小数点向左移动的位数，也等于原数的整数位数减1。
【解析】
科学记数法是将大于10的数表示为$a × 10^n$的形式，其中$1 ≤ a ＜ 10$，$n$为正整数。
1. 确定$a$：将439000的小数点向左移动5位，得到$a=4.39$，满足$1 ≤ 4.39 ＜ 10$的要求。
2. 确定$n$：小数点一共向左移动了5位，因此$n=5$。
综上，$439000 = 4.39 × 10^5$。
【答案】
$4.39 × 10^5$
【知识点】
科学记数法
【点评】
本题属于基础题型，核心考查科学记数法的表示规则，解题关键是准确确定$a$的取值和$n$的数值，避免数错小数点移动的位数即可得分。
【难度系数】
0.9
5.若从－5，－3，－1，2，4中任取2个数，所得积的最小值记为a，所得商的最大值记为b，则a－b的值为。
答案
$\boldsymbol{-25}$
解析
【分析】
解题时需要分三步完成：第一步求乘积的最小值a，第二步求商的最大值b，最后计算a-b即可。①求a时，根据有理数乘法法则：同号得正、异号得负，且正数大于一切负数，可知最小的积一定是异号两数相乘的结果，要让这个负数最小，只需让两个数的绝对值的乘积最大，选取对应数字计算即可。②求b时，根据有理数除法法则：同号得正、异号得负，且正数大于一切负数，可知最大的商一定是同号两数相除的结果，分别计算正数组合、负数组合的最大商，比较后得到b的值。
【解析】
1. 计算积的最小值$a$：
要得到最小的积，选择异号且绝对值乘积最大的两个数：绝对值最大的负数是$-5$，最大的正数是$4$，因此
$a = (-5) × 4 = -20$
2. 计算商的最大值$b$：
要得到最大的商，优先考虑同号相除的正数结果：
① 正数组合中最大的商：$4 ÷ 2 = 2$
② 负数组合中最大的商：选绝对值最大的负数作被除数，绝对值最小的负数作除数，即$(-5) ÷ (-1) = 5$
比较得$5＞2$，因此$b=5$
3. 计算$a-b$：
$a - b = -20 - 5 = -25$
【答案】
$\boldsymbol{-25}$
【知识点】
有理数乘法法则；有理数除法法则；有理数大小比较
【点评】
本题重点考查有理数的乘除运算及大小比较，解题的关键是根据有理数乘除的符号规律，快速锁定乘积最小、商最大对应的数字组合，避免遗漏负数同除的情况导致算错$b$的值。
【难度系数】
0.6
解题时需要分三步完成：第一步求乘积的最小值a，第二步求商的最大值b，最后计算a-b即可。①求a时，根据有理数乘法法则：同号得正、异号得负，且正数大于一切负数，可知最小的积一定是异号两数相乘的结果，要让这个负数最小，只需让两个数的绝对值的乘积最大，选取对应数字计算即可。②求b时，根据有理数除法法则：同号得正、异号得负，且正数大于一切负数，可知最大的商一定是同号两数相除的结果，分别计算正数组合、负数组合的最大商，比较后得到b的值。
【解析】
1. 计算积的最小值$a$：
要得到最小的积，选择异号且绝对值乘积最大的两个数：绝对值最大的负数是$-5$，最大的正数是$4$，因此
$a = (-5) × 4 = -20$
2. 计算商的最大值$b$：
要得到最大的商，优先考虑同号相除的正数结果：
① 正数组合中最大的商：$4 ÷ 2 = 2$
② 负数组合中最大的商：选绝对值最大的负数作被除数，绝对值最小的负数作除数，即$(-5) ÷ (-1) = 5$
比较得$5＞2$，因此$b=5$
3. 计算$a-b$：
$a - b = -20 - 5 = -25$
【答案】
$\boldsymbol{-25}$
【知识点】
有理数乘法法则；有理数除法法则；有理数大小比较
【点评】
本题重点考查有理数的乘除运算及大小比较，解题的关键是根据有理数乘除的符号规律，快速锁定乘积最小、商最大对应的数字组合，避免遗漏负数同除的情况导致算错$b$的值。
【难度系数】
0.6
6.若$|a|=3,|b|=2$且$|a-b|=b-a$,则$a+b=$.
答案
解：
∵|a|=3，
∴a=3或a=-3，
∵|b|=2，
∴b=2或b=-2，
又∵|a-b|=b-a，
∴a-b≤0，即a≤b，
∴符合条件的a只能为-3，
当a=-3，b=2时，a+b=-3+2=-1；
当a=-3，b=-2时，a+b=-3+(-2)=-5。
∴a+b=-1或-5。
∵|a|=3，
∴a=3或a=-3，
∵|b|=2，
∴b=2或b=-2，
又∵|a-b|=b-a，
∴a-b≤0，即a≤b，
∴符合条件的a只能为-3，
当a=-3，b=2时，a+b=-3+2=-1；
当a=-3，b=-2时，a+b=-3+(-2)=-5。
∴a+b=-1或-5。
解析
【分析】
解题时先根据绝对值的定义求出a、b所有可能的取值，再结合|a-b|=b-a的条件，利用绝对值的性质推导得出a和b的大小关系，筛选出符合要求的a、b取值组合，最后分别代入计算a+b的值即可。
【解析】
∵|a|=3，
∴a=3或a=-3，
∵|b|=2，
∴b=2或b=-2，
又
∵|a-b|=b-a，
∴a-b≤0，即a≤b，
∴符合条件的a只能为-3，
当a=-3，b=2时，a+b=-3+2=-1；
当a=-3，b=-2时，a+b=-3+(-2)=-5。
【答案】
-1或-5
【知识点】
绝对值的性质，有理数大小比较，有理数加法
【点评】
本题重点考查绝对值性质的灵活运用，解题关键是根据已知条件准确筛选出字母的有效取值，注意不要漏算符合条件的取值组合。
【难度系数】
0.6
解题时先根据绝对值的定义求出a、b所有可能的取值，再结合|a-b|=b-a的条件，利用绝对值的性质推导得出a和b的大小关系，筛选出符合要求的a、b取值组合，最后分别代入计算a+b的值即可。
【解析】
∵|a|=3，
∴a=3或a=-3，
∵|b|=2，
∴b=2或b=-2，
又
∵|a-b|=b-a，
∴a-b≤0，即a≤b，
∴符合条件的a只能为-3，
当a=-3，b=2时，a+b=-3+2=-1；
当a=-3，b=-2时，a+b=-3+(-2)=-5。
【答案】
-1或-5
【知识点】
绝对值的性质，有理数大小比较，有理数加法
【点评】
本题重点考查绝对值性质的灵活运用，解题关键是根据已知条件准确筛选出字母的有效取值，注意不要漏算符合条件的取值组合。
【难度系数】
0.6
7. 提升题 按规律填空：$-1,\frac{2}{3},-\frac{3}{5},\frac{4}{7},-\frac{5}{9},\dots$. 请写出第6个数：，第13个数：，第2026个数：.
答案
解：观察数列，可得第n个数的规律：
符号：当n为奇数时，数为负；当n为偶数时，数为正；
分子等于序号n；
分母为$2n-1$。
当n=6时，第6个数为$\frac{6}{2×6-1}=\frac{6}{11}$；
当n=13时，第13个数为$-\frac{13}{2×13-1}=-\frac{13}{25}$；
当n=2026时，第2026个数为$\frac{2026}{2×2026-1}=\frac{2026}{4051}$。
答案依次为：$\frac{6}{11}$，$-\frac{13}{25}$，$\frac{2026}{4051}$。
符号：当n为奇数时，数为负；当n为偶数时，数为正；
分子等于序号n；
分母为$2n-1$。
当n=6时，第6个数为$\frac{6}{2×6-1}=\frac{6}{11}$；
当n=13时，第13个数为$-\frac{13}{2×13-1}=-\frac{13}{25}$；
当n=2026时，第2026个数为$\frac{2026}{2×2026-1}=\frac{2026}{4051}$。
答案依次为：$\frac{6}{11}$，$-\frac{13}{25}$，$\frac{2026}{4051}$。
解析
【分析】
解决这道数列规律题，我们可以把每个数拆分为符号、分子、分母三部分分别找规律：首先看符号，数列正负交替出现，奇数项为负、偶数项为正；其次看分子，第1个数分子为1、第2个为2、第3个为3……可知分子和数的序号n相等；最后看分母，第1个数分母为1、第2个为3、第3个为5……都是连续奇数，可得分母为$2n-1$。总结出通用规律后，代入对应序号计算即可得到结果。
【解析】
先将第1个数$-1$改写为$-\frac{1}{1}$，总结第n个数的规律：
1. 符号规律：n为奇数时符号为负，n为偶数时符号为正；
2. 分子规律：分子等于序号n；
3. 分母规律：分母为$2n-1$。
分别代入序号计算：
当$n=6$时，n为偶数，符号为正，分子为6，分母为$2×6-1=11$，故第6个数为$\frac{6}{11}$；
当$n=13$时，n为奇数，符号为负，分子为13，分母为$2×13-1=25$，故第13个数为$-\frac{13}{25}$；
当$n=2026$时，n为偶数，符号为正，分子为2026，分母为$2×2026-1=4051$，故第2026个数为$\frac{2026}{4051}$。
【答案】
$\frac{6}{11}$，$-\frac{13}{25}$，$\frac{2026}{4051}$
【知识点】
数字规律探究，代数式求值
【点评】
本题是典型的数列规律类题目，解题核心是拆分不同维度分别归纳规律，能锻炼从特殊到一般的归纳能力，计算时需注意区分序号奇偶性对应的符号，避免符号出错。
【难度系数】
0.7
解决这道数列规律题，我们可以把每个数拆分为符号、分子、分母三部分分别找规律：首先看符号，数列正负交替出现，奇数项为负、偶数项为正；其次看分子，第1个数分子为1、第2个为2、第3个为3……可知分子和数的序号n相等；最后看分母，第1个数分母为1、第2个为3、第3个为5……都是连续奇数，可得分母为$2n-1$。总结出通用规律后，代入对应序号计算即可得到结果。
【解析】
先将第1个数$-1$改写为$-\frac{1}{1}$，总结第n个数的规律：
1. 符号规律：n为奇数时符号为负，n为偶数时符号为正；
2. 分子规律：分子等于序号n；
3. 分母规律：分母为$2n-1$。
分别代入序号计算：
当$n=6$时，n为偶数，符号为正，分子为6，分母为$2×6-1=11$，故第6个数为$\frac{6}{11}$；
当$n=13$时，n为奇数，符号为负，分子为13，分母为$2×13-1=25$，故第13个数为$-\frac{13}{25}$；
当$n=2026$时，n为偶数，符号为正，分子为2026，分母为$2×2026-1=4051$，故第2026个数为$\frac{2026}{4051}$。
【答案】
$\frac{6}{11}$，$-\frac{13}{25}$，$\frac{2026}{4051}$
【知识点】
数字规律探究，代数式求值
【点评】
本题是典型的数列规律类题目，解题核心是拆分不同维度分别归纳规律，能锻炼从特殊到一般的归纳能力，计算时需注意区分序号奇偶性对应的符号，避免符号出错。
【难度系数】
0.7
8. 计算:
(1) $|-2| - (-3) × (-15)$;
(2) $-1^4 + 0 ÷ 4 - 5 × 0.1 × (-2)^3$;
(3) $( \frac{1}{2} + \frac{5}{6} - \frac{7}{12} ) × (-36)$;
(4) $[ 50 - ( \frac{7}{9} - \frac{11}{12} + \frac{1}{6} ) × (-6)^2 ] ÷ (-7)^2$.
(1) $|-2| - (-3) × (-15)$;
(2) $-1^4 + 0 ÷ 4 - 5 × 0.1 × (-2)^3$;
(3) $( \frac{1}{2} + \frac{5}{6} - \frac{7}{12} ) × (-36)$;
(4) $[ 50 - ( \frac{7}{9} - \frac{11}{12} + \frac{1}{6} ) × (-6)^2 ] ÷ (-7)^2$.
答案
解：
(1) 原式$=2 - 45$
$=-43$
(2) 原式$=-1 + 0 - 5×0.1×(-8)$
$=-1 + 4$
$=3$
(3) 原式$=\frac{1}{2}×(-36) + \frac{5}{6}×(-36) - \frac{7}{12}×(-36)$
$=-18 - 30 + 21$
$=-27$
(4) 原式$=[50 - (\frac{7}{9} - \frac{11}{12} + \frac{1}{6})×36] ÷ 49$
$=[50 - (\frac{7}{9}×36 - \frac{11}{12}×36 + \frac{1}{6}×36)] ÷ 49$
$=[50 - (28 - 33 + 6)] ÷ 49$
$=(50 - 1) ÷ 49$
$=49÷49$
$=1$
(1) 原式$=2 - 45$
$=-43$
(2) 原式$=-1 + 0 - 5×0.1×(-8)$
$=-1 + 4$
$=3$
(3) 原式$=\frac{1}{2}×(-36) + \frac{5}{6}×(-36) - \frac{7}{12}×(-36)$
$=-18 - 30 + 21$
$=-27$
(4) 原式$=[50 - (\frac{7}{9} - \frac{11}{12} + \frac{1}{6})×36] ÷ 49$
$=[50 - (\frac{7}{9}×36 - \frac{11}{12}×36 + \frac{1}{6}×36)] ÷ 49$
$=[50 - (28 - 33 + 6)] ÷ 49$
$=(50 - 1) ÷ 49$
$=49÷49$
$=1$
解析
【分析】
这组题目是有理数的混合运算，解题时首先牢记运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；有括号的先算括号内的，同级运算从左到右计算；遇到形如$(a+b+c)×d$的式子时，优先考虑使用乘法分配律简化计算，避免通分的麻烦。具体各小题思考路径：
(1)先化简绝对值、计算乘法，再做减法计算，注意多个负数相乘时符号的确定；
(2)先计算乘方，再依次计算除法、乘法，最后做加减运算，注意区分$-1^4$和$(-1)^4$的结果差异；
(3)直接运用乘法分配律，把括号内的每一项分别乘$-36$，再计算加减，简化计算过程；
(4)先计算乘方项$(-6)^2$和$(-7)^2$，再对中括号内的乘法用分配律计算，接着算中括号内的减法，最后算除法即可。
【解析】
(1) 原式$=2 - 45$
$=-43$
(2) 原式$=-1 + 0 - 5×0.1×(-8)$
$=-1 + 4$
$=3$
(3) 原式$=\frac{1}{2}×(-36) + \frac{5}{6}×(-36) - \frac{7}{12}×(-36)$
$=-18 - 30 + 21$
$=-27$
(4) 原式$=[50 - (\frac{7}{9} - \frac{11}{12} + \frac{1}{6})×36] ÷ 49$
$=[50 - (\frac{7}{9}×36 - \frac{11}{12}×36 + \frac{1}{6}×36)] ÷ 49$
$=[50 - (28 - 33 + 6)] ÷ 49$
$=(50 - 1) ÷ 49$
$=49÷49$
$=1$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-43}$；(2) $\boldsymbol{3}$；(3) $\boldsymbol{-27}$；(4) $\boldsymbol{1}$
【知识点】
有理数混合运算、乘法分配律、绝对值化简
【点评】
本题是有理数运算的常规题型，重点考察运算顺序的掌握和简便运算的运用能力，解题时注意运算优先级，灵活使用乘法分配律可大幅降低计算量，同时要格外注意负号相关的运算，避免符号错误。
【难度系数】
0.7
这组题目是有理数的混合运算，解题时首先牢记运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；有括号的先算括号内的，同级运算从左到右计算；遇到形如$(a+b+c)×d$的式子时，优先考虑使用乘法分配律简化计算，避免通分的麻烦。具体各小题思考路径：
(1)先化简绝对值、计算乘法，再做减法计算，注意多个负数相乘时符号的确定；
(2)先计算乘方，再依次计算除法、乘法，最后做加减运算，注意区分$-1^4$和$(-1)^4$的结果差异；
(3)直接运用乘法分配律，把括号内的每一项分别乘$-36$，再计算加减，简化计算过程；
(4)先计算乘方项$(-6)^2$和$(-7)^2$，再对中括号内的乘法用分配律计算，接着算中括号内的减法，最后算除法即可。
【解析】
(1) 原式$=2 - 45$
$=-43$
(2) 原式$=-1 + 0 - 5×0.1×(-8)$
$=-1 + 4$
$=3$
(3) 原式$=\frac{1}{2}×(-36) + \frac{5}{6}×(-36) - \frac{7}{12}×(-36)$
$=-18 - 30 + 21$
$=-27$
(4) 原式$=[50 - (\frac{7}{9} - \frac{11}{12} + \frac{1}{6})×36] ÷ 49$
$=[50 - (\frac{7}{9}×36 - \frac{11}{12}×36 + \frac{1}{6}×36)] ÷ 49$
$=[50 - (28 - 33 + 6)] ÷ 49$
$=(50 - 1) ÷ 49$
$=49÷49$
$=1$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-43}$；(2) $\boldsymbol{3}$；(3) $\boldsymbol{-27}$；(4) $\boldsymbol{1}$
【知识点】
有理数混合运算、乘法分配律、绝对值化简
【点评】
本题是有理数运算的常规题型，重点考察运算顺序的掌握和简便运算的运用能力，解题时注意运算优先级，灵活使用乘法分配律可大幅降低计算量，同时要格外注意负号相关的运算，避免符号错误。
【难度系数】
0.7
9. 提升题【概念学习】
规定:求若干个相同的有理数(均不等于0)的除法运算叫作除方,如$2÷2÷2$,类比有理数的乘方,我们把$2÷2÷2$记作$2_3$,读作“2的3次商”,我们把$n$个$a(a≠0)$相除记作$a_n$,读作“$a$的$n$次商”.
【初步感知】
(1)直接写出结果:$2_3=$.
【深入思考】
我们知道,有理数的减法运算可以转化为加法运算,除法运算能够转化为乘法运算,那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢?
例:$2_4=2÷2÷2÷2=2×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=(\frac{1}{2})^2$.
(2)仿照上面的算式,将下列运算结果直接写成乘方(幂)的形式:
$(-3)_4=$;$(\frac{1}{7})_5=$.
【拓展应用】
(3)算一算:$5_2÷(-\frac{1}{2})_4×(-\frac{1}{3})_5 + (-\frac{1}{4})_3×\frac{1}{4}=$.
规定:求若干个相同的有理数(均不等于0)的除法运算叫作除方,如$2÷2÷2$,类比有理数的乘方,我们把$2÷2÷2$记作$2_3$,读作“2的3次商”,我们把$n$个$a(a≠0)$相除记作$a_n$,读作“$a$的$n$次商”.
【初步感知】
(1)直接写出结果:$2_3=$.
【深入思考】
我们知道,有理数的减法运算可以转化为加法运算,除法运算能够转化为乘法运算,那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢?
例:$2_4=2÷2÷2÷2=2×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=(\frac{1}{2})^2$.
(2)仿照上面的算式,将下列运算结果直接写成乘方(幂)的形式:
$(-3)_4=$;$(\frac{1}{7})_5=$.
【拓展应用】
(3)算一算:$5_2÷(-\frac{1}{2})_4×(-\frac{1}{3})_5 + (-\frac{1}{4})_3×\frac{1}{4}=$.
答案
(1) $\boldsymbol{\frac{1}{2}}$
(2) $\boldsymbol{(\frac{1}{3})^2}$；$\boldsymbol{7^3}$
(3) $\boldsymbol{-\frac{31}{4}}$
(2) $\boldsymbol{(\frac{1}{3})^2}$；$\boldsymbol{7^3}$
(3) $\boldsymbol{-\frac{31}{4}}$
解析
【分析】
本题是新定义运算题，解题思路如下：①先准确理解“除方”的定义：n个非零有理数a相除记作$a_n$，读作a的n次商；②第(1)问直接根据定义计算3个2相除的结果即可；③第(2)问仿照示例，把除方运算转化为乘法运算，进而写成乘方形式，可总结规律：$a_n = (\frac{1}{a})^{n-2}$（$a≠0$，n为大于等于2的整数），套用规律即可快速求解；④第(3)问先把所有除方运算按规律转化为熟悉的乘方运算，再按照有理数混合运算“先乘除、后加减”的顺序计算即可。
【解析】
(1) 根据除方定义：
$2_3 = 2÷2÷2 = 1÷2 = \frac{1}{2}$。
(2) 按照除方转乘方的规则计算：
① $(-3)_4 = (-3)÷(-3)÷(-3)÷(-3) = (\frac{1}{3})^2$；
② $(\frac{1}{7})_5 = \frac{1}{7}÷\frac{1}{7}÷\frac{1}{7}÷\frac{1}{7}÷\frac{1}{7} = 7^3$。
(3) 先将各除方转化为常规运算：
$5_2 =5÷5=1$，$(-\frac{1}{2})_4 = (-2)^2=4$，$(-\frac{1}{3})_5 = (-3)^3=-27$，$(-\frac{1}{4})_3 = (-4)^1=-4$。
代入原式按顺序计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=1÷4×(-27) + (-4)×\frac{1}{4}\\&=\frac{1}{4}×(-27) -1\\&=-\frac{27}{4}-\frac{4}{4}\\&=-\frac{31}{4}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\frac{1}{2}$；(2) $(\frac{1}{3})^2$；$7^3$；(3) $-\frac{31}{4}$
【知识点】
新定义运算，有理数混合运算，乘方的意义
【点评】
本题属于新定义类创新题，核心考查知识迁移能力，需要先准确理解陌生的“除方”运算规则，将其转化为已学的乘方、乘除运算后，再按有理数运算规则求解，能有效提升对运算规则的理解和应用能力。
【难度系数】
0.6
本题是新定义运算题，解题思路如下：①先准确理解“除方”的定义：n个非零有理数a相除记作$a_n$，读作a的n次商；②第(1)问直接根据定义计算3个2相除的结果即可；③第(2)问仿照示例，把除方运算转化为乘法运算，进而写成乘方形式，可总结规律：$a_n = (\frac{1}{a})^{n-2}$（$a≠0$，n为大于等于2的整数），套用规律即可快速求解；④第(3)问先把所有除方运算按规律转化为熟悉的乘方运算，再按照有理数混合运算“先乘除、后加减”的顺序计算即可。
【解析】
(1) 根据除方定义：
$2_3 = 2÷2÷2 = 1÷2 = \frac{1}{2}$。
(2) 按照除方转乘方的规则计算：
① $(-3)_4 = (-3)÷(-3)÷(-3)÷(-3) = (\frac{1}{3})^2$；
② $(\frac{1}{7})_5 = \frac{1}{7}÷\frac{1}{7}÷\frac{1}{7}÷\frac{1}{7}÷\frac{1}{7} = 7^3$。
(3) 先将各除方转化为常规运算：
$5_2 =5÷5=1$，$(-\frac{1}{2})_4 = (-2)^2=4$，$(-\frac{1}{3})_5 = (-3)^3=-27$，$(-\frac{1}{4})_3 = (-4)^1=-4$。
代入原式按顺序计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=1÷4×(-27) + (-4)×\frac{1}{4}\\&=\frac{1}{4}×(-27) -1\\&=-\frac{27}{4}-\frac{4}{4}\\&=-\frac{31}{4}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\frac{1}{2}$；(2) $(\frac{1}{3})^2$；$7^3$；(3) $-\frac{31}{4}$
【知识点】
新定义运算，有理数混合运算，乘方的意义
【点评】
本题属于新定义类创新题，核心考查知识迁移能力，需要先准确理解陌生的“除方”运算规则，将其转化为已学的乘方、乘除运算后，再按有理数运算规则求解，能有效提升对运算规则的理解和应用能力。
【难度系数】
0.6
