13. 在幂的运算中规定:若 a^x = a^y (a＞0,且 a≠1,x,y 是正整数),则 x=y. 利用上述结论解答下列问题:(1)若$ 9^x = 3^6 ,$求 x 的值;(2)若$ 3^{x+2} - 3^{x+1} = 18 ,$求 x 的值;(3)若 m=2^x +1,n=4^x +2^x ,用含 m 的式子表示 n.

解:(1)因为 $9^x = 3^6$,所以 $3^{2x}=3^6$,所以 $2x=6$,解得 $x=3$.
(2)因为 $3^{x+2}-3^{x+1}=3^{x+1}×3-3^{x+1}=2×3^{x+1}=18$,所以 $3^{x+1}=9$,所以 $x+1=2$,解得 $x=1$.
(3)因为 $m=2^x +1,n=4^x +2^x=(2^x)^2+2^x=2^x(2^x +1)$,所以 $n=m(m-1)=m^2 -m$.

【分析】
本题围绕幂的运算规则展开，解题核心是将不同底数的幂转化为同底数幂，结合题干给出的“同底数幂相等则指数相等”的结论，以及整体代换思想求解：
(1) 先把左边底数9转化为$3^2$，利用幂的乘方法则将左边化为底数为3的幂，再根据同底数幂相等则指数相等列方程求解x；
(2) 观察左边两项，底数都是3，指数是相邻的$x+2$和$x+1$，提取公因式$3^{x+1}$化简式子，再将结果转化为同底数幂，列方程求x；
(3) 先由m的表达式得到$2^x = m-1$，再将n中的$4^x$转化为$(2^x)^2$，把n变形为含$2^x$和$(2^x+1)$的形式，最后整体替换为含m的式子化简即可。
【解析】
(1) 先将左边的底数统一为3：
∵ $9^x = (3^2)^x = 3^{2x}$，已知$9^x=3^6$
∴ $3^{2x}=3^6$
根据题干规定，同底数幂相等则指数相等，可得$2x=6$
解得$x=3$
(2) 对左边式子提取公因式化简：
$3^{x+2}-3^{x+1}=3^{x+1}×3 - 3^{x+1}=3^{x+1}×(3-1)=2×3^{x+1}$
已知原式等于18，即$2×3^{x+1}=18$
化简得$3^{x+1}=9=3^2$
根据题干规定可得$x+1=2$
解得$x=1$
(3) 先对m和n的表达式变形：
由$m=2^x +1$可得$2^x = m-1$
又$4^x=(2^2)^x=(2^x)^2$，因此$n=4^x +2^x=(2^x)^2 + 2^x=2^x×(2^x +1)$
将$2^x=m-1$、$2^x+1=m$代入上式，得：
$n=(m-1)× m = m^2 - m$
【答案】
(1)$x=3$；(2)$x=1$；(3)$n=m^2 - m$
【知识点】
幂的乘方运算、同底数幂的运算、整体代换
【点评】
本题侧重考察幂运算性质的灵活运用，需要熟练掌握不同底数幂转化为同底数幂的方法，同时会用提取公因式、整体代换的思想简化运算，是幂运算章节的典型题型，能有效检验对基础知识的掌握程度。
【难度系数】
0.7