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1. 计算$a^{3}÷ a=a^{?}$，则“?”是 （
A.0
B.1
C.2
D.3
C
）A.0
B.1
C.2
D.3
答案
1.C
解析
【分析】
拿到这道题首先判断运算类型是同底数幂的除法，可回忆对应运算法则解题。第一步先明确两个幂的底数都是a，属于同底数幂相除；第二步要注意单独的字母a的默认指数是1，不是0；第三步套用同底数幂除法的计算规则，用被除式的指数减去除式的指数，就能得到结果的指数，也就求出“?”的值了。
【解析】
根据同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即$a^m ÷ a^n = a^{m-n}$（$a≠0$，m、n为正整数，$m＞n$）。
本题中除式$a=a^1$，代入法则计算：
$a^3 ÷ a = a^3 ÷ a^1 = a^{3-1}=a^2$
因此“?”对应的数值是2，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
同底数幂的除法法则
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查同底数幂除法法则的直接应用，解题时需注意单独出现的字母的默认指数为1，避免因漏看指数导致计算错误，熟练掌握运算法则即可快速得分。
【难度系数】
0.9
拿到这道题首先判断运算类型是同底数幂的除法，可回忆对应运算法则解题。第一步先明确两个幂的底数都是a，属于同底数幂相除；第二步要注意单独的字母a的默认指数是1，不是0；第三步套用同底数幂除法的计算规则，用被除式的指数减去除式的指数，就能得到结果的指数，也就求出“?”的值了。
【解析】
根据同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即$a^m ÷ a^n = a^{m-n}$（$a≠0$，m、n为正整数，$m＞n$）。
本题中除式$a=a^1$，代入法则计算：
$a^3 ÷ a = a^3 ÷ a^1 = a^{3-1}=a^2$
因此“?”对应的数值是2，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
同底数幂的除法法则
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查同底数幂除法法则的直接应用，解题时需注意单独出现的字母的默认指数为1，避免因漏看指数导致计算错误，熟练掌握运算法则即可快速得分。
【难度系数】
0.9
2. 下列计算错误的是
（
A.$(-a)^{5}÷(-a)^{4}=-a$
B.$(-a)^{5}÷(-a^{4})=a$
C.$a^{5}÷(a^{2})^{2}=a^{3}$
D.$(ab)^{5}÷(ab)^{3}=a^{2}b^{2}$
（
C
）A.$(-a)^{5}÷(-a)^{4}=-a$
B.$(-a)^{5}÷(-a^{4})=a$
C.$a^{5}÷(a^{2})^{2}=a^{3}$
D.$(ab)^{5}÷(ab)^{3}=a^{2}b^{2}$
答案
2.C
解析
【分析】
这是一道幂运算的正误判断题，解题思路是逐一依据幂的相关运算法则计算每个选项的结果，再和选项给出的结果对比，找出计算错误的选项。解题时首先要明确核心运算法则：①同底数幂相除，底数不变，指数相减；②幂的乘方，底数不变，指数相乘；③积的乘方等于各因式分别乘方后再相乘，同时注意负数幂的符号处理，运算顺序为先算乘方，再算除法。
【解析】
我们逐个计算各选项：
A选项：$(-a)^{5}÷(-a)^{4}$，属于同底数幂相除，底数为$-a$，指数相减得$5-4=1$，即$(-a)^1=-a$，计算正确。
B选项：先化简分子$(-a)^5=-a^5$，则原式为$(-a^5)÷(-a^4)=a^{5-4}=a$，计算正确。
C选项：先算幂的乘方$(a^2)^2=a^{2×2}=a^4$，再算除法$a^5÷a^4=a^{5-4}=a$，选项给出结果为$a^3$，计算错误。
D选项：$(ab)^5÷(ab)^3$属于同底数幂相除，底数为$ab$，指数相减得$5-3=2$，即$(ab)^2=a^2b^2$，计算正确。
综上，计算错误的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
同底数幂的除法；幂的乘方；积的乘方
【点评】
本题重点考查幂的各类运算性质的灵活应用，解题的关键是熟练掌握运算法则，注意运算顺序和符号的正确处理，避免混淆指数的运算规律。
【难度系数】
0.8
这是一道幂运算的正误判断题，解题思路是逐一依据幂的相关运算法则计算每个选项的结果，再和选项给出的结果对比，找出计算错误的选项。解题时首先要明确核心运算法则：①同底数幂相除，底数不变，指数相减；②幂的乘方，底数不变，指数相乘；③积的乘方等于各因式分别乘方后再相乘，同时注意负数幂的符号处理，运算顺序为先算乘方，再算除法。
【解析】
我们逐个计算各选项：
A选项：$(-a)^{5}÷(-a)^{4}$，属于同底数幂相除，底数为$-a$，指数相减得$5-4=1$，即$(-a)^1=-a$，计算正确。
B选项：先化简分子$(-a)^5=-a^5$，则原式为$(-a^5)÷(-a^4)=a^{5-4}=a$，计算正确。
C选项：先算幂的乘方$(a^2)^2=a^{2×2}=a^4$，再算除法$a^5÷a^4=a^{5-4}=a$，选项给出结果为$a^3$，计算错误。
D选项：$(ab)^5÷(ab)^3$属于同底数幂相除，底数为$ab$，指数相减得$5-3=2$，即$(ab)^2=a^2b^2$，计算正确。
综上，计算错误的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
同底数幂的除法；幂的乘方；积的乘方
【点评】
本题重点考查幂的各类运算性质的灵活应用，解题的关键是熟练掌握运算法则，注意运算顺序和符号的正确处理，避免混淆指数的运算规律。
【难度系数】
0.8
3. 计算$ 3^{-3} $的结果为（
A.$-3$
B.$-9$
C.$ \dfrac{1}{9} $
D.$ \dfrac{1}{27} $
D
）A.$-3$
B.$-9$
C.$ \dfrac{1}{9} $
D.$ \dfrac{1}{27} $
答案
3.D
解析
【分析】
本题考查负整数指数幂的运算，解题时首先回忆负整数指数幂的运算法则：一个非零数的负整数次幂等于这个数的正整数次幂的倒数。明确本题底数是3，指数是-3，所以先计算3的3次幂，再对结果取倒数，最后和选项比对即可得到答案。
【解析】
根据负整数指数幂的运算法则：$a^{-p}=\dfrac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$为正整数），
将$a=3$，$p=3$代入公式可得：
$3^{-3}=\dfrac{1}{3^3}=\dfrac{1}{27}$，
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
负整数指数幂的运算
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查对负整数指数幂运算法则的理解和应用，解题时要注意区分负指数的运算逻辑和带负号底数的乘方运算，避免混淆规则导致计算错误。
【难度系数】
0.8
本题考查负整数指数幂的运算，解题时首先回忆负整数指数幂的运算法则：一个非零数的负整数次幂等于这个数的正整数次幂的倒数。明确本题底数是3，指数是-3，所以先计算3的3次幂，再对结果取倒数，最后和选项比对即可得到答案。
【解析】
根据负整数指数幂的运算法则：$a^{-p}=\dfrac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$为正整数），
将$a=3$，$p=3$代入公式可得：
$3^{-3}=\dfrac{1}{3^3}=\dfrac{1}{27}$，
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
负整数指数幂的运算
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查对负整数指数幂运算法则的理解和应用，解题时要注意区分负指数的运算逻辑和带负号底数的乘方运算，避免混淆规则导致计算错误。
【难度系数】
0.8
4.已知$2^{x}=5,2^{y}=10$，则$2^{3x-2y}$的值为________.
答案
4.$\frac{5}{4}$
解析
【分析】
本题要求计算带指数差的幂的值，解题思路如下：首先观察所求式子的指数是差的形式，可先逆用同底数幂的除法法则，将$2^{3x-2y}$拆分为$2^{3x}÷2^{2y}$；再逆用幂的乘方法则，把$2^{3x}$变形为$(2^x)^3$，$2^{2y}$变形为$(2^y)^2$；最后代入已知的$2^x$、$2^y$的数值计算即可得到结果。
【解析】
根据幂的运算性质逐步变形计算：
1. 逆用同底数幂的除法法则$a^{m-n}=a^m÷ a^n$，可得：
$2^{3x-2y}=2^{3x}÷ 2^{2y}$
2. 逆用幂的乘方法则$a^{mn}=(a^m)^n$，可得：
$2^{3x}=(2^x)^3$，$2^{2y}=(2^y)^2$
3. 代入已知$2^x=5$，$2^y=10$计算：
原式$=(2^x)^3÷(2^y)^2=5^3÷10^2=125÷100=\frac{5}{4}$
【答案】
$\frac{5}{4}$
【知识点】
同底数幂的除法；幂的乘方
【点评】
本题主要考查幂的运算性质的逆用，熟练掌握各运算法则的正、反向变形是解题的核心，属于幂的运算板块的常规基础题型。
【难度系数】
0.7
本题要求计算带指数差的幂的值，解题思路如下：首先观察所求式子的指数是差的形式，可先逆用同底数幂的除法法则，将$2^{3x-2y}$拆分为$2^{3x}÷2^{2y}$；再逆用幂的乘方法则，把$2^{3x}$变形为$(2^x)^3$，$2^{2y}$变形为$(2^y)^2$；最后代入已知的$2^x$、$2^y$的数值计算即可得到结果。
【解析】
根据幂的运算性质逐步变形计算：
1. 逆用同底数幂的除法法则$a^{m-n}=a^m÷ a^n$，可得：
$2^{3x-2y}=2^{3x}÷ 2^{2y}$
2. 逆用幂的乘方法则$a^{mn}=(a^m)^n$，可得：
$2^{3x}=(2^x)^3$，$2^{2y}=(2^y)^2$
3. 代入已知$2^x=5$，$2^y=10$计算：
原式$=(2^x)^3÷(2^y)^2=5^3÷10^2=125÷100=\frac{5}{4}$
【答案】
$\frac{5}{4}$
【知识点】
同底数幂的除法；幂的乘方
【点评】
本题主要考查幂的运算性质的逆用，熟练掌握各运算法则的正、反向变形是解题的核心，属于幂的运算板块的常规基础题型。
【难度系数】
0.7
5.若$(3x-2)^{0}=1$，则$x$应满足的条件是________.
答案
5.$x≠\frac{2}{3}$
解析
【分析】
我们知道零指数幂有意义的前提是底数不能为0，因为0的0次幂没有意义。遇到形如$a^0=1$的式子时，首先要确定底数$a$的取值限制，即$a≠0$。本题中底数是$3x-2$，所以只需要让$3x-2$不等于0，解这个不等式就能得到$x$需要满足的条件。
【解析】
根据零指数幂的定义：任何不等于0的数的0次幂都等于1，可得零指数幂成立的前提是底数不为0。
要使$(3x-2)^0=1$成立，需满足底数$3x-2≠0$，
解不等式：
$3x ≠ 2$
$x ≠ \frac{2}{3}$
【答案】
$x≠\frac{2}{3}$
【知识点】
零指数幂的意义；解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题，核心考查零指数幂有意义的条件，易错点是容易忽略底数不为0的要求，解题时牢记“零指数幂的底数不能为0”是得分关键。
【难度系数】
0.9
我们知道零指数幂有意义的前提是底数不能为0，因为0的0次幂没有意义。遇到形如$a^0=1$的式子时，首先要确定底数$a$的取值限制，即$a≠0$。本题中底数是$3x-2$，所以只需要让$3x-2$不等于0，解这个不等式就能得到$x$需要满足的条件。
【解析】
根据零指数幂的定义：任何不等于0的数的0次幂都等于1，可得零指数幂成立的前提是底数不为0。
要使$(3x-2)^0=1$成立，需满足底数$3x-2≠0$，
解不等式：
$3x ≠ 2$
$x ≠ \frac{2}{3}$
【答案】
$x≠\frac{2}{3}$
【知识点】
零指数幂的意义；解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题，核心考查零指数幂有意义的条件，易错点是容易忽略底数不为0的要求，解题时牢记“零指数幂的底数不能为0”是得分关键。
【难度系数】
0.9
6. 计算：$(-x^{2})^{5} ÷ (x^{10} ÷ x^{2})=$
$-x^2$
.答案
6.$-x^2$
解析
【分析】
解决这道题需按照整式混合运算的顺序逐步计算：先算乘方，再算括号内的运算，最后算括号外的除法。第一步先根据幂的乘方法则计算$(-x^2)^5$，注意负数的奇次幂符号为负，幂的乘方遵循底数不变、指数相乘的规则；第二步根据同底数幂的除法法则计算括号内的$x^{10}÷x^2$，同底数幂相除遵循底数不变、指数相减的规则；第三步计算最终的除法即可得到结果。
【解析】
解：①计算乘方运算：
$(-x^{2})^{5}=(-1)^5 · (x^2)^5 = -x^{2×5}=-x^{10}$
②计算括号内的同底数幂除法：
$x^{10} ÷ x^{2}=x^{10-2}=x^8$
③计算括号外的除法：
$(-x^{10}) ÷ x^8 = -x^{10-8}=-x^2$
【答案】
$-x^2$
【知识点】
幂的乘方运算、同底数幂的除法、整式混合运算
【点评】
本题属于幂运算的基础计算题，解题时要严格遵循运算顺序，重点关注符号的处理和指数的计算，避免因混淆运算法则出现不必要的错误。
【难度系数】
0.75
解决这道题需按照整式混合运算的顺序逐步计算：先算乘方，再算括号内的运算，最后算括号外的除法。第一步先根据幂的乘方法则计算$(-x^2)^5$，注意负数的奇次幂符号为负，幂的乘方遵循底数不变、指数相乘的规则；第二步根据同底数幂的除法法则计算括号内的$x^{10}÷x^2$，同底数幂相除遵循底数不变、指数相减的规则；第三步计算最终的除法即可得到结果。
【解析】
解：①计算乘方运算：
$(-x^{2})^{5}=(-1)^5 · (x^2)^5 = -x^{2×5}=-x^{10}$
②计算括号内的同底数幂除法：
$x^{10} ÷ x^{2}=x^{10-2}=x^8$
③计算括号外的除法：
$(-x^{10}) ÷ x^8 = -x^{10-8}=-x^2$
【答案】
$-x^2$
【知识点】
幂的乘方运算、同底数幂的除法、整式混合运算
【点评】
本题属于幂运算的基础计算题，解题时要严格遵循运算顺序，重点关注符号的处理和指数的计算，避免因混淆运算法则出现不必要的错误。
【难度系数】
0.75
7. 已知 $ x^a = 3, x^b = 6, x^c = 12 $。
(1)求证：$ a + c = 2b $；
(2)求 $ x^{2a - b + c} $ 的值。
(1)求证：$ a + c = 2b $；
(2)求 $ x^{2a - b + c} $ 的值。
答案
7.解:(1)证明:因为 $x^a · x^c = 3×12 = 36 = 6^2 = (x^b)^2 = x^{2b}$,所以 $x^{a+c}=x^{2b}$,所以 $a+c=2b$.
(2)$x^{2a-b+c}=\frac{x^{2a}}{x^b}·x^c=\frac{(x^a)^2}{x^b}·x^c=\frac{3^2}{6}×12=18.$
(2)$x^{2a-b+c}=\frac{x^{2a}}{x^b}·x^c=\frac{(x^a)^2}{x^b}·x^c=\frac{3^2}{6}×12=18.$
解析
【分析】
(1)要证明$a+c=2b$，在底数$x$不为0和1的前提下，只需证明对应的同底数幂相等即可。先利用同底数幂的乘法法则计算$x^a·x^c$的结果，再利用幂的乘方法则计算$(x^b)^2$的结果，对比两个结果即可完成证明。
(2)求$x^{2a-b+c}$的值，可根据同底数幂的乘除法则、幂的乘方法则，将原式变形为用$x^a$、$x^b$、$x^c$表示的形式，再代入已知数值计算即可。
【解析】
(1)证明：因为$x^a · x^c = 3×12 = 36$，$(x^b)^2 = 6^2 = 36$，所以$x^{a+c}=x^{2b}$，根据同底数幂相等时，若底数不为0和1则指数相等，可得$a+c=2b$。
(2)根据幂的运算法则变形得：
$x^{2a-b+c}=x^{2a}÷x^b·x^c=(x^a)^2÷x^b·x^c$
将$x^a = 3, x^b = 6, x^c = 12$代入上式：
原式$=3^2÷6×12=9÷6×12=18$
【答案】
(1)证明成立；(2)$18$
【知识点】
同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方
【点评】
本题考查幂的运算性质的灵活应用，熟练掌握幂的各类运算法则，并且能根据题目需求逆用运算法则是解题的关键，能有效巩固幂运算的相关知识。
【难度系数】
0.7
(1)要证明$a+c=2b$，在底数$x$不为0和1的前提下，只需证明对应的同底数幂相等即可。先利用同底数幂的乘法法则计算$x^a·x^c$的结果，再利用幂的乘方法则计算$(x^b)^2$的结果，对比两个结果即可完成证明。
(2)求$x^{2a-b+c}$的值，可根据同底数幂的乘除法则、幂的乘方法则，将原式变形为用$x^a$、$x^b$、$x^c$表示的形式，再代入已知数值计算即可。
【解析】
(1)证明：因为$x^a · x^c = 3×12 = 36$，$(x^b)^2 = 6^2 = 36$，所以$x^{a+c}=x^{2b}$，根据同底数幂相等时，若底数不为0和1则指数相等，可得$a+c=2b$。
(2)根据幂的运算法则变形得：
$x^{2a-b+c}=x^{2a}÷x^b·x^c=(x^a)^2÷x^b·x^c$
将$x^a = 3, x^b = 6, x^c = 12$代入上式：
原式$=3^2÷6×12=9÷6×12=18$
【答案】
(1)证明成立；(2)$18$
【知识点】
同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方
【点评】
本题考查幂的运算性质的灵活应用，熟练掌握幂的各类运算法则，并且能根据题目需求逆用运算法则是解题的关键，能有效巩固幂运算的相关知识。
【难度系数】
0.7
8. 已知 $ 3 · 9^m · 27^m = 3^{21} $，求 $ (-m^2)^3 ÷ (m^3 · m^2) $ 的值.
答案
8.解:因为 $3 · 9^m · 27^m = 3 · 3^{2m} · 3^{3m} = 3^{1+5m} = 3^{21}$,所以 $1+5m=21$,解得 $m=4$,所以 $(-m^2)^3 ÷ (m^3 · m^2) = -m^6 ÷ m^5 = -m = -4.$
解析
【分析】
本题需要先求出参数$m$的值，再代入代数式计算结果。解题思路分为两步：第一步处理已知等式，先把等式里所有幂的底数统一为3，根据幂的乘方法则将$9^m$转化为$3^{2m}$、$27^m$转化为$3^{3m}$，再利用同底数幂相乘“底数不变、指数相加”的法则，将等式左边合并为$3^{1+5m}$，根据“同底数幂相等则指数相等”列一元一次方程，即可求出$m$的值；第二步化简所求代数式，先按幂的乘方法则计算$(-m^2)^3$，再按同底数幂的乘、除运算法则化简代数式，最后代入$m$的值计算即可。
【解析】
解：先根据已知条件求$m$的值：
$\because 9^m=(3^2)^m=3^{2m}$，$27^m=(3^3)^m=3^{3m}$
$\therefore 3·9^m·27^m=3·3^{2m}·3^{3m}=3^{1+2m+3m}=3^{1+5m}$
又$\because 3·9^m·27^m=3^{21}$
$\therefore 1+5m=21$
解得$m=4$
再计算所求代数式的值：
$(-m^2)^3÷(m^3· m^2)=(-1)^3·(m^2)^3÷ m^{3+2}=-m^6÷ m^5=-m^{6-5}=-m$
将$m=4$代入，得原式$=-4$
【答案】
$-4$
【知识点】
同底数幂运算、幂的乘方、整式化简求值
【点评】
本题是幂运算的基础综合题，核心是熟练掌握各类幂的运算法则，解题关键是先统一底数，利用同底数幂的性质建立方程求出未知参数，再代入化简后的式子计算即可，注意幂运算中负号的处理，避免因符号错误丢分。
【难度系数】
0.8
本题需要先求出参数$m$的值，再代入代数式计算结果。解题思路分为两步：第一步处理已知等式，先把等式里所有幂的底数统一为3，根据幂的乘方法则将$9^m$转化为$3^{2m}$、$27^m$转化为$3^{3m}$，再利用同底数幂相乘“底数不变、指数相加”的法则，将等式左边合并为$3^{1+5m}$，根据“同底数幂相等则指数相等”列一元一次方程，即可求出$m$的值；第二步化简所求代数式，先按幂的乘方法则计算$(-m^2)^3$，再按同底数幂的乘、除运算法则化简代数式，最后代入$m$的值计算即可。
【解析】
解：先根据已知条件求$m$的值：
$\because 9^m=(3^2)^m=3^{2m}$，$27^m=(3^3)^m=3^{3m}$
$\therefore 3·9^m·27^m=3·3^{2m}·3^{3m}=3^{1+2m+3m}=3^{1+5m}$
又$\because 3·9^m·27^m=3^{21}$
$\therefore 1+5m=21$
解得$m=4$
再计算所求代数式的值：
$(-m^2)^3÷(m^3· m^2)=(-1)^3·(m^2)^3÷ m^{3+2}=-m^6÷ m^5=-m^{6-5}=-m$
将$m=4$代入，得原式$=-4$
【答案】
$-4$
【知识点】
同底数幂运算、幂的乘方、整式化简求值
【点评】
本题是幂运算的基础综合题，核心是熟练掌握各类幂的运算法则，解题关键是先统一底数，利用同底数幂的性质建立方程求出未知参数，再代入化简后的式子计算即可，注意幂运算中负号的处理，避免因符号错误丢分。
【难度系数】
0.8
