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9. 若$(x+1)^{2025 - x}=1$，则$x$的值是（
A.0
B.$-2$
C.0或2025
D.$-2$或0或2025
C
）A.0
B.$-2$
C.0或2025
D.$-2$或0或2025
答案
9.C
解析
【分析】要使一个幂的结果为1，通常有三种可讨论的情况：①1的任意次幂都为1；②任意非零数的0次幂为1；③-1的偶次幂为1。我们分别对三种情况列方程求解，再验证是否符合对应情况的前提条件，舍去不符合的解，即可得到正确的x值。
【解析】我们分三种情况讨论：
1. 当底数为1时，1的任意次幂为1：
令$x+1=1$，解得$x=0$，此时指数$2025-x=2025-0=2025$，$1^{2025}=1$，符合要求，故$x=0$是解。
2. 当指数为0时，非零数的0次幂为1：
令$2025-x=0$，解得$x=2025$，此时底数$x+1=2025+1=2026≠0$，$2026^0=1$，符合要求，故$x=2025$是解。
3. 当底数为-1时，-1的偶次幂为1：
令$x+1=-1$，解得$x=-2$，此时指数$2025-x=2025-(-2)=2027$，2027是奇数，$(-1)^{2027}=-1≠1$，不符合要求，故$x=-2$舍去。
综上，$x$的值为0或2025。
【答案】C
【知识点】零指数幂性质；有理数乘方；分类讨论
【点评】本题需要对幂结果为1的所有情况分类讨论，注意每种情况要同时满足底数和指数的要求，求出解后要验证是否符合条件，避免多解错选。
【难度系数】0.6
【解析】我们分三种情况讨论：
1. 当底数为1时，1的任意次幂为1：
令$x+1=1$，解得$x=0$，此时指数$2025-x=2025-0=2025$，$1^{2025}=1$，符合要求，故$x=0$是解。
2. 当指数为0时，非零数的0次幂为1：
令$2025-x=0$，解得$x=2025$，此时底数$x+1=2025+1=2026≠0$，$2026^0=1$，符合要求，故$x=2025$是解。
3. 当底数为-1时，-1的偶次幂为1：
令$x+1=-1$，解得$x=-2$，此时指数$2025-x=2025-(-2)=2027$，2027是奇数，$(-1)^{2027}=-1≠1$，不符合要求，故$x=-2$舍去。
综上，$x$的值为0或2025。
【答案】C
【知识点】零指数幂性质；有理数乘方；分类讨论
【点评】本题需要对幂结果为1的所有情况分类讨论，注意每种情况要同时满足底数和指数的要求，求出解后要验证是否符合条件，避免多解错选。
【难度系数】0.6
10. 已知$ a = 2025x + 2024 $，$ b = 2025x + 2025 $，$ c = 2025x + 2026 $，那么$ a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ac $的值等于________。
答案
10.3
解析
【分析】
如果直接将a、b、c的表达式代入所求式子计算，运算量很大且容易出错。观察所求式子的结构：它是三个数的平方和减去两两乘积的和，符合完全平方公式的变形特征，因此我们可以先对原式进行恒等变形，将其转化为含有(a-b)、(b-c)、(a-c)的形式，再计算出三个差值（均为不含x的常数），代入后即可快速求出结果，避免复杂运算。
【解析】
先对所求式子进行变形：
$\begin{aligned}a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ac&=\frac{1}{2}×(2a^2 + 2b^2 + 2c^2 - 2ab - 2bc - 2ac)\\&=\frac{1}{2}×[(a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)+(a^2-2ac+c^2)]\\&=\frac{1}{2}×[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]\end{aligned}$
再计算a、b、c两两的差值：
$a-b=(2025x+2024)-(2025x+2025)=-1$
$b-c=(2025x+2025)-(2025x+2026)=-1$
$c-a=(2025x+2026)-(2025x+2024)=2$
将差值代入变形后的式子：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{1}{2}×[(-1)^2+(-1)^2+2^2]\\&=\frac{1}{2}×(1+1+4)\\&=\frac{1}{2}×6\\&=3\end{aligned}$
【答案】
3
【知识点】
完全平方公式，整式化简求值，因式分解应用
【点评】
本题是整式运算中的典型题型，核心技巧是通过对所求代数式的恒等变形，消去式子中的未知数，避免大量复杂运算，解题关键是熟练掌握完全平方公式的常见变形，提升代数式的变形能力。
【难度系数】
0.7
如果直接将a、b、c的表达式代入所求式子计算，运算量很大且容易出错。观察所求式子的结构：它是三个数的平方和减去两两乘积的和，符合完全平方公式的变形特征，因此我们可以先对原式进行恒等变形，将其转化为含有(a-b)、(b-c)、(a-c)的形式，再计算出三个差值（均为不含x的常数），代入后即可快速求出结果，避免复杂运算。
【解析】
先对所求式子进行变形：
$\begin{aligned}a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ac&=\frac{1}{2}×(2a^2 + 2b^2 + 2c^2 - 2ab - 2bc - 2ac)\\&=\frac{1}{2}×[(a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)+(a^2-2ac+c^2)]\\&=\frac{1}{2}×[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]\end{aligned}$
再计算a、b、c两两的差值：
$a-b=(2025x+2024)-(2025x+2025)=-1$
$b-c=(2025x+2025)-(2025x+2026)=-1$
$c-a=(2025x+2026)-(2025x+2024)=2$
将差值代入变形后的式子：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{1}{2}×[(-1)^2+(-1)^2+2^2]\\&=\frac{1}{2}×(1+1+4)\\&=\frac{1}{2}×6\\&=3\end{aligned}$
【答案】
3
【知识点】
完全平方公式，整式化简求值，因式分解应用
【点评】
本题是整式运算中的典型题型，核心技巧是通过对所求代数式的恒等变形，消去式子中的未知数，避免大量复杂运算，解题关键是熟练掌握完全平方公式的常见变形，提升代数式的变形能力。
【难度系数】
0.7
11. 已知$2^a = 3$，$2^b = 6$，$2^c = 12$，现给出$a$，$b$，$c$之间的四个关系式：①$a + c = 2b$；②$a + 2b = 2c$；③$b + c = 2a + 3$；④$2b = a + 2$。其中正确的关系式有________。（填序号）
答案
11.①③
解析
【分析】
本题可利用同底数幂的乘法、幂的乘方的运算性质验证关系式：由于底数2不为0且不为1，若两个以2为底的幂相等，则它们的指数一定相等。我们只需把待验证的指数关系分别作为2的指数，计算对应幂的结果是否相等，即可判断关系式是否成立，逐个验证四个关系式即可。
【解析】
已知$2^a = 3$，$2^b = 6$，$2^c = 12$，结合幂的运算法则逐一验证：
1. 验证①$a + c = 2b$
左边：$2^{a+c}=2^a · 2^c = 3 × 12 = 36$
右边：$2^{2b}=(2^b)^2 = 6^2 = 36$
可得$2^{a+c}=2^{2b}$，故$a+c=2b$，①正确。
2. 验证②$a + 2b = 2c$
左边：$2^{a+2b}=2^a · (2^b)^2 = 3 × 6^2 = 108$
右边：$2^{2c}=(2^c)^2 = 12^2 = 144$
$108 ≠ 144$，故②错误。
3. 验证③$b + c = 2a + 3$
左边：$2^{b+c}=2^b · 2^c = 6 × 12 = 72$
右边：$2^{2a+3}=(2^a)^2 · 2^3 = 3^2 × 8 = 72$
可得$2^{b+c}=2^{2a+3}$，故$b+c=2a+3$，③正确。
4. 验证④$2b = a + 2$
左边：$2^{2b}=(2^b)^2 = 6^2 = 36$
右边：$2^{a+2}=2^a · 2^2 = 3 × 4 = 12$
$36 ≠ 12$，故④错误。
【答案】
①③
【知识点】
同底数幂的乘法、幂的乘方、指数的性质
【点评】
本题是幂的运算法则的典型应用题型，通过将指数关系转化为幂的运算验证，能有效降低解题难度，解题核心是熟练掌握幂的运算法则，灵活进行等量转化。
【难度系数】
0.7
本题可利用同底数幂的乘法、幂的乘方的运算性质验证关系式：由于底数2不为0且不为1，若两个以2为底的幂相等，则它们的指数一定相等。我们只需把待验证的指数关系分别作为2的指数，计算对应幂的结果是否相等，即可判断关系式是否成立，逐个验证四个关系式即可。
【解析】
已知$2^a = 3$，$2^b = 6$，$2^c = 12$，结合幂的运算法则逐一验证：
1. 验证①$a + c = 2b$
左边：$2^{a+c}=2^a · 2^c = 3 × 12 = 36$
右边：$2^{2b}=(2^b)^2 = 6^2 = 36$
可得$2^{a+c}=2^{2b}$，故$a+c=2b$，①正确。
2. 验证②$a + 2b = 2c$
左边：$2^{a+2b}=2^a · (2^b)^2 = 3 × 6^2 = 108$
右边：$2^{2c}=(2^c)^2 = 12^2 = 144$
$108 ≠ 144$，故②错误。
3. 验证③$b + c = 2a + 3$
左边：$2^{b+c}=2^b · 2^c = 6 × 12 = 72$
右边：$2^{2a+3}=(2^a)^2 · 2^3 = 3^2 × 8 = 72$
可得$2^{b+c}=2^{2a+3}$，故$b+c=2a+3$，③正确。
4. 验证④$2b = a + 2$
左边：$2^{2b}=(2^b)^2 = 6^2 = 36$
右边：$2^{a+2}=2^a · 2^2 = 3 × 4 = 12$
$36 ≠ 12$，故④错误。
【答案】
①③
【知识点】
同底数幂的乘法、幂的乘方、指数的性质
【点评】
本题是幂的运算法则的典型应用题型，通过将指数关系转化为幂的运算验证，能有效降低解题难度，解题核心是熟练掌握幂的运算法则，灵活进行等量转化。
【难度系数】
0.7
12. 观察下列各式的规律：
$15^2=225=100×1×(1+1)+25$；
$25^2=625=100×2×(2+1)+25$；
$35^2=1\,225=100×3×(3+1)+25$；
$45^2=2\,025=100×4×(4+1)+25$；
……
根据上述规律，解决下面问题：
(1)$75^2=5\,625=$______；
(2)观察以上结果，猜想：$(10n+5)^2=$______，并说明其正确性；
(3)利用上述结论，计算：$2\,025^2$.
$15^2=225=100×1×(1+1)+25$；
$25^2=625=100×2×(2+1)+25$；
$35^2=1\,225=100×3×(3+1)+25$；
$45^2=2\,025=100×4×(4+1)+25$；
……
根据上述规律，解决下面问题：
(1)$75^2=5\,625=$______；
(2)观察以上结果，猜想：$(10n+5)^2=$______，并说明其正确性；
(3)利用上述结论，计算：$2\,025^2$.
答案
12.解:(1)$100×7×(7+1)+25$
(2)$100n(n+1)+25$ 理由:$(10n+5)^{2}=100n^{2}+100n+25=100n(n+1)+25.$
(3)$2 025^{2}=100×202×203+25=4 100 625.$
(2)$100n(n+1)+25$ 理由:$(10n+5)^{2}=100n^{2}+100n+25=100n(n+1)+25.$
(3)$2 025^{2}=100×202×203+25=4 100 625.$
解析
【分析】
解题时先观察给出式子的共同特征：所有式子都是末位为5的正整数的平方，规律为：把该数去掉个位的5之后剩下的数记为a，它的平方就等于100×a×(a+1)+25。(1)直接套用规律，75去掉个位5剩下的数是7，代入规律即可；(2)(10n+5)去掉个位5剩下的数就是n，先猜想结果，再利用完全平方公式展开化简，验证猜想的正确性；(3)先确定2025去掉个位5后剩下的数是202，代入规律公式计算即可得到结果。
【解析】
(1) 参照已知规律，15对应乘1，25对应乘2，以此类推，75对应乘7，因此可得：
$75^2=100×7×(7+1)+25$
(2) 猜想：$(10n+5)^2=100n(n+1)+25$，验证如下：
根据完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，把$a=10n$，$b=5$代入得：
$\begin{aligned}(10n+5)^2&=(10n)^2 + 2×10n×5 + 5^2\\&=100n^2 + 100n + 25\\&=100n(n+1)+25\end{aligned}$
因此猜想成立。
(3) 首先确定$2025=10×202 + 5$，即式中$n=202$，代入上述结论得：
$\begin{aligned}2025^2&=100×202×(202+1)+25\\&=100×202×203 +25\\&=100×41006 +25\\&=4100600 +25\\&=4100625\end{aligned}$
【答案】
(1)$100×7×(7+1)+25$
(2)$100n(n+1)+25$，理由见解析
(3)$4100625$
【知识点】
数字规律探究，完全平方公式，整式乘法应用
【点评】
本题是典型的规律探究类题目，遵循从特殊到一般的探究思路，先通过具体示例总结出末位为5的正整数的平方的速算规律，再用整式运算验证规律，最后运用规律解决大数计算问题，既锻炼了观察归纳能力，也强化了整式运算的相关技能，规律具备较强的实用性。
【难度系数】
0.7
解题时先观察给出式子的共同特征：所有式子都是末位为5的正整数的平方，规律为：把该数去掉个位的5之后剩下的数记为a，它的平方就等于100×a×(a+1)+25。(1)直接套用规律，75去掉个位5剩下的数是7，代入规律即可；(2)(10n+5)去掉个位5剩下的数就是n，先猜想结果，再利用完全平方公式展开化简，验证猜想的正确性；(3)先确定2025去掉个位5后剩下的数是202，代入规律公式计算即可得到结果。
【解析】
(1) 参照已知规律，15对应乘1，25对应乘2，以此类推，75对应乘7，因此可得：
$75^2=100×7×(7+1)+25$
(2) 猜想：$(10n+5)^2=100n(n+1)+25$，验证如下：
根据完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，把$a=10n$，$b=5$代入得：
$\begin{aligned}(10n+5)^2&=(10n)^2 + 2×10n×5 + 5^2\\&=100n^2 + 100n + 25\\&=100n(n+1)+25\end{aligned}$
因此猜想成立。
(3) 首先确定$2025=10×202 + 5$，即式中$n=202$，代入上述结论得：
$\begin{aligned}2025^2&=100×202×(202+1)+25\\&=100×202×203 +25\\&=100×41006 +25\\&=4100600 +25\\&=4100625\end{aligned}$
【答案】
(1)$100×7×(7+1)+25$
(2)$100n(n+1)+25$，理由见解析
(3)$4100625$
【知识点】
数字规律探究，完全平方公式，整式乘法应用
【点评】
本题是典型的规律探究类题目，遵循从特殊到一般的探究思路，先通过具体示例总结出末位为5的正整数的平方的速算规律，再用整式运算验证规律，最后运用规律解决大数计算问题，既锻炼了观察归纳能力，也强化了整式运算的相关技能，规律具备较强的实用性。
【难度系数】
0.7
