1. 菱形ABCD的一个锐角为$60°$,边长为1cm,则其较短对角线的长为________cm.

1

根据菱形的性质可知，菱形的四条边长度相等，已知该菱形边长为1cm，因此锐角的两条邻边长度均为1cm。菱形的60°锐角所对的对角线是较短对角线，这条对角线和锐角的两条邻边共同构成了有一个内角为60°的等腰三角形，也就是等边三角形，因此较短对角线的长度等于菱形的边长。

2. 一个菱形的两条对角线长分别为6cm，8cm，则这个菱形的周长是（）.

A.5 cm
B.10 cm
C.15 cm
D.20 cm

D

根据菱形的性质，菱形的对角线互相垂直且平分，可得两条对角线的一半长度分别为6÷2=3cm、8÷2=4cm。由勾股定理计算菱形的边长为$\sqrt{3^2+4^2}=5$cm。由于菱形四条边长度相等，因此周长为$4×5=20$cm。

3. 如图,四边形ABCD的对角线互相垂直,且OB=OD,请你添加一个适当的条件,使ABCD成为菱形:.
(只需添加一个即可)

$OA=OC$（答案不唯一）

已知四边形ABCD的对角线互相垂直，即$AC⊥ BD$，且$OB=OD$。根据菱形的判定定理：对角线互相垂直平分的四边形是菱形，只需补充条件让两条对角线互相平分，即可判定四边形ABCD为菱形；也可通过先证四边形是平行四边形，结合对角线垂直得到菱形，或利用邻边相等结合已有条件推导，任选一个符合要求的条件即可。

4. 如图,四边形ABCD中,AC=a, BD=b, AC⊥BD,顺次连结四边形ABCD各边中点,得到四边形$A_1B_1C_1D_1$;再顺次连结四边形$A_1B_1C_1D_1$各边中点,得到四边形$A_2B_2C_2D_2$……如此进行下去,得到四边形$A_nB_nC_nD_n$. 给出下列结论:①四边形$A_2B_2C_2D_2$是矩形;②四边形$A_4B_4C_4D_4$是菱形;③四边形$A_5B_5C_5D_5$的周长是$\frac{a+b}{4}$;④四边形$A_nB_nC_nD_n$的面积是$\frac{ab}{2^{n+1}}$. 其中正确的结论有 ().

A.①②
B.②③
C.②③④
D.①②③④

C

根据三角形中位线定理逐步推导：
1. 由中位线性质，$A_1B_1// AC$且$A_1B_1=\frac{AC}{2}$，$C_1D_1// AC$且$C_1D_1=\frac{AC}{2}$，故$A_1B_1C_1D_1$是平行四边形；结合$AC⊥ BD$，可得$A_1B_1⊥ A_1D_1$，因此$A_1B_1C_1D_1$是邻边长为$\frac{a}{2}$、$\frac{b}{2}$的矩形。
2. 顺次连接矩形$A_1B_1C_1D_1$各边中点得到的$A_2B_2C_2D_2$，四条边均等于矩形对角线的一半，四边相等，是菱形，故①错误。
3. 按此规律：下标为奇数的四边形是矩形，下标为偶数的四边形是菱形，因此$A_4B_4C_4D_4$是菱形，②正确。
4. 周长规律：$A_1$周长为$a+b$，$A_3$周长为$\frac{a+b}{2}$，$A_5$周长为$\frac{a+b}{4}$，③正确。
5. 原四边形$ABCD$面积为$\frac{ab}{2}$，每次得到的新四边形面积是前一个的$\frac{1}{2}$，因此四边形$A_nB_nC_nD_n$的面积是$\frac{ab}{2^{n+1}}$，④正确。
综上正确结论为②③④。

5. 如图,在菱形$ABCD$中,$∠BAD=2∠B$, $E$为$BC$的中点. 求证:$AE⊥BC$.

证明：
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ AB=BC，AD//BC，
∴ ∠BAD + ∠B = 180°（两直线平行，同旁内角互补），
又∵ ∠BAD=2∠B，
∴ 2∠B + ∠B = 180°，
解得∠B=60°，
∴ △ABC中，AB=BC，∠B=60°，△ABC为等边三角形，
∵ E为BC的中点，
∴ AE⊥BC（等边三角形底边上的中线与底边上的高重合，三线合一）。

1. 利用菱形的性质：菱形四条边相等、对边平行，可得AB=BC，AD//BC，由平行线同旁内角互补得到∠BAD + ∠B = 180°；
2. 结合已知条件∠BAD=2∠B，代入计算得∠B=60°，由此可判定有一个角为60°的等腰△ABC是等边三角形；
3. 结合E是BC中点，根据等边三角形三线合一的性质，即可证明AE⊥BC。

6. 如图, 在 $△ ABC$ 中, $D, E$ 分别是 $AB, AC$ 的中点, $BE=2DE$, 延长 $DE$ 到点 $F$, 使得 $EF=BE$, 连结 $CF$.
(1) 四边形 $BCFE$ 是什么形状的特殊四边形? 请证明你的结论.
(2) 若 $CE=4, ∠ BCF=120°$, 求四边形 $BCFE$ 的面积.

(1) 四边形BCFE是菱形；(2) 四边形BCFE的面积为$8\sqrt{3}$。

(1) 判定四边形BCFE是菱形，证明如下：
∵ D、E分别是AB、AC的中点，
∴ DE是△ABC的中位线，
根据三角形中位线性质可得：$DE// BC$，且$BC=2DE$。
已知$BE=2DE$，$EF=BE$，因此$EF=BE=BC$，且$EF// BC$，
∴ 四边形BCFE是平行四边形，
又∵ $BE=EF$，根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”，可得平行四边形BCFE是菱形。
(2) 计算四边形BCFE的面积：
∵ 四边形BCFE是菱形，
∴ $BC=BE$，$BE// CF$，
由$BE// CF$得$∠ EBC + ∠ BCF = 180°$，
已知$∠ BCF=120°$，因此$∠ EBC=60°$，
结合$BC=BE$，可得$△ BCE$是等边三角形，
∴ $BC=CE=4$。
菱形BCFE的高为$h=BC· \sin60°=4×\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$，
因此四边形BCFE的面积$S=BC· h=4×2\sqrt{3}=8\sqrt{3}$。