6. 如图，$AD // BC$，$M$，$N$，$E$，$F$分别是$AD$，$BC$，$BD$，$AC$的中点.
（1）四边形$MENF$是平行四边形吗？请证明你的结论.
（2）当$∠ ACD=30°$，$∠ BAC=90°$时，$∠ NFM$是多少度？

（1）四边形MENF是平行四边形，证明如上；（2）$∠ NFM = 60°$

（1）四边形MENF是平行四边形，证明如下：
根据三角形中位线的性质：
∵M，E分别是AD，BD的中点，
∴ME是△ABD的中位线，可得$ME// AB$，且$ME = \frac{1}{2}AB$。
∵F，N分别是AC，BC的中点，
∴FN是△ABC的中位线，可得$FN// AB$，且$FN = \frac{1}{2}AB$。
∴$ME// FN$，且$ME = FN$，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，可证四边形MENF是平行四边形。
（2）求解$∠ NFM$的度数：
∵M，F分别是AD，AC的中点，
∴MF是△ADC的中位线，可得$MF// CD$。
由两直线平行，同旁内角互补，得$∠ CFM + ∠ ACD = 180°$，
已知$∠ ACD=30°$，代入得$∠ CFM = 180° - 30° = 150°$。
又∵N，F分别是BC，AC的中点，
∴FN是△ABC的中位线，可得$FN// AB$。
已知$∠ BAC=90°$，即$AB⊥ AC$，因此$FN⊥ AC$，得$∠ CFN = 90°$。
因此$∠ NFM = ∠ CFM - ∠ CFN = 150° - 90° = 60°$。

1. 下列说法不正确的是（）.

A.有三个角是直角的四边形是矩形
B.对角线相等的平行四边形是矩形
C.内角都相等的四边形是矩形
D.邻角互补的四边形是矩形

D

逐个分析选项：
1. 四边形内角和为360°，有三个角是直角时，第四个角也为90°，四个角均为直角的四边形是矩形，A说法正确。
2. 对角线相等的平行四边形是矩形，属于矩形的判定定理，B说法正确。
3. 内角都相等的四边形，每个内角为360°÷4=90°，四个角均为直角，是矩形，C说法正确。
4. 邻角互补的四边形只能推出两组对边分别平行，属于平行四边形，但不一定是矩形，比如普通平行四边形邻角也互补，不符合矩形要求，D说法错误。

2. 如果用四个相同的长为 3、宽为 1 的长方形拼成一个大的长方形,那么这个大长方形的周长可以是.

14、16、26

我们分不同拼接方式讨论求解：
1. 先计算4个小长方形的总面积：$S=4×3×1=12$，拼接得到的大长方形面积和该总面积相等。
2. 拼接方式1：将4个小长方形沿长边依次拼接成1行，得到大长方形长为$3×4=12$，宽为1，周长为$(12+1)×2=26$。
3. 拼接方式2：将4个小长方形沿宽边依次拼接成1行，得到大长方形长为$1×4=4$，宽为3，周长为$(4+3)×2=14$。
4. 拼接方式3：将4个小长方形排成2行2列，每行2个沿长边拼接，每列2个沿宽边拼接，得到大长方形长为$3×2=6$，宽为$1×2=2$，周长为$(6+2)×2=16$。
因此符合要求的大长方形周长共有三种可能。

3. 如图,矩形ABCD的顶点B在矩形AEFC的边EF上,若矩形ABCD和矩形AEFC的面积分别是$S_1$,$S_2$,则$S_1$,$S_2$的大小关系是().

A.$S_1 ＞ S_2$
B.$S_1 = S_2$
C.$S_1 ＜ S_2$
D.$3S_1 = 2S_2$

B

1. 对于矩形ABCD，对角线AC将其分成两个全等的三角形，因此$△ ABC$的面积是矩形ABCD面积的一半，即$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}S_1$。
2. 对于矩形AEFC，AC和EF是一组对边，点B在EF上，$△ ABC$以AC为底的高恰好等于矩形AEFC中AC边上的高，因此$△ ABC$的面积也是矩形AEFC面积的一半，即$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}S_2$。
3. 联立两式可得$\frac{1}{2}S_1=\frac{1}{2}S_2$，因此$S_1=S_2$。

4. 如图,将矩形ABCD沿着直线BD折叠,使点C落在点$C'$处,$BC'$交AD于点E.已知$AD=8$,$AB=4$,求DE的长.

$DE$的长为$\boldsymbol{5}$

1. 根据矩形性质：四边形ABCD是矩形，因此$AD// BC$，$∠ A=90°$，可得内错角$∠ ADB=∠ CBD$。
2. 根据折叠的性质：折叠后$∠ C'BD=∠ CBD$，因此$∠ ADB=∠ C'BD$，由等角对等边可得$BE=DE$。
3. 设$DE=x$，则$BE=x$，$AE=AD-DE=8-x$。
4. 在$\mathrm{Rt}△ ABE$中，由勾股定理$AB^2+AE^2=BE^2$，代入$AB=4$得：
$4^2+(8-x)^2=x^2$
展开化简：$16+64-16x+x^2=x^2$，解得$x=5$。

5. 如图,在$△ ABC$中, $P$是$AC$上的一个动点,过点$P$作直线$EF // BC$, $EF$交$∠ ACB$的平分线于点$D$,交其外角平分线于点$E$.
(1) $EP$与$DP$相等吗?
(2) 当点$P$运动到何处时,四边形$ADCE$是矩形?

(1) EP与DP相等；(2) 当点P运动到AC的中点时，四边形ADCE是矩形。

(1) 推导EP与DP的数量关系：
∵ CD平分∠ACB，∴ ∠ACD = ∠BCD，
又∵ EF//BC，∴ ∠PDC = ∠BCD，
∴ ∠ACD = ∠PDC，根据等角对等边可得PD = PC。
设∠ACB的外角为∠ACG，∵ CE平分∠ACG，∴ ∠ACE = ∠ECG，
又∵ EF//BC，∴ ∠PEC = ∠ECG，
∴ ∠PEC = ∠ACE，根据等角对等边可得PE = PC。
∴ PE = PD，即EP=DP。
(2) 推导P的位置使四边形ADCE为矩形：
∵ CD是∠ACB的平分线，CE是∠ACB外角的平分线，
∴ ∠DCE = ∠ACD + ∠ACE = $\frac{1}{2}$∠ACB + $\frac{1}{2}$∠ACG = $\frac{1}{2}$×180° = 90°。
当点P运动到AC的中点时，AP=PC，
结合(1)的结论EP=DP，可得四边形ADCE的对角线互相平分，因此四边形ADCE是平行四边形，
又∵ ∠DCE=90°，根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”，可知此时四边形ADCE是矩形。