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3. 已知关于$ x $的一元二次方程$ x^2 - (2m - 6)x + m^2 - 4m + 3 = 0 $有实数根.
（1）求$ m $的取值范围.
（2）设方程的两实数根分别为$ x_1 $与$ x_2 $，若$ x_1x_2 - x_1^2 - x_2^2 = -7 $，求$ m $的值.
（1）求$ m $的取值范围.
（2）设方程的两实数根分别为$ x_1 $与$ x_2 $，若$ x_1x_2 - x_1^2 - x_2^2 = -7 $，求$ m $的值.
答案
（1）$m≤3$；（2）$m=2$
解析
（1）对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，方程有实数根则判别式$\Delta = b^2-4ac ≥ 0$。
本题中$a=1$，$b=-(2m-6)$，$c=m^2-4m+3$，代入得：
$\begin{aligned}\Delta&=[-(2m-6)]^2 - 4×1×(m^2-4m+3)\\&=4m^2-24m+36 -4m^2+16m-12\\&=-8m+24\end{aligned}$
由$\Delta≥0$，即$-8m+24≥0$，解得$m≤3$。
（2）根据一元二次方程根与系数的关系，可得：
$x_1+x_2=2m-6$，$x_1x_2=m^2-4m+3$。
对已知条件$x_1x_2 - x_1^2 - x_2^2 = -7$变形：
利用完全平方公式$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$，代入原式得：
$\begin{aligned}x_1x_2 - [(x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2]&=-7\\3x_1x_2 - (x_1+x_2)^2&=-7\end{aligned}$
将$x_1+x_2$和$x_1x_2$的表达式代入上式：
$\begin{aligned}3(m^2-4m+3)-(2m-6)^2&=-7\\3m^2-12m+9 -4m^2+24m-36&=-7\\-m^2+12m-20&=0\\m^2-12m+20&=0\end{aligned}$
因式分解得$(m-2)(m-10)=0$，解得$m_1=2$，$m_2=10$。
结合（1）中$m≤3$的取值范围，舍去$m=10$，故$m=2$。
本题中$a=1$，$b=-(2m-6)$，$c=m^2-4m+3$，代入得：
$\begin{aligned}\Delta&=[-(2m-6)]^2 - 4×1×(m^2-4m+3)\\&=4m^2-24m+36 -4m^2+16m-12\\&=-8m+24\end{aligned}$
由$\Delta≥0$，即$-8m+24≥0$，解得$m≤3$。
（2）根据一元二次方程根与系数的关系，可得：
$x_1+x_2=2m-6$，$x_1x_2=m^2-4m+3$。
对已知条件$x_1x_2 - x_1^2 - x_2^2 = -7$变形：
利用完全平方公式$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$，代入原式得：
$\begin{aligned}x_1x_2 - [(x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2]&=-7\\3x_1x_2 - (x_1+x_2)^2&=-7\end{aligned}$
将$x_1+x_2$和$x_1x_2$的表达式代入上式：
$\begin{aligned}3(m^2-4m+3)-(2m-6)^2&=-7\\3m^2-12m+9 -4m^2+24m-36&=-7\\-m^2+12m-20&=0\\m^2-12m+20&=0\end{aligned}$
因式分解得$(m-2)(m-10)=0$，解得$m_1=2$，$m_2=10$。
结合（1）中$m≤3$的取值范围，舍去$m=10$，故$m=2$。
4. 已知一元二次方程$4x^2 - 7x + 1 = 0$的两个根分别为$α$，$β$，不解方程，求下列各式的值.
（1）$α^2β + αβ^2$.
（2）$\dfrac{β}{α} + \dfrac{α}{β}$.
（1）$α^2β + αβ^2$.
（2）$\dfrac{β}{α} + \dfrac{α}{β}$.
答案
（1）$\frac{7}{16}$；（2）$\frac{41}{4}$
解析
首先根据一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），对于方程$4x^2 -7x +1=0$，其中二次项系数$a=4$，一次项系数$b=-7$，常数项$c=1$，可得两根之和$α+β=-\frac{b}{a}=\frac{7}{4}$，两根之积$αβ=\frac{c}{a}=\frac{1}{4}$。
（1）对所求式子因式分解：$α^2β + αβ^2 = αβ(α+β)$，将$α+β=\frac{7}{4}$，$αβ=\frac{1}{4}$代入，得原式$=\frac{1}{4} × \frac{7}{4} = \frac{7}{16}$。
（2）先对所求式子通分变形：$\frac{β}{α}+\frac{α}{β}=\frac{α^2+β^2}{αβ}$，再利用完全平方公式将分子变形为$α^2+β^2=(α+β)^2-2αβ$，代入数值计算：分子$=(\frac{7}{4})^2 - 2×\frac{1}{4}=\frac{49}{16}-\frac{1}{2}=\frac{41}{16}$，因此原式$=\frac{\frac{41}{16}}{\frac{1}{4}}=\frac{41}{4}$。
（1）对所求式子因式分解：$α^2β + αβ^2 = αβ(α+β)$，将$α+β=\frac{7}{4}$，$αβ=\frac{1}{4}$代入，得原式$=\frac{1}{4} × \frac{7}{4} = \frac{7}{16}$。
（2）先对所求式子通分变形：$\frac{β}{α}+\frac{α}{β}=\frac{α^2+β^2}{αβ}$，再利用完全平方公式将分子变形为$α^2+β^2=(α+β)^2-2αβ$，代入数值计算：分子$=(\frac{7}{4})^2 - 2×\frac{1}{4}=\frac{49}{16}-\frac{1}{2}=\frac{41}{16}$，因此原式$=\frac{\frac{41}{16}}{\frac{1}{4}}=\frac{41}{4}$。
5. 赛赛同学在学习《一元二次方程》中做过这样一道题：
已知实数 $a$，$b$ 满足 $a^2 - 2a - 1 = 0$，$b^2 - 2b - 1 = 0$，且 $a ≠ b$，求 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ 的值.
解:根据题意得 $a$ 与 $b$ 为方程 $x^2 - 2x - 1 = 0$ 的两根，
所以 $a + b = 2$，$ab = -1$，
所以 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{a + b}{ab} = \frac{2}{-1} = -2$.
请认真阅读赛赛同学解题的方法,仔细思考.解决问题:
(1) 已知实数 $a$，$b$ 满足 $a^2 - 2a - 1 = 0$，$b^2 - 2b - 1 = 0$，且 $a ≠ b$，求 $\frac{b}{a} + \frac{a}{b}$ 的值.
(2) 已知关于 $x$ 的方程 $(m - 1)x^2 + 2mx + 2 = 0$ 有两个根 $x_1$，$x_2$，且满足 $\frac{x_2}{x_1} + \frac{x_1}{x_2} + x_1 + x_2 = 2$. 当 $△ ABC$ 的三边 $a$，$b$，$c$ 满足 $c = 2\sqrt{3}$，$m^2 + a^2m - 8a = 0$，$m^2 + b^2m - 8b = 0$ ($a ≠ b$)，求 $m$ 的值以及 $△ ABC$ 的面积.
已知实数 $a$，$b$ 满足 $a^2 - 2a - 1 = 0$，$b^2 - 2b - 1 = 0$，且 $a ≠ b$，求 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ 的值.
解:根据题意得 $a$ 与 $b$ 为方程 $x^2 - 2x - 1 = 0$ 的两根，
所以 $a + b = 2$，$ab = -1$，
所以 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{a + b}{ab} = \frac{2}{-1} = -2$.
请认真阅读赛赛同学解题的方法,仔细思考.解决问题:
(1) 已知实数 $a$，$b$ 满足 $a^2 - 2a - 1 = 0$，$b^2 - 2b - 1 = 0$，且 $a ≠ b$，求 $\frac{b}{a} + \frac{a}{b}$ 的值.
(2) 已知关于 $x$ 的方程 $(m - 1)x^2 + 2mx + 2 = 0$ 有两个根 $x_1$，$x_2$，且满足 $\frac{x_2}{x_1} + \frac{x_1}{x_2} + x_1 + x_2 = 2$. 当 $△ ABC$ 的三边 $a$，$b$，$c$ 满足 $c = 2\sqrt{3}$，$m^2 + a^2m - 8a = 0$，$m^2 + b^2m - 8b = 0$ ($a ≠ b$)，求 $m$ 的值以及 $△ ABC$ 的面积.
答案
(1) $\frac{b}{a}+\frac{a}{b}$的值为$-6$；(2) $m$的值为$2$，$△ ABC$的面积为$1$。
解析
(1) 由题意可知，$a$、$b$是一元二次方程$x^2 - 2x -1=0$的两个不相等的实数根，根据根与系数的关系（韦达定理）可得：
$a+b=2$，$ab=-1$
将所求式子变形为：
$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}=\frac{a^2 + b^2}{ab}=\frac{(a+b)^2 - 2ab}{ab}$
代入数值计算：
$\frac{2^2 - 2×(-1)}{-1}=\frac{4+2}{-1}=-6$
(2) ① 求$m$的值：
已知方程$(m-1)x^2 + 2mx + 2 = 0$是一元二次方程，因此$m-1≠0$，即$m≠1$，由根与系数的关系得：
$x_1+x_2=-\frac{2m}{m-1}$，$x_1x_2=\frac{2}{m-1}$
将条件$\frac{x_2}{x_1}+\frac{x_1}{x_2}+x_1+x_2=2$变形：
$\frac{x_1^2 + x_2^2}{x_1x_2} + x_1+x_2 = 2 \implies \frac{(x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2}{x_1x_2} + x_1+x_2 = 2$
代入根与系数的结果化简，整理得$m^2 - 3m + 2 = 0$，解得$m_1=1$（不符合一元二次方程定义，舍去），$m_2=2$。
② 求$△ ABC$的面积：
将$m=2$代入$m^2 + a^2m -8a=0$、$m^2 + b^2m -8b=0$，可得$2a^2 -8a +4=0$，$2b^2 -8b +4=0$，结合$a≠ b$，可知$a$、$b$是一元二次方程$2x^2 -8x +4=0$的两个不等正实根，由根与系数的关系得：
$a+b=4$，$ab=2$
计算得$a^2 + b^2=(a+b)^2 - 2ab=4^2 - 2×2=12$，又$c=2\sqrt{3}$，因此$c^2=(2\sqrt{3})^2=12$，即$a^2 + b^2 = c^2$，$△ ABC$是直角三角形，直角边为$a$、$b$，因此面积$S=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}×2=1$。
$a+b=2$，$ab=-1$
将所求式子变形为：
$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}=\frac{a^2 + b^2}{ab}=\frac{(a+b)^2 - 2ab}{ab}$
代入数值计算：
$\frac{2^2 - 2×(-1)}{-1}=\frac{4+2}{-1}=-6$
(2) ① 求$m$的值：
已知方程$(m-1)x^2 + 2mx + 2 = 0$是一元二次方程，因此$m-1≠0$，即$m≠1$，由根与系数的关系得：
$x_1+x_2=-\frac{2m}{m-1}$，$x_1x_2=\frac{2}{m-1}$
将条件$\frac{x_2}{x_1}+\frac{x_1}{x_2}+x_1+x_2=2$变形：
$\frac{x_1^2 + x_2^2}{x_1x_2} + x_1+x_2 = 2 \implies \frac{(x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2}{x_1x_2} + x_1+x_2 = 2$
代入根与系数的结果化简，整理得$m^2 - 3m + 2 = 0$，解得$m_1=1$（不符合一元二次方程定义，舍去），$m_2=2$。
② 求$△ ABC$的面积：
将$m=2$代入$m^2 + a^2m -8a=0$、$m^2 + b^2m -8b=0$，可得$2a^2 -8a +4=0$，$2b^2 -8b +4=0$，结合$a≠ b$，可知$a$、$b$是一元二次方程$2x^2 -8x +4=0$的两个不等正实根，由根与系数的关系得：
$a+b=4$，$ab=2$
计算得$a^2 + b^2=(a+b)^2 - 2ab=4^2 - 2×2=12$，又$c=2\sqrt{3}$，因此$c^2=(2\sqrt{3})^2=12$，即$a^2 + b^2 = c^2$，$△ ABC$是直角三角形，直角边为$a$、$b$，因此面积$S=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}×2=1$。
