1. 若关于$x$的一元二次方程$x^2 - 2x + m = 0$有一个解为$x = -1$，则另一个解为（$\quad\quad$）.

A.$1$
B.$-3$
C.$3$
D.$4$

C

方法一：设方程另一个解为$x_2$，对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$，两根之和为$-\frac{b}{a}$，本题中$a=1$，$b=-2$，已知一个解$x_1=-1$，因此$x_1+x_2=2$，代入$x_1=-1$得$-1+x_2=2$，解得$x_2=3$。
方法二：将$x=-1$代入原方程，得$(-1)^2 -2×(-1)+m=0$，计算得$3+m=0$，解得$m=-3$，原方程变为$x^2-2x-3=0$，因式分解得$(x-3)(x+1)=0$，解得两根为$x=-1$和$x=3$，即另一个解为3。

2. 若$a - b = 3$，则下列$x$的值一定是关于$x$的方程$ax^2 + 2bx - 12 = 0$的根的是（）.

A.$x = 2$
B.$x = 0$
C.$x = 1$
D.$x = -2$

D

根据方程的根的定义，将各选项的x值代入方程$ax^2 + 2bx - 12 = 0$，结合$a-b=3$验证：
1. 代入$x=0$，得左边$=-12≠0$，不符合要求；
2. 代入$x=1$，得左边$=a+2b-12=3b-9$，值不一定为0，不符合要求；
3. 代入$x=2$，得左边$=4a+4b-12$，无法由$a-b=3$推出结果为0，不符合要求；
4. 代入$x=-2$，得左边$=4a-4b-12=4(a-b)-12$，将$a-b=3$代入得$4×3-12=0$，等式成立，因此$x=-2$一定是方程的根。

3. 若关于$x$的一元二次方程$(k-1)x^2 - 2x + 1 = 0$有两个实数根,则$k$的取值范围是（）.

A.$k＜2$且$k≠0$
B.$k≤2$
C.$k≤2$且$k≠1$
D.$k＜2$且$k≠1$

C

首先，该方程是一元二次方程，因此二次项系数不能为0，即$k-1≠0$，解得$k≠1$。
其次，方程有两个实数根，说明判别式$\Delta ≥ 0$，对于方程$(k-1)x^2 - 2x + 1 = 0$，代入判别式公式$\Delta = b^2-4ac$得：
$\Delta = (-2)^2 - 4×(k-1)×1 = 4 - 4k + 4 = 8-4k ≥ 0$，解得$k ≤ 2$。
综合两个条件，$k$的取值范围是$k≤2$且$k≠1$。

4. 一个等腰三角形的底边长是6,腰长是一元二次方程$x^2 - 8x + 15 = 0$的一根,则此三角形的周长是________.

16

1. 求解一元二次方程$x^2 - 8x + 15 = 0$，因式分解得$(x-3)(x-5)=0$，解得$x_1=3$，$x_2=5$。
2. 结合三角形三边关系验证腰长：
若腰长取3，此时三角形三边为3、3、6，满足$3+3=6$，不符合“三角形任意两边之和大于第三边”的要求，无法构成三角形，舍去该情况。
若腰长取5，此时三角形三边为5、5、6，满足$5+5＞6$、$5+6＞5$，可以构成等腰三角形。
3. 计算该三角形周长：$5+5+6=16$。

5. 如图, 在 $△ ABC$ 中, $∠ ACB=90°$, 以点 $B$ 为圆心, $BC$ 长为半径画弧, 交线段 $AB$ 于点 $D$, 连结 $CD$. 以点 $A$ 为圆心, $AC$ 长为半径画弧, 交线段 $AB$ 于点 $E$, 连接 $CE$.
(1) 求 $∠ DCE$ 的度数.
(2) 设 $BC=a$, $AC=b$.
①线段 $BE$ 的长是关于 $x$ 的方程 $x^2 + 2bx - a^2 = 0$ 的一个根吗? 说明理由.
②若 $D$ 为 $AE$ 的中点, 求 $\frac{a}{b}$ 的值.

(1) $\boldsymbol{45°}$；(2) ① 是，理由见上述解析；② $\boldsymbol{\frac{3}{4}}$

(1) 推导∠DCE的度数：
∵ ∠ACB=90°，∴ ∠A + ∠B = 90°
由作图可知：$BC=BD$，$AC=AE$，即$△ BCD$、$△ ACE$均为等腰三角形
∴ $∠ BCD = ∠ BDC = \frac{1}{2}(180° - ∠ B)$，$∠ ACE = ∠ AEC = \frac{1}{2}(180° - ∠ A)$
两式相加得：
$∠ BCD + ∠ ACE = 180° - \frac{1}{2}(∠ A + ∠ B) = 180° - 45° = 135°$
又∵ $∠ BCD + ∠ ACE = ∠ ACB + ∠ DCE = 90° + ∠ DCE$
∴ $90° + ∠ DCE = 135°$，解得$∠ DCE=45°$
(2) ① 判断BE是否为方程的根：
在$Rt△ ABC$中，由勾股定理得斜边$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{a^2+b^2}$
∵ $AE=AC=b$，∴ $BE=AB-AE=\sqrt{a^2+b^2}-b$
将$x=\sqrt{a^2+b^2}-b$代入方程$x^2+2bx-a^2$：
$\begin{aligned}\mathrm{左边}&=(\sqrt{a^2+b^2}-b)^2 + 2b(\sqrt{a^2+b^2}-b) -a^2\\&=a^2+b^2-2b\sqrt{a^2+b^2}+b^2 + 2b\sqrt{a^2+b^2}-2b^2 -a^2\\&=0=\mathrm{右边}\end{aligned}$
∴ 线段BE的长是方程$x^2+2bx-a^2=0$的一个根。
② 求$\frac{a}{b}$的值：
∵ D为AE的中点，∴ $AD=\frac{1}{2}AE$
∵ $AE=AC=b$，∴ $AD=\frac{b}{2}$
又∵ $BD=BC=a$，∴ $AB=AD+BD=a+\frac{b}{2}$
在$Rt△ ABC$中由勾股定理：
$(a+\frac{b}{2})^2 = a^2 + b^2$
展开整理得：$ab=\frac{3}{4}b^2$，∵ $b≠0$，两边同除以$b$得$a=\frac{3}{4}b$
∴ $\frac{a}{b}=\frac{3}{4}$

1. 已知方程$x^2 - x - 7 = 0$的两个实数根分别为$m$，$n$，则$m^2 + n + 2023$的值为________.

2031

1. 利用方程根的定义推导：因为m是方程$x^2 - x - 7 = 0$的实数根，将$x=m$代入方程可得：
$m^2 - m -7 = 0$，整理得$m^2 = m +7$。
2. 对所求代数式变形：将$m^2 = m +7$代入$m^2 +n +2023$，可得：
$m^2 +n +2023 = m +7 +n +2023 = (m+n) + 2030$。
3. 由一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），方程$x^2 -x -7=0$的两个根m、n满足$m+n = -\frac{-1}{1}=1$。
4. 代入计算：把$m+n=1$代入变形后的式子，得原式$=1 + 2030 = 2031$。

2. 已知方程$x^2 - 2023x + 1 = 0$的两根分别为$x_1$，$x_2$，则$x_1^2 - \frac{2023}{x_2}$的值为________。

$-1$

1. 利用方程根的定义：因为$x_1$是方程$x^2 - 2023x + 1 = 0$的根，将$x_1$代入方程可得：
$x_1^2 - 2023x_1 + 1 = 0$，移项得$x_1^2 = 2023x_1 - 1$。
2. 利用一元二次方程根与系数的关系：对于方程$x^2 - 2023x + 1 = 0$，两根之积$x_1x_2 = 1$，因此可得$\frac{1}{x_2} = x_1$，两边同乘2023得$\frac{2023}{x_2} = 2023x_1$。
3. 将上述两个结果代入所求代数式计算：
$x_1^2 - \frac{2023}{x_2} = (2023x_1 - 1) - 2023x_1 = -1$。