1. 如图,在平面直角坐标系中,点$A(-2,0)$、$B(0,3)$,作$△ AOC$,使$△ AOC$与$△ AOB$全等且不重合,则点$C$的坐标为________。

1. $(-2,3)$或$(0,-3)$或$(-2,-3)$ 解析:如图,
∵点A(-2,0)、B(0,3),
∴OB=3,OA=2,
∵△AOC与△AOB全等且不重合,
∴①△OAC₁≌△AOB,则OA=AO=2,AC₁=OB=3,
∴C₁(-2,3);②△AOC₂≌△AOB,则OA=OA=2,OC₂=OB=3,
∴C₂(0,-3);③△OAC₃≌△AOB,则OA=AO=2,AC₃=OB=3,
∴C₃(-2,-3).综上所述,点C的坐标为(-2,3)或(0,-3)或(-2,-3).

【分析】
解题时先从已知条件入手，先明确△AOB的基本特征：点A(-2,0)在x轴上，OA长度为2，点B(0,3)在y轴上，OB长度为3，△AOB是直角三角形，直角在原点O。由于△AOC和△AOB有公共边OA，且二者全等不重合，因此需按全等的不同对应关系分类讨论：
1. 当AC边对应OB边，∠OAC为直角，C点在第二象限时，可求出第一个C点坐标；
2. 当OC边对应OB边，∠AOC为直角，C点在y轴负半轴时，可求出第二个C点坐标；
3. 当AC边对应OB边，∠OAC为直角，C点在第三象限时，可求出第三个C点坐标。
分别计算每种情况的坐标即可，注意排除与△AOB重合的情况。
【解析】
如图，已知点A(-2,0)、B(0,3)，
∴OA=2，OB=3，且∠AOB=90°。
∵△AOC与△AOB全等且不重合，分以下三种情况讨论：
①当△OAC₁≌△AOB时，OA为公共边，AC₁=OB=3，∠OAC₁=∠AOB=90°，即AC₁垂直x轴且在x轴上方，因此C₁坐标为(-2,3)；
②当△AOC₂≌△AOB时，OA为公共边，OC₂=OB=3，∠AOC₂=∠AOB=90°，即C₂在y轴负半轴，因此C₂坐标为(0,-3)；
③当△OAC₃≌△AOB时，OA为公共边，AC₃=OB=3，∠OAC₃=∠AOB=90°，即AC₃垂直x轴且在x轴下方，因此C₃坐标为(-2,-3)。
【答案】
$(-2,3)$或$(0,-3)$或$(-2,-3)$
【知识点】
全等三角形的性质；坐标与图形性质；分类讨论思想
【点评】
本题考查全等三角形与平面直角坐标系的结合应用，解题核心是根据公共边OA的不同对应关系分类讨论，避免漏解，同时要注意题目中“不重合”的限制条件，排除不符合要求的情况。
【难度系数】
0.7

2. 如图,在平面直角坐标系中,点$A(2,0)$、$B(5,2)$,若点$P$在平面直角坐标系中,且以$O$、$A$、$P$为顶点的三角形与$△ OAB$全等,则满足条件的点$P$的坐标是$\underline{\hspace{5cm}}$.

2. $(5,-2)$或$(-3,-2)$或$(-3,2)$ 解析:如图,①作点B关于x轴的对称点P₁,连接OP₁、AP₁,
∴OB=OP₁,AB=AP₁,
∵OA=OA,
∴△OAP₁≌△OAB(SSS),
∵B(5,2),
∴P₁(5,-2);②作点P₁关于直线x=1的对称点P₂,连接OP₂、AP₂,则AP₁=OP₂,OP₁=AP₂,又
∵OA=OA,
∴△OAP₁≌△AOP₂(SSS),
∴△OAP₂≌△AOB,则点P₂(-3,-2);③作点P₂关于x轴的对称点P₃,连接OP₃、AP₃,则AP₃=AP₂,OP₃=OP₂,又
∵OA=OA,
∴△AOP₃≌△AOP₂(SSS),
∴△AOP₃≌△OAB,则点P₃(-3,2).综上所述,点P的坐标为(5,-2)或(-3,-2)或(-3,2).

【分析】
解决本题时，我们先抓住两个三角形的公共边OA，结合全等三角形SSS的判定条件：只需找到点P，使得△OAP除公共边OA外的另外两组边，分别和△OAB的另外两组边对应相等即可。我们可以通过作对称点的方法寻找符合条件的点P，注意要分情况讨论，避免漏解：首先考虑点B和点P在x轴两侧的情况，再考虑两个三角形分别在OA所在直线两侧的另外两种对应情况。
【解析】
①作点B关于x轴的对称点$P_1$，连接$OP_1$、$AP_1$，
则$OB=OP_1$，$AB=AP_1$，
又
∵$OA=OA$，
∴$△ OAP_1 ≌ △ OAB$（SSS），
∵$B(5,2)$，关于x轴对称的点横坐标不变、纵坐标互为相反数，
∴$P_1(5,-2)$；
②作点$P_1$关于直线$x=1$的对称点$P_2$，连接$OP_2$、$AP_2$，
则$AP_1=OP_2$，$OP_1=AP_2$，
又
∵$OA=OA$，
∴$△ OAP_1 ≌ △ AOP_2$（SSS），即$△ OAP_2 ≌ △ AOB$，
对称点到对称轴$x=1$的距离相等，$P_1$横坐标为5，到$x=1$的距离是4，因此$P_2$横坐标为$1-4=-3$，纵坐标不变，
∴$P_2(-3,-2)$；
③作点$P_2$关于x轴的对称点$P_3$，连接$OP_3$、$AP_3$，
则$AP_3=AP_2$，$OP_3=OP_2$，
又
∵$OA=OA$，
∴$△ AOP_3 ≌ △ AOP_2$（SSS），即$△ AOP_3 ≌ △ OAB$，
$P_2(-3,-2)$关于x轴对称的点横坐标不变、纵坐标互为相反数，
∴$P_3(-3,2)$。
综上，满足条件的点P的坐标为$(5,-2)$或$(-3,-2)$或$(-3,2)$。
【答案】
$(5,-2)$或$(-3,-2)$或$(-3,2)$
【知识点】
全等三角形的判定；坐标与图形性质；轴对称的性质
【点评】
本题是全等三角形与坐标图形的综合题，解题核心是结合图形利用对称性质找对应点，解题过程中要注意运用分类讨论思想，避免出现漏解。
【难度系数】
0.6

3. 在平面直角坐标系中，点$A(1,2)$、$B(3,4)$，线段$AB$的垂直平分线交坐标轴于$C$，则点$C$的坐标是________.

3. $(5,0)$或$(0,5)$ 解析:当点C在x轴上时,设点C的坐标为(x,0),则(1-x)²+(2-0)²=(3-x)²+(4-0)²,解得x=5,则点C的坐标是(5,0);当点C在y轴上时,设点C的坐标为(0,y),则(1-0)²+(2-y)²=(3-0)²+(4-y)²,解得y=5,则点C的坐标是(0,5).综上所述,点C的坐标是(5,0)或(0,5).

【分析】
解决本题首先要用到线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，因此点C满足CA=CB。由于点C在坐标轴上，需分类讨论两种情况：①点C在x轴上时，纵坐标为0，可设坐标为(x,0)，根据CA=CB列方程求解；②点C在y轴上时，横坐标为0，可设坐标为(0,y)，同样根据CA=CB列方程求解，最后汇总两种情况的结果即可。
【解析】
由线段垂直平分线的性质可得：点C到A、B两点的距离相等，即$CA=CB$。
1. 当点C在x轴上时，设点C的坐标为$(x,0)$，根据两点间距离的平方公式列方程：
$(1-x)^2+(2-0)^2=(3-x)^2+(4-0)^2$
展开得：$1-2x+x^2+4=9-6x+x^2+16$
整理得：$4x=20$，解得$x=5$，即$C(5,0)$。
2. 当点C在y轴上时，设点C的坐标为$(0,y)$，同理列方程：
$(1-0)^2+(2-y)^2=(3-0)^2+(4-y)^2$
展开得：$1+4-4y+y^2=9+16-8y+y^2$
整理得：$4y=20$，解得$y=5$，即$C(0,5)$。
综上，点C的坐标为$(5,0)$或$(0,5)$。
【答案】
$(5,0)$或$(0,5)$
【知识点】
线段垂直平分线的性质；坐标轴上点的坐标特征；两点间距离公式
【点评】
本题核心考查线段垂直平分线的性质，解题时要注意运用分类讨论思想，避免遗漏点C在x轴、y轴上的两种情况，解方程时注意移项变号，保证计算准确性。
【难度系数】
0.7

4. 如图,在平面直角坐标系中,点$A(7,0)$、$B(0,12)$,点$C$在$AB$的垂直平分线上,且$∠ ACB=90°$,则点$C$的坐标为________.

4. $(\frac{19}{2},\frac{19}{2})$ 解析:
∵点A(7,0)、B(0,12),
∴OA=7,OB=12.如图,过点C分别作CD⊥x轴于点D,CE⊥y轴于点E,则∠CDO=∠CEO=∠DOE=90°,
∴四边形ODCE是矩形,∠DCE=90°,
∵∠BCA=∠DCE=90°,
∴∠BCE=∠ACD=90°-∠ACE,
∵点C在AB的垂直平分线上,
∴BC=AC,在△BCE与△ACD中,$\begin{cases}∠BEC=∠ADC,\\∠BCE=∠ACD,\\BC=AC,\end{cases}$
∴△BCE≌△ACD(AAS),
∴BE=AD,CE=CD,
∴四边形ODCE是正方形,
∴7+AD=12-BE,
∴AD=BE=$\frac{5}{2}$,CE=CD=OE,
∴OE=OD=OA+AD=7+$\frac{5}{2}$=$\frac{19}{2}$,即点C的坐标为$(\frac{19}{2},\frac{19}{2})$.

【分析】
解题时首先从已知条件入手：点C在AB的垂直平分线上，可得BC=AC，又已知∠ACB=90°，结合平面直角坐标系求坐标的常用方法，考虑过点C作x轴、y轴的垂线构造直角三角形；接下来利用同角的余角相等得到一组相等的角，结合直角相等和已推出的边相等的条件，证明两个直角三角形全等；再根据全等的性质推出CE=CD，得到四边形ODCE是正方形，最后利用线段和差关系计算出OD、OE的长度，即可得到点C的坐标。
【解析】
∵点$A(7,0)$、$B(0,12)$，
∴$OA=7$，$OB=12$。
过点C分别作$CD⊥x$轴于点D，$CE⊥y$轴于点E，则$∠CDO=∠CEO=∠DOE=90°$，
∴四边形ODCE是矩形，$∠DCE=90°$，
∵$∠BCA=∠DCE=90°$，
∴$∠BCE=∠ACD=90°-∠ACE$，
∵点C在AB的垂直平分线上，
∴$BC=AC$，
在$△ BCE$与$△ ACD$中，
$\begin{cases}∠BEC=∠ADC\\∠BCE=∠ACD\\BC=AC\end{cases}$
∴$△ BCE≌△ ACD(AAS)$，
∴$BE=AD$，$CE=CD$，
∴矩形ODCE是正方形，
∴$OD=OE$，即$OA+AD=OB-BE$，
代入$OA=7$，$OB=12$，$BE=AD$，得$7+AD=12-AD$，
解得$AD=BE=\frac{5}{2}$，
∴$OD=OA+AD=7+\frac{5}{2}=\frac{19}{2}$，$OE=OD=\frac{19}{2}$，
即点C的坐标为$(\frac{19}{2},\frac{19}{2})$。
【答案】
$(\frac{19}{2},\frac{19}{2})$
【知识点】
线段垂直平分线的性质；全等三角形的判定与性质；坐标与图形性质
【点评】
本题是坐标与几何的综合题，解题的关键是通过作坐标轴的垂线构造全等三角形，结合垂直平分线、正方形的性质进行线段长度的计算，能有效考查学生的几何推理能力和数形结合思想的应用能力。
【难度系数】
0.6

5. 如图,在平面直角坐标系中,点$A(-2,0)$、$B(0,4)$,$OB$的垂直平分线$CE$与$OA$的垂直平分线$CD$相交于点$C$,现存在点$F$,使得$△ CDF≌△ OAB$,则点$F$的坐标为$\underline{\hspace{5cm}}$.

5. $(3,2)$或$(-5,2)$ 解析:
∵点A(-2,0)、B(0,4),
∴OA=2,OB=4.
∵OB的垂直平分线CE与OA的垂直平分线CD相交于点C,
∴OD=$\frac{1}{2}$OA=$\frac{1}{2}$×2=1,OE=$\frac{1}{2}$OB=$\frac{1}{2}$×4=2,
∴点C(-1,2).由题意可知,C是直角顶点.
∵△CDF≌△OAB,
∴CF=OB=4,当点F在CD左边时,F₁(-5,2);当点F在CD右边时,F₂(3,2).综上所述,存在点F(3,2)或(-5,2),使得△CDF≌△OAB.

【分析】
解题时首先根据点A、B的坐标求出OA、OB的长度，再利用线段垂直平分线的性质求出点C、D的坐标，结合△OAB是直角三角形的特征，确定△CDF的直角顶点为C，再根据全等三角形对应边相等的性质，分点F在CD的左侧和右侧两种情况计算F的坐标即可。
【解析】
解：
∵点$A(-2,0)$、$B(0,4)$，
∴$OA=2$，$OB=4$，且$△ OAB$是直角三角形，$∠ AOB=90°$。
∵$OB$的垂直平分线$CE$与$OA$的垂直平分线$CD$相交于点$C$，
∴$OD=\frac{1}{2}OA=\frac{1}{2}×2=1$，$OE=\frac{1}{2}OB=\frac{1}{2}×4=2$，
∴点$D$坐标为$(-1,0)$，点$C$坐标为$(-1,2)$，$CD⊥ x$轴，$CD$长度为2，对应$△ OAB$中的$OA$边，$△ CDF$的直角顶点为$C$。
∵$△ CDF≌△ OAB$，
∴$CF=OB=4$，且$CF$为水平线段（$CD⊥ CF$）。
①当点$F$在$CD$右侧时，$F$的横坐标为$-1+4=3$，纵坐标为2，即$F(3,2)$；
②当点$F$在$CD$左侧时，$F$的横坐标为$-1-4=-5$，纵坐标为2，即$F(-5,2)$。
综上，点$F$的坐标为$(3,2)$或$(-5,2)$。
【答案】
$(3,2)$或$(-5,2)$
【知识点】
1. 线段垂直平分线的性质
2. 全等三角形的性质
3. 坐标与图形性质
【点评】
本题考查了几何性质与平面直角坐标系的结合应用，解题时需明确全等三角形的对应边关系，同时注意分类讨论点的位置，避免出现漏解的情况。
【难度系数】
0.6

6. 如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的边OA在x轴上,OC在y轴上,OA=2,OC=4,对角线AC的垂直平分线交AB于点E,交AC于点D.若y轴上有一点P(不与点C重合),能使△AEP是以AE为腰的等腰三角形,则点P的坐标为.

6. $(0,\frac{3}{2})$或$(0,-\frac{3}{2})$或$(0,1)$ 解析:
∵对角线AC的垂直平分线交AB于点E,
∴AE=CE.
∵OA=2,OC=4,
∴AB=OC=4,BC=OA=2.设AE=m,则BE=4-m,CE=m.在Rt△BCE中,BE²+BC²=CE²,即(4-m)²+2²=m²,解得m=$\frac{5}{2}$,
∴E(2,$\frac{5}{2}$),AE=$\frac{5}{2}$.设点P的坐标为(0,y).
∵△AEP是以为AE为腰的等腰三角形,当AP=AE时,则(2-0)²+(0-y)²=$(\frac{5}{2})^2$,解得y=±$\frac{3}{2}$;当EP=AE时,则(2-0)²+$(\frac{5}{2}-y)^2$=$(\frac{5}{2})^2$,解得y₁=4(舍去),y₂=1,
∴点P的坐标为$(0,\frac{3}{2})$或$(0,-\frac{3}{2})$或$(0,1)$.

【分析】
解题时首先利用线段垂直平分线的性质得到AE=CE，结合矩形的边长，设AE的长度为未知数，在Rt△BCE中利用勾股定理列方程，求出AE的长度和点E的坐标；再根据“△AEP是以AE为腰的等腰三角形”分两种情况讨论：①AP=AE，②EP=AE，设出点P的坐标，利用勾股定理表示线段长度列方程求解，最后舍去不符合题意的解即可得到点P的坐标。
【解析】
∵DE是AC的垂直平分线，
∴AE=CE。
∵四边形OABC是矩形，OA=2，OC=4，
∴AB=OC=4，BC=OA=2，∠B=90°，A点坐标为(2,0)。
设AE=m，则CE=m，BE=AB-AE=4-m，
在Rt△BCE中，由勾股定理得：$BE^2+BC^2=CE^2$，
即$(4-m)^2+2^2=m^2$，
展开得$16-8m+m^2+4=m^2$，
解得$m=\frac{5}{2}$，
∴AE=$\frac{5}{2}$，点E的坐标为$(2,\frac{5}{2})$。
设y轴上点P的坐标为$(0,y)$，△AEP是以AE为腰的等腰三角形，分两种情况：
1. 当$AP=AE$时：
由勾股定理得$AP^2=(2-0)^2+(0-y)^2$，
∴$2^2+y^2=(\frac{5}{2})^2$，
即$4+y^2=\frac{25}{4}$，
解得$y=\pm\frac{3}{2}$，
此时点P坐标为$(0,\frac{3}{2})$或$(0,-\frac{3}{2})$，均符合题意；
2. 当$EP=AE$时：
由勾股定理得$EP^2=(2-0)^2+(\frac{5}{2}-y)^2$，
∴$2^2+(\frac{5}{2}-y)^2=(\frac{5}{2})^2$，
整理得$y^2-5y+4=0$，
解得$y_1=4$，$y_2=1$，
∵P不与点C重合，点C坐标为$(0,4)$，故舍去$y=4$，
此时点P坐标为$(0,1)$。
【答案】
$(0,\frac{3}{2})$或$(0,-\frac{3}{2})$或$(0,1)$
【知识点】
线段垂直平分线的性质；等腰三角形分类讨论；勾股定理的应用
【点评】
本题属于坐标与几何的综合题，解题的关键是掌握矩形和线段垂直平分线的性质，针对等腰三角形腰的情况进行分类讨论，注意要根据题目的限制条件舍去不符合要求的解，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.6

7. 如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,四边形OABC是矩形,点A、C的坐标分别为A(0,-8)、C(20,0),M是OC的中点,点N在边BA上运动.当△OMN是腰长为10的等腰三角形时,点N的坐标是.

7. (6,-8)或(4,-8)或(16,-8) 解析:
∵A(0,-8)、C(20,0),四边形OABC是矩形,
∴OA=8,OC=20,∠OAB=∠AOC=90°.
∵M是OC的中点,
∴OM=$\frac{1}{2}$OC=10.①当OM=ON=10时,AN=$\sqrt{ON^2-OA^2}$=6,
∴点N的坐标为(6,-8);②当OM=MN'=10时,如图,过点N'作N'G⊥OC于点G,
∴GM=$\sqrt{10^2-8^2}$=6,
∴OG=AN'=10-6=4,
∴点N'的坐标为(4,-8);③当OM=MN''=10时,如图,过点M作MH⊥AB于点H,则AH=OM=10,MH=OA=8,
∴HN''=$\sqrt{10^2-8^2}$=6,
∴AN''=AH+HN''=10+6=16,
∴点N''的坐标是(16,-8).综上所述,点N的坐标为(6,-8)或(4,-8)或(16,-8).

【分析】
解题时先根据矩形顶点坐标确定矩形边长、M点位置及OM的长度，已知△OMN腰长为10，腰的对应关系不明确，因此需分三类讨论：①OM为腰，ON为另一腰；②OM为腰，MN为另一腰且点N在M左侧；③OM为腰，MN为另一腰且点N在M右侧。每类情况结合勾股定理计算点N的横坐标，由于点N在AB边上，纵坐标恒为-8，即可求出对应N的坐标。
【解析】
∵A(0,-8)、C(20,0)，四边形OABC是矩形，
∴OA=8，OC=20，∠OAB=∠AOC=90°。
∵M是OC的中点，
∴OM=$\frac{1}{2}$OC=10。
①当OM=ON=10时，在Rt△OAN中，由勾股定理得：
AN=$\sqrt{ON^2-OA^2}$=$\sqrt{10^2-8^2}$=6，
∴点N的坐标为(6,-8)；
②当OM=MN'=10时，过点N'作N'G⊥OC于点G，
则N'G=OA=8，在Rt△N'GM中，由勾股定理得：
GM=$\sqrt{10^2-8^2}$=6，
∴OG=AN'=OM-GM=10-6=4，
∴点N'的坐标为(4,-8)；
③当OM=MN''=10时，过点M作MH⊥AB于点H，
则AH=OM=10，MH=OA=8，在Rt△MHN''中，由勾股定理得：
HN''=$\sqrt{10^2-8^2}$=6，
∴AN''=AH+HN''=10+6=16，
∴点N''的坐标是(16,-8)。
综上所述，点N的坐标为(6,-8)或(4,-8)或(16,-8)。
【答案】
(6,-8)或(4,-8)或(16,-8)
【知识点】
矩形的性质，等腰三角形分类讨论，勾股定理
【点评】
本题重点考查分类讨论的数学思想，解题时需注意等腰三角形腰长未明确时要全面考虑所有可能的情况，避免漏解，同时结合平面直角坐标系中图形的性质和勾股定理计算坐标即可。
【难度系数】
0.6