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1. 若$x=-1$是关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx-1=0$的一个根，则$2024-2a+2b$的值为（
A.2019
B.2020
C.2022
D.2023
C
）A.2019
B.2020
C.2022
D.2023
答案
1.C
解析
【分析】
解题时首先根据一元二次方程根的定义思考：方程的根是能使方程左右两边相等的未知数的值，因此第一步将x=-1代入原方程，即可得到关于a、b的等式，整理得到a与b的数量关系；接下来观察待求代数式2024-2a+2b的结构，可通过提取公因式将其变形为含有a-b的形式，最后将得到的a-b的值整体代入计算即可，无需单独求解a、b的具体值。
【解析】
步骤1：将x=-1代入方程$ax^2+bx-1=0$，可得：
$a×(-1)^2 + b×(-1) - 1 = 0$
步骤2：化简上式得：$a - b - 1 = 0$，即$a - b = 1$
步骤3：对待求代数式变形：
$2024 - 2a + 2b = 2024 - 2(a - b)$
步骤4：将$a - b = 1$代入上式计算：
$2024 - 2×1 = 2022$
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根的定义；整体代入求值
【点评】
本题是基础类题型，核心考查对一元二次方程根的概念的理解，以及整体代入思想在代数式求值中的应用，解题的关键是正确代入根得到参数间的数量关系，灵活运用整体代入法可大幅简化运算，是代数式求值中常用的技巧，需熟练掌握。
【难度系数】
0.75
解题时首先根据一元二次方程根的定义思考：方程的根是能使方程左右两边相等的未知数的值，因此第一步将x=-1代入原方程，即可得到关于a、b的等式，整理得到a与b的数量关系；接下来观察待求代数式2024-2a+2b的结构，可通过提取公因式将其变形为含有a-b的形式，最后将得到的a-b的值整体代入计算即可，无需单独求解a、b的具体值。
【解析】
步骤1：将x=-1代入方程$ax^2+bx-1=0$，可得：
$a×(-1)^2 + b×(-1) - 1 = 0$
步骤2：化简上式得：$a - b - 1 = 0$，即$a - b = 1$
步骤3：对待求代数式变形：
$2024 - 2a + 2b = 2024 - 2(a - b)$
步骤4：将$a - b = 1$代入上式计算：
$2024 - 2×1 = 2022$
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根的定义；整体代入求值
【点评】
本题是基础类题型，核心考查对一元二次方程根的概念的理解，以及整体代入思想在代数式求值中的应用，解题的关键是正确代入根得到参数间的数量关系，灵活运用整体代入法可大幅简化运算，是代数式求值中常用的技巧，需熟练掌握。
【难度系数】
0.75
2. 若关于$ x $的方程$(x - 1)^2 = k$没有实数根，则$ k $的取值范围是 （
A.$ k ≤ 0 $
B.$ k ≥ 0 $
C.$ k ＞ 0 $
D.$ k ＜ 0 $
D
）A.$ k ≤ 0 $
B.$ k ≥ 0 $
C.$ k ＞ 0 $
D.$ k ＜ 0 $
答案
2.D
解析
【分析】
解决这道题可以从平方的性质入手思考：首先我们知道任意实数的平方都是非负数，即对任意实数a，都有$a^2≥0$。本题中方程左侧是$(x-1)^2$，它的取值范围恒大于等于0，若方程没有实数根，说明等号右侧的$k$不在左侧的取值范围内，由此即可推导$k$的取值范围。
【解析】
$\because$ 对任意实数$x$，都满足$(x-1)^2≥0$
$\therefore$ 方程$(x-1)^2=k$有实数根的条件为$k≥0$
若方程没有实数根，则$k$不满足有实根的条件，即$k＜0$
因此选D
【答案】
D
【知识点】
1. 平方的非负性 2. 一元二次方程根的判定
【点评】
本题属于基础题型，主要考查平方非负性的应用，结合一元二次方程有实根的条件反向推导无实根时参数的取值范围，熟练掌握平方的性质即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
解决这道题可以从平方的性质入手思考：首先我们知道任意实数的平方都是非负数，即对任意实数a，都有$a^2≥0$。本题中方程左侧是$(x-1)^2$，它的取值范围恒大于等于0，若方程没有实数根，说明等号右侧的$k$不在左侧的取值范围内，由此即可推导$k$的取值范围。
【解析】
$\because$ 对任意实数$x$，都满足$(x-1)^2≥0$
$\therefore$ 方程$(x-1)^2=k$有实数根的条件为$k≥0$
若方程没有实数根，则$k$不满足有实根的条件，即$k＜0$
因此选D
【答案】
D
【知识点】
1. 平方的非负性 2. 一元二次方程根的判定
【点评】
本题属于基础题型，主要考查平方非负性的应用，结合一元二次方程有实根的条件反向推导无实根时参数的取值范围，熟练掌握平方的性质即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
3. 若一元二次方程的两个根分别是3和－2，则这个一元二次方程可能是 （
A.$x^2 - x + 6 = 0$
B.$x^2 + 5x - 6 = 0$
C.$x^2 - x - 6 = 0$
D.$x^2 + x - 6 = 0$
C
）A.$x^2 - x + 6 = 0$
B.$x^2 + 5x - 6 = 0$
C.$x^2 - x - 6 = 0$
D.$x^2 + x - 6 = 0$
答案
3.C
解析
【分析】
已知一元二次方程的两个根，我们可以用两种符合学段要求的思路求解：一是逆向运用因式分解法解一元二次方程的原理，若方程的根为$x_1$、$x_2$，那么方程可写成$(x - x_1)(x - x_2)=0$的形式，展开后即可得到目标方程；二是运用根与系数的关系，先计算两根之和与两根之积，再结合二次项系数为1的一元二次方程的系数特征构造方程，最后和选项对比即可得出答案。
【解析】
方法一：因式分解逆向推导
已知方程的两个根为$x_1=3$，$x_2=-2$，因此该一元二次方程可写为：
$(x - 3)(x + 2) = 0$
展开左边的乘积项：
$x^2 + 2x - 3x - 6 = x^2 - x - 6 = 0$
所得方程和选项C完全一致。
方法二：根与系数的关系求解
对于二次项系数为1的一元二次方程$x^2 + bx + c = 0$，若两根为$x_1$、$x_2$，则满足关系：$x_1 + x_2 = -b$，$x_1x_2 = c$。
代入本题的两个根计算：
两根之和：$3 + (-2) = 1 = -b$，解得$b=-1$
两根之积：$3×(-2) = -6 = c$
因此对应的方程为$x^2 - x - 6 = 0$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题属于一元二次方程的基础考查题型，核心是理解方程的根和方程形式的对应关系，两种解题方法都属于本学段必须掌握的基础方法，仔细计算符号即可避免出错。
【难度系数】
0.8
已知一元二次方程的两个根，我们可以用两种符合学段要求的思路求解：一是逆向运用因式分解法解一元二次方程的原理，若方程的根为$x_1$、$x_2$，那么方程可写成$(x - x_1)(x - x_2)=0$的形式，展开后即可得到目标方程；二是运用根与系数的关系，先计算两根之和与两根之积，再结合二次项系数为1的一元二次方程的系数特征构造方程，最后和选项对比即可得出答案。
【解析】
方法一：因式分解逆向推导
已知方程的两个根为$x_1=3$，$x_2=-2$，因此该一元二次方程可写为：
$(x - 3)(x + 2) = 0$
展开左边的乘积项：
$x^2 + 2x - 3x - 6 = x^2 - x - 6 = 0$
所得方程和选项C完全一致。
方法二：根与系数的关系求解
对于二次项系数为1的一元二次方程$x^2 + bx + c = 0$，若两根为$x_1$、$x_2$，则满足关系：$x_1 + x_2 = -b$，$x_1x_2 = c$。
代入本题的两个根计算：
两根之和：$3 + (-2) = 1 = -b$，解得$b=-1$
两根之积：$3×(-2) = -6 = c$
因此对应的方程为$x^2 - x - 6 = 0$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题属于一元二次方程的基础考查题型，核心是理解方程的根和方程形式的对应关系，两种解题方法都属于本学段必须掌握的基础方法，仔细计算符号即可避免出错。
【难度系数】
0.8
4. 若代数式 $ x^2 - 4x + a $ 可化为 $ (x + b)^2 - 1 $，则 $ a + b $ 的值是 ______。
答案
4.1
解析
【分析】
解题时可以利用完全平方公式将右侧的代数式展开，根据两个相等的多项式对应项系数相等的性质，分别列出关于a、b的方程，求解得到a、b的值后再计算a+b即可。也可以对左侧的二次三项式进行配方，与右侧形式对比得到参数值，两种方法均符合学段知识要求。
【解析】
先将等号右侧的式子展开：
$(x+b)^2 - 1 = x^2 + 2bx + b^2 - 1$
已知 $x^2 - 4x + a = (x+b)^2 -1$，因此两个多项式对应项系数相等：
1. 一次项系数对应相等：$2b = -4$，解得 $b = -2$
2. 常数项对应相等：$a = b^2 - 1$，将$b=-2$代入得：$a = (-2)^2 -1 = 4 - 1 = 3$
因此 $a + b = 3 + (-2) = 1$
【答案】
1
【知识点】
完全平方公式、多项式恒等变形、代数式求值
【点评】
本题属于代数基础题型，重点考查完全平方公式的应用和多项式相等的性质，熟练掌握整式变形的方法是解题的关键，对夯实代数运算基础有较好的作用。
【难度系数】
0.7
解题时可以利用完全平方公式将右侧的代数式展开，根据两个相等的多项式对应项系数相等的性质，分别列出关于a、b的方程，求解得到a、b的值后再计算a+b即可。也可以对左侧的二次三项式进行配方，与右侧形式对比得到参数值，两种方法均符合学段知识要求。
【解析】
先将等号右侧的式子展开：
$(x+b)^2 - 1 = x^2 + 2bx + b^2 - 1$
已知 $x^2 - 4x + a = (x+b)^2 -1$，因此两个多项式对应项系数相等：
1. 一次项系数对应相等：$2b = -4$，解得 $b = -2$
2. 常数项对应相等：$a = b^2 - 1$，将$b=-2$代入得：$a = (-2)^2 -1 = 4 - 1 = 3$
因此 $a + b = 3 + (-2) = 1$
【答案】
1
【知识点】
完全平方公式、多项式恒等变形、代数式求值
【点评】
本题属于代数基础题型，重点考查完全平方公式的应用和多项式相等的性质，熟练掌握整式变形的方法是解题的关键，对夯实代数运算基础有较好的作用。
【难度系数】
0.7
5. 已知关于$ x $ 的一元二次方程$ mx^2 - 2x + 3 = 0 $有两个相等的实数根，则$ m $的值为
$\frac{1}{3}$
.答案
5.$\frac{1}{3}$
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确两个核心条件：一是题目说明是一元二次方程，因此二次项系数不能为0，即$m≠0$；二是方程有两个相等的实数根，根据一元二次方程根的判别式的性质，此时判别式$\Delta=0$。我们先写出判别式的表达式，代入对应系数列方程求解，再验证结果满足二次项系数不为0的条件即可。
【解析】
∵ 方程$mx^2 - 2x + 3 = 0$是一元二次方程
∴ 二次项系数$m ≠ 0$
又
∵ 方程有两个相等的实数根
∴ 根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 0$
其中$a=m$，$b=-2$，$c=3$，代入得：
$(-2)^2 - 4 × m × 3 = 0$
化简得：$4 - 12m = 0$
移项得：$12m = 4$
解得：$m = \frac{1}{3}$
验证：$\frac{1}{3} ≠ 0$，符合一元二次方程的要求。
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
一元二次方程的定义；根的判别式的应用
【点评】
本题属于基础题型，重点考查一元二次方程根的情况与判别式的对应关系，解题时需注意不要遗漏一元二次方程二次项系数不为0的隐含前提，熟练掌握判别式和根的三种对应关系是解决此类问题的关键。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先明确两个核心条件：一是题目说明是一元二次方程，因此二次项系数不能为0，即$m≠0$；二是方程有两个相等的实数根，根据一元二次方程根的判别式的性质，此时判别式$\Delta=0$。我们先写出判别式的表达式，代入对应系数列方程求解，再验证结果满足二次项系数不为0的条件即可。
【解析】
∵ 方程$mx^2 - 2x + 3 = 0$是一元二次方程
∴ 二次项系数$m ≠ 0$
又
∵ 方程有两个相等的实数根
∴ 根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 0$
其中$a=m$，$b=-2$，$c=3$，代入得：
$(-2)^2 - 4 × m × 3 = 0$
化简得：$4 - 12m = 0$
移项得：$12m = 4$
解得：$m = \frac{1}{3}$
验证：$\frac{1}{3} ≠ 0$，符合一元二次方程的要求。
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
一元二次方程的定义；根的判别式的应用
【点评】
本题属于基础题型，重点考查一元二次方程根的情况与判别式的对应关系，解题时需注意不要遗漏一元二次方程二次项系数不为0的隐含前提，熟练掌握判别式和根的三种对应关系是解决此类问题的关键。
【难度系数】
0.8
6. 已知一元二次方程$x^2 - 3x + 2 = 0$的两个根为$x_1, x_2$，则$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}$的值为________。
答案
6.$\frac{3}{2}$
解析
【分析】
要求$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}$的值，可先对该代数式通分化简，将其转化为用两根之和$x_1+x_2$、两根之积$x_1x_2$表示的形式；再根据一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），直接从方程系数求出$x_1+x_2$和$x_1x_2$的值，代入化简后的式子即可得到结果，也可以先解出方程的两个根，直接代入原式计算。
【解析】
方法一：利用韦达定理求解
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），若两根为$x_1、x_2$，则有$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$。
在方程$x^2 - 3x + 2 = 0$中，$a=1$，$b=-3$，$c=2$，因此：
$x_1+x_2=-\frac{-3}{1}=3$，$x_1x_2=\frac{2}{1}=2$
对所求代数式通分化简：
$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}=\frac{x_2 + x_1}{x_1x_2}$
将$x_1+x_2=3$，$x_1x_2=2$代入得：
原式$=\frac{3}{2}$
方法二：先解方程求根再代入
解方程$x^2 - 3x + 2 = 0$，因式分解得$(x-1)(x-2)=0$，解得$x_1=1$，$x_2=2$
代入$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}$得：$\frac{1}{1}+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$
【答案】
$\frac{3}{2}$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数关系 2. 分式化简
【点评】
本题属于基础题型，既可以通过直接求解方程的根代入计算，也可以通过韦达定理快速得到结果，其中运用韦达定理可避免解方程的步骤，提升解题效率。
【难度系数】
0.8
要求$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}$的值，可先对该代数式通分化简，将其转化为用两根之和$x_1+x_2$、两根之积$x_1x_2$表示的形式；再根据一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），直接从方程系数求出$x_1+x_2$和$x_1x_2$的值，代入化简后的式子即可得到结果，也可以先解出方程的两个根，直接代入原式计算。
【解析】
方法一：利用韦达定理求解
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），若两根为$x_1、x_2$，则有$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$。
在方程$x^2 - 3x + 2 = 0$中，$a=1$，$b=-3$，$c=2$，因此：
$x_1+x_2=-\frac{-3}{1}=3$，$x_1x_2=\frac{2}{1}=2$
对所求代数式通分化简：
$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}=\frac{x_2 + x_1}{x_1x_2}$
将$x_1+x_2=3$，$x_1x_2=2$代入得：
原式$=\frac{3}{2}$
方法二：先解方程求根再代入
解方程$x^2 - 3x + 2 = 0$，因式分解得$(x-1)(x-2)=0$，解得$x_1=1$，$x_2=2$
代入$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}$得：$\frac{1}{1}+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$
【答案】
$\frac{3}{2}$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数关系 2. 分式化简
【点评】
本题属于基础题型，既可以通过直接求解方程的根代入计算，也可以通过韦达定理快速得到结果，其中运用韦达定理可避免解方程的步骤，提升解题效率。
【难度系数】
0.8
7. 解下列方程：
(1)$x^2 + 16 = -10x$；
(2)$3x^2 + x - 5 = 0$；
(3)$x^2 - 2x = 3(x - 2)$；
(4)$(x - 2)(3x - 5) = 1$。
(1)$x^2 + 16 = -10x$；
(2)$3x^2 + x - 5 = 0$；
(3)$x^2 - 2x = 3(x - 2)$；
(4)$(x - 2)(3x - 5) = 1$。
答案
7.解:(1)$x_1=-2,x_2=-8$.
(2)$x_1=\frac{-1+\sqrt{61}}{6},x_2=\frac{-1-\sqrt{61}}{6}$.
(3)$x_1=2,x_2=3$.
(4)$x_1=\frac{11+\sqrt{13}}{6},x_2=\frac{11-\sqrt{13}}{6}$.
(2)$x_1=\frac{-1+\sqrt{61}}{6},x_2=\frac{-1-\sqrt{61}}{6}$.
(3)$x_1=2,x_2=3$.
(4)$x_1=\frac{11+\sqrt{13}}{6},x_2=\frac{11-\sqrt{13}}{6}$.
解析
【分析】
解一元二次方程首先要将方程整理为一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，再根据方程特征选择简便解法：若方程易因式分解优先选因式分解法，不易分解的用公式法（先计算判别式$\Delta=b^2-4ac$判断根的情况，再代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$求解）。
(1)移项后可直接十字相乘因式分解，用因式分解法求解；
(2)已是一般形式，不易因式分解，用公式法求解；
(3)移项后可提取公因式$(x-2)$，用因式分解法求解；
(4)先展开整理为一般形式，再用公式法求解。
【解析】
(1) 移项得：$x^2+10x+16=0$
因式分解得：$(x+2)(x+8)=0$
$\therefore x+2=0$或$x+8=0$
解得$x_1=-2,x_2=-8$
(2) 这里$a=3,b=1,c=-5$
计算判别式：$\Delta=b^2-4ac=1^2-4×3×(-5)=61＞0$
代入求根公式得：$x=\frac{-1\pm\sqrt{61}}{2×3}$
$\therefore x_1=\frac{-1+\sqrt{61}}{6},x_2=\frac{-1-\sqrt{61}}{6}$
(3) 移项得：$x(x-2)-3(x-2)=0$
提取公因式得：$(x-2)(x-3)=0$
$\therefore x-2=0$或$x-3=0$
解得$x_1=2,x_2=3$
(4) 展开左边得：$3x^2-11x+10=1$
整理为一般形式：$3x^2-11x+9=0$
这里$a=3,b=-11,c=9$
计算判别式：$\Delta=(-11)^2-4×3×9=13＞0$
代入求根公式得：$x=\frac{11\pm\sqrt{13}}{2×3}$
$\therefore x_1=\frac{11+\sqrt{13}}{6},x_2=\frac{11-\sqrt{13}}{6}$
【答案】
(1)$x_1=-2,x_2=-8$
(2)$x_1=\frac{-1+\sqrt{61}}{6},x_2=\frac{-1-\sqrt{61}}{6}$
(3)$x_1=2,x_2=3$
(4)$x_1=\frac{11+\sqrt{13}}{6},x_2=\frac{11-\sqrt{13}}{6}$
【知识点】
一元二次方程的解法、因式分解法、公式法
【点评】
本题考查一元二次方程的基础解法，解题时优先选择简便方法可提升计算效率，使用公式法时要先判断判别式的符号，计算过程中注意符号问题，避免失误。
【难度系数】
0.75
解一元二次方程首先要将方程整理为一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，再根据方程特征选择简便解法：若方程易因式分解优先选因式分解法，不易分解的用公式法（先计算判别式$\Delta=b^2-4ac$判断根的情况，再代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$求解）。
(1)移项后可直接十字相乘因式分解，用因式分解法求解；
(2)已是一般形式，不易因式分解，用公式法求解；
(3)移项后可提取公因式$(x-2)$，用因式分解法求解；
(4)先展开整理为一般形式，再用公式法求解。
【解析】
(1) 移项得：$x^2+10x+16=0$
因式分解得：$(x+2)(x+8)=0$
$\therefore x+2=0$或$x+8=0$
解得$x_1=-2,x_2=-8$
(2) 这里$a=3,b=1,c=-5$
计算判别式：$\Delta=b^2-4ac=1^2-4×3×(-5)=61＞0$
代入求根公式得：$x=\frac{-1\pm\sqrt{61}}{2×3}$
$\therefore x_1=\frac{-1+\sqrt{61}}{6},x_2=\frac{-1-\sqrt{61}}{6}$
(3) 移项得：$x(x-2)-3(x-2)=0$
提取公因式得：$(x-2)(x-3)=0$
$\therefore x-2=0$或$x-3=0$
解得$x_1=2,x_2=3$
(4) 展开左边得：$3x^2-11x+10=1$
整理为一般形式：$3x^2-11x+9=0$
这里$a=3,b=-11,c=9$
计算判别式：$\Delta=(-11)^2-4×3×9=13＞0$
代入求根公式得：$x=\frac{11\pm\sqrt{13}}{2×3}$
$\therefore x_1=\frac{11+\sqrt{13}}{6},x_2=\frac{11-\sqrt{13}}{6}$
【答案】
(1)$x_1=-2,x_2=-8$
(2)$x_1=\frac{-1+\sqrt{61}}{6},x_2=\frac{-1-\sqrt{61}}{6}$
(3)$x_1=2,x_2=3$
(4)$x_1=\frac{11+\sqrt{13}}{6},x_2=\frac{11-\sqrt{13}}{6}$
【知识点】
一元二次方程的解法、因式分解法、公式法
【点评】
本题考查一元二次方程的基础解法，解题时优先选择简便方法可提升计算效率，使用公式法时要先判断判别式的符号，计算过程中注意符号问题，避免失误。
【难度系数】
0.75
