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8. 某围棋比赛采用单循环赛制(即每位选手与其他选手各比赛1局)，且参赛者少于15人.
小明:本次比赛一共进行了70局!
小红:按赛制,如果每个人都参加了所有比赛,不应该是70局!
(1)若参赛者共5人,则按赛制应该进行几局比赛?
(2)小红说的有道理吗?请通过计算说明.
小明:本次比赛一共进行了70局!
小红:按赛制,如果每个人都参加了所有比赛,不应该是70局!
(1)若参赛者共5人,则按赛制应该进行几局比赛?
(2)小红说的有道理吗?请通过计算说明.
答案
8.解:(1)由题意,得5个人比赛的局数为$\frac{5×(5-1)}{2}=10$.
(2)小红说的有道理.理由:设有$x$人报名参赛.由题意,得$\frac{x(x-1)}{2}=70$,解得$x=\frac{1\pm\sqrt{561}}{2}$,不为整数,方程的解不符合实际,故小红说的有道理.
(2)小红说的有道理.理由:设有$x$人报名参赛.由题意,得$\frac{x(x-1)}{2}=70$,解得$x=\frac{1\pm\sqrt{561}}{2}$,不为整数,方程的解不符合实际,故小红说的有道理.
解析
【分析】
本题考查单循环赛的计数规律和一元二次方程的实际应用，解题思路如下：
1. 第一问核心是明确单循环赛总场数的计算逻辑：每位选手要和其余所有选手各赛1局，若有x位选手，每人会赛(x-1)局，但每局比赛会被2位选手各计数1次，因此总场数为$\frac{x(x-1)}{2}$，将x=5代入公式即可求解。
2. 第二问可先假设总场数为70局，代入上述公式列一元二次方程，求解后判断解是否为正整数（参赛人数必须为正整数且少于15），若解不符合实际要求，说明小明的说法错误，小红说的有道理。
【解析】
(1) 根据单循环赛的总场数公式，当参赛者共5人时，总比赛局数为：
$\frac{5×(5-1)}{2}=\frac{5×4}{2}=10$（局）
(2) 小红说的有道理，理由如下：
设共有$x$人报名参赛，根据总场数公式列方程：
$\frac{x(x-1)}{2}=70$
整理得：$x^2 - x - 140 = 0$
由求根公式解得：$x=\frac{1\pm\sqrt{1+4×140}}{2}=\frac{1\pm\sqrt{561}}{2}$
由于参赛人数$x$必须为正整数，但$\sqrt{561}$不是整数，因此方程的解不符合实际意义，不存在总场数为70局的情况，故小红说的有道理。
【答案】
(1) 10局；(2) 小红说的有道理，计算说明见解析。
【知识点】
1. 一元二次方程应用
2. 单循环赛计数
3. 实际问题解的检验
【点评】
本题结合生活中的比赛场景出题，解题关键是正确推导单循环赛的场数计算公式，同时要注意求解实际问题对应的方程后，必须检验解是否符合现实要求（如人数为正整数），避免出现数学上成立但不符合实际的结论，能有效提升学生的数学建模能力和逻辑判断能力。
【难度系数】
0.7
本题考查单循环赛的计数规律和一元二次方程的实际应用，解题思路如下：
1. 第一问核心是明确单循环赛总场数的计算逻辑：每位选手要和其余所有选手各赛1局，若有x位选手，每人会赛(x-1)局，但每局比赛会被2位选手各计数1次，因此总场数为$\frac{x(x-1)}{2}$，将x=5代入公式即可求解。
2. 第二问可先假设总场数为70局，代入上述公式列一元二次方程，求解后判断解是否为正整数（参赛人数必须为正整数且少于15），若解不符合实际要求，说明小明的说法错误，小红说的有道理。
【解析】
(1) 根据单循环赛的总场数公式，当参赛者共5人时，总比赛局数为：
$\frac{5×(5-1)}{2}=\frac{5×4}{2}=10$（局）
(2) 小红说的有道理，理由如下：
设共有$x$人报名参赛，根据总场数公式列方程：
$\frac{x(x-1)}{2}=70$
整理得：$x^2 - x - 140 = 0$
由求根公式解得：$x=\frac{1\pm\sqrt{1+4×140}}{2}=\frac{1\pm\sqrt{561}}{2}$
由于参赛人数$x$必须为正整数，但$\sqrt{561}$不是整数，因此方程的解不符合实际意义，不存在总场数为70局的情况，故小红说的有道理。
【答案】
(1) 10局；(2) 小红说的有道理，计算说明见解析。
【知识点】
1. 一元二次方程应用
2. 单循环赛计数
3. 实际问题解的检验
【点评】
本题结合生活中的比赛场景出题，解题关键是正确推导单循环赛的场数计算公式，同时要注意求解实际问题对应的方程后，必须检验解是否符合现实要求（如人数为正整数），避免出现数学上成立但不符合实际的结论，能有效提升学生的数学建模能力和逻辑判断能力。
【难度系数】
0.7
9. 无论$a,b$为何值,代数式$a^2 + b^2 + 6b + 11 - 2a$的值总是（
A.非负数
B.0
C.正数
D.负数
C
）A.非负数
B.0
C.正数
D.负数
答案
9.C
解析
【分析】
要判断该代数式的值的取值范围，观察到式子含有a、b的二次项和一次项，优先采用配方法解题：先将含a的项、含b的项分别归类，再分别对a、b的部分配方，将代数式转化为几个完全平方式与常数相加的形式，最后结合平方的非负性（任何数的平方都大于等于0）即可判断整体的取值范围。
【解析】
对代数式整理变形如下：
$\begin{aligned}a^2 + b^2 + 6b + 11 - 2a&=(a^2 - 2a) + (b^2 + 6b) + 11\\&=(a^2 - 2a +1 -1) + (b^2 +6b +9 -9) +11\\&=(a-1)^2 -1 + (b+3)^2 -9 +11\\&=(a-1)^2 + (b+3)^2 +1\end{aligned}$
根据平方的非负性可知：$\boldsymbol{(a-1)^2≥0}$，$\boldsymbol{(b+3)^2≥0}$，因此$(a-1)^2 + (b+3)^2 +1≥ 0+0+1=1＞0$，即无论a、b为何值，该代数式的值总是正数。
【答案】
C
【知识点】
配方法的应用；完全平方公式；平方的非负性
【点评】
本题核心考查配方法的灵活运用，将含多个字母的二次式转化为完全平方与常数的和是解题的切入点，结合平方的非负性即可快速判断代数式的取值范围，是代数变形类的常见题型。
【难度系数】
0.7
要判断该代数式的值的取值范围，观察到式子含有a、b的二次项和一次项，优先采用配方法解题：先将含a的项、含b的项分别归类，再分别对a、b的部分配方，将代数式转化为几个完全平方式与常数相加的形式，最后结合平方的非负性（任何数的平方都大于等于0）即可判断整体的取值范围。
【解析】
对代数式整理变形如下：
$\begin{aligned}a^2 + b^2 + 6b + 11 - 2a&=(a^2 - 2a) + (b^2 + 6b) + 11\\&=(a^2 - 2a +1 -1) + (b^2 +6b +9 -9) +11\\&=(a-1)^2 -1 + (b+3)^2 -9 +11\\&=(a-1)^2 + (b+3)^2 +1\end{aligned}$
根据平方的非负性可知：$\boldsymbol{(a-1)^2≥0}$，$\boldsymbol{(b+3)^2≥0}$，因此$(a-1)^2 + (b+3)^2 +1≥ 0+0+1=1＞0$，即无论a、b为何值，该代数式的值总是正数。
【答案】
C
【知识点】
配方法的应用；完全平方公式；平方的非负性
【点评】
本题核心考查配方法的灵活运用，将含多个字母的二次式转化为完全平方与常数的和是解题的切入点，结合平方的非负性即可快速判断代数式的取值范围，是代数变形类的常见题型。
【难度系数】
0.7
10. 甲、乙两位同学解方程 $x^2 + px + q = 0$，甲看错了一次项系数，得其根为2和7，乙看错了常数项，得其根为1和－10，则原方程为 （
A.$x^2 - 9x + 14 = 0$
B.$x^2 + 9x - 14 = 0$
C.$x^2 - 9x + 10 = 0$
D.$x^2 + 9x + 14 = 0$
D
）A.$x^2 - 9x + 14 = 0$
B.$x^2 + 9x - 14 = 0$
C.$x^2 - 9x + 10 = 0$
D.$x^2 + 9x + 14 = 0$
答案
10.D
解析
【分析】
解答本题的核心是利用一元二次方程根与系数的关系，明确看错某一项系数时对应的正确量：甲仅看错一次项系数，说明他解得的两根对应的常数项q是正确的（一次项系数错误不影响两根乘积的结果）；乙仅看错常数项，说明他解得的两根对应的一次项系数p是正确的（常数项错误不影响两根和的结果）。分别用甲的两根计算q，用乙的两根计算p，即可得到原方程的正确系数。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 + px + q = 0$，若两根为$x_1$、$x_2$，根据根与系数的关系可得：
$x_1 + x_2 = -p$，$x_1x_2 = q$。
1. 求常数项$q$：
甲看错一次项系数，根为2和7，此时两根乘积对应正确的$q$，因此$q = 2 × 7 = 14$。
2. 求一次项系数$p$：
乙看错常数项，根为1和$-10$，此时两根和对应正确的$p$，因此两根和为$1 + (-10) = -9$，代入关系得$-9 = -p$，解得$p = 9$。
将$p=9$、$q=14$代入原方程，得$x^2 + 9x + 14 = 0$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程系数求解
【点评】
本题是根与系数关系的典型应用型题目，解题关键是理清看错系数时不变的运算量，无需解原方程即可通过错解的根快速推导正确系数，能很好地考查对根与系数关系的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
解答本题的核心是利用一元二次方程根与系数的关系，明确看错某一项系数时对应的正确量：甲仅看错一次项系数，说明他解得的两根对应的常数项q是正确的（一次项系数错误不影响两根乘积的结果）；乙仅看错常数项，说明他解得的两根对应的一次项系数p是正确的（常数项错误不影响两根和的结果）。分别用甲的两根计算q，用乙的两根计算p，即可得到原方程的正确系数。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 + px + q = 0$，若两根为$x_1$、$x_2$，根据根与系数的关系可得：
$x_1 + x_2 = -p$，$x_1x_2 = q$。
1. 求常数项$q$：
甲看错一次项系数，根为2和7，此时两根乘积对应正确的$q$，因此$q = 2 × 7 = 14$。
2. 求一次项系数$p$：
乙看错常数项，根为1和$-10$，此时两根和对应正确的$p$，因此两根和为$1 + (-10) = -9$，代入关系得$-9 = -p$，解得$p = 9$。
将$p=9$、$q=14$代入原方程，得$x^2 + 9x + 14 = 0$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程系数求解
【点评】
本题是根与系数关系的典型应用型题目，解题关键是理清看错系数时不变的运算量，无需解原方程即可通过错解的根快速推导正确系数，能很好地考查对根与系数关系的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
11.若等腰三角形(不等边)的一边长为3,另两边长是关于x的方程$x^2 - 8x + 2m + 2 = 0$的两个根,则m的值为
6.5或7
.答案
11.6.5或7
解析
【分析】
本题需结合等腰三角形的性质分情况讨论：首先已知边长为3，未明确是腰还是底边，因此分两种情况：①若3是腰长，则3是方程的一个根，代入方程即可求出m的值，再求解方程得到另一根，验证三边能否构成三角形且满足不等边的要求；②若3是底边长，则方程的两个根是等腰三角形的两腰，即两根相等，根据一元二次方程判别式为0求出m的值，再求解方程得到腰长，验证三边是否符合要求，最终得到符合条件的m值。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当长为3的边是等腰三角形的腰时：
将x=3代入方程$x^2 - 8x + 2m + 2 = 0$，得：
$3^2 - 8×3 + 2m + 2 = 0$
$9 - 24 + 2m + 2 = 0$
解得$m=6.5$
此时方程为$x^2 -8x +15=0$，因式分解得$(x-3)(x-5)=0$，解得$x_1=3$，$x_2=5$
三角形三边长为3，3，5，满足三角形三边关系，且为不等边等腰三角形，符合题意。
2. 当长为3的边是等腰三角形的底边时：
此时方程的两个根为两腰长，即两根相等，因此判别式$\Delta=0$
$\Delta=(-8)^2 -4×1×(2m+2)=0$
$64 - 8m -8 = 0$
解得$m=7$
此时方程为$x^2 -8x +16=0$，即$(x-4)^2=0$，解得$x_1=x_2=4$
三角形三边长为3，4，4，满足三角形三边关系，且为不等边等腰三角形，符合题意。
综上，m的值为6.5或7。
【答案】
6.5或7
【知识点】
等腰三角形性质；一元二次方程根的判别式；三角形三边关系
【点评】
本题重点考查分类讨论思想的应用，解题时要注意先对已知边是腰还是底边分类，求出结果后一定要验证是否满足三角形三边关系，同时不要忽略题目中“不等边”的限制条件，避免出现多解或漏解的错误。
【难度系数】
0.6
本题需结合等腰三角形的性质分情况讨论：首先已知边长为3，未明确是腰还是底边，因此分两种情况：①若3是腰长，则3是方程的一个根，代入方程即可求出m的值，再求解方程得到另一根，验证三边能否构成三角形且满足不等边的要求；②若3是底边长，则方程的两个根是等腰三角形的两腰，即两根相等，根据一元二次方程判别式为0求出m的值，再求解方程得到腰长，验证三边是否符合要求，最终得到符合条件的m值。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当长为3的边是等腰三角形的腰时：
将x=3代入方程$x^2 - 8x + 2m + 2 = 0$，得：
$3^2 - 8×3 + 2m + 2 = 0$
$9 - 24 + 2m + 2 = 0$
解得$m=6.5$
此时方程为$x^2 -8x +15=0$，因式分解得$(x-3)(x-5)=0$，解得$x_1=3$，$x_2=5$
三角形三边长为3，3，5，满足三角形三边关系，且为不等边等腰三角形，符合题意。
2. 当长为3的边是等腰三角形的底边时：
此时方程的两个根为两腰长，即两根相等，因此判别式$\Delta=0$
$\Delta=(-8)^2 -4×1×(2m+2)=0$
$64 - 8m -8 = 0$
解得$m=7$
此时方程为$x^2 -8x +16=0$，即$(x-4)^2=0$，解得$x_1=x_2=4$
三角形三边长为3，4，4，满足三角形三边关系，且为不等边等腰三角形，符合题意。
综上，m的值为6.5或7。
【答案】
6.5或7
【知识点】
等腰三角形性质；一元二次方程根的判别式；三角形三边关系
【点评】
本题重点考查分类讨论思想的应用，解题时要注意先对已知边是腰还是底边分类，求出结果后一定要验证是否满足三角形三边关系，同时不要忽略题目中“不等边”的限制条件，避免出现多解或漏解的错误。
【难度系数】
0.6
12. 公安交警部门要求市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定. 某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，其中该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同.
(1)求该品牌头盔销售量的月增长率.
(2)若此种头盔的进价为30元/个，经测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个.若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10 000元，且尽可能让顾客得到实惠，该品牌头盔的实际售价应定为多少？
(1)求该品牌头盔销售量的月增长率.
(2)若此种头盔的进价为30元/个，经测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个.若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10 000元，且尽可能让顾客得到实惠，该品牌头盔的实际售价应定为多少？
答案
12.解:(1)设该品牌头盔销售量的月增长率为$x$.依题意,得$150(1+x)^2=216$,解得$x_1=0.2=20\%$,$x_2=-2.2$(不符合题意,舍去).答:该品牌头盔销售量的月增长率为$20\%$.
(2)设该品牌头盔的实际售价为$y$元/个.依题意,得$(y-30)[600-10(y-40)]=10000$,整理,得$y^2-130y+4000=0$,解得$y_1=80$(不符合题意,舍去),$y_2=50$.答:该品牌头盔的实际售价应定为50元/个.
(2)设该品牌头盔的实际售价为$y$元/个.依题意,得$(y-30)[600-10(y-40)]=10000$,整理,得$y^2-130y+4000=0$,解得$y_1=80$(不符合题意,舍去),$y_2=50$.答:该品牌头盔的实际售价应定为50元/个.
解析
【分析】
(1)本题属于平均增长率问题，核心解题依据是增长率计算公式：初始量×(1+月增长率)^间隔月数=最终量。已知4月销量（初始量）为150个，6月销量（最终量）为216个，4月到6月间隔2个月，设月增长率为x，代入公式列一元二次方程求解即可，注意增长率为正数，不符合实际的负根需舍去。
(2)本题属于销售利润问题，核心等量关系为：月销售总利润=单个商品利润×月销售量。设实际售价为y元/个，单个利润为售价减进价即(y-30)元；再根据售价与销量的变化规律：售价比40元每高1元，销量减少10个，因此月销售量为[600-10(y-40)]个，代入等量关系列方程求解后，需结合“尽可能让顾客得到实惠”的要求，选择售价更低的根，舍去较高的根。
【解析】
(1)设该品牌头盔销售量的月增长率为$x$.
依题意，得：$150(1+x)^2=216$
化简得$(1+x)^2=1.44$，开方得$1+x=\pm1.2$
解得$x_1=0.2=20\%$，$x_2=-2.2$（增长率不能为负，不符合题意，舍去）。
答：该品牌头盔销售量的月增长率为$20\%$。
(2)设该品牌头盔的实际售价为$y$元/个.
依题意，得：$(y-30)[600-10(y-40)]=10000$
整理得$y^2-130y+4000=0$，因式分解为$(y-50)(y-80)=0$
解得$y_1=80$，$y_2=50$
因要尽可能让顾客得到实惠，故舍去较高售价$y=80$，取$y=50$。
答：该品牌头盔的实际售价应定为50元/个。
【答案】
(1)20%；(2)50元/个
【知识点】
一元二次方程的应用，增长率问题，销售利润问题
【点评】
本题是一元二次方程实际应用的常规题型，覆盖了增长率、销售利润两类高频考点，解题关键是准确梳理题干数量关系、找准等量关系列方程，同时要注意结合实际场景对根进行合理性取舍。
【难度系数】
0.75
(1)本题属于平均增长率问题，核心解题依据是增长率计算公式：初始量×(1+月增长率)^间隔月数=最终量。已知4月销量（初始量）为150个，6月销量（最终量）为216个，4月到6月间隔2个月，设月增长率为x，代入公式列一元二次方程求解即可，注意增长率为正数，不符合实际的负根需舍去。
(2)本题属于销售利润问题，核心等量关系为：月销售总利润=单个商品利润×月销售量。设实际售价为y元/个，单个利润为售价减进价即(y-30)元；再根据售价与销量的变化规律：售价比40元每高1元，销量减少10个，因此月销售量为[600-10(y-40)]个，代入等量关系列方程求解后，需结合“尽可能让顾客得到实惠”的要求，选择售价更低的根，舍去较高的根。
【解析】
(1)设该品牌头盔销售量的月增长率为$x$.
依题意，得：$150(1+x)^2=216$
化简得$(1+x)^2=1.44$，开方得$1+x=\pm1.2$
解得$x_1=0.2=20\%$，$x_2=-2.2$（增长率不能为负，不符合题意，舍去）。
答：该品牌头盔销售量的月增长率为$20\%$。
(2)设该品牌头盔的实际售价为$y$元/个.
依题意，得：$(y-30)[600-10(y-40)]=10000$
整理得$y^2-130y+4000=0$，因式分解为$(y-50)(y-80)=0$
解得$y_1=80$，$y_2=50$
因要尽可能让顾客得到实惠，故舍去较高售价$y=80$，取$y=50$。
答：该品牌头盔的实际售价应定为50元/个。
【答案】
(1)20%；(2)50元/个
【知识点】
一元二次方程的应用，增长率问题，销售利润问题
【点评】
本题是一元二次方程实际应用的常规题型，覆盖了增长率、销售利润两类高频考点，解题关键是准确梳理题干数量关系、找准等量关系列方程，同时要注意结合实际场景对根进行合理性取舍。
【难度系数】
0.75
