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5. 在一块长为a，宽为b的长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路任何地方的水平宽度都是1个单位长度），则草地的面积为
$b(a-1)$
。答案
5. $b(a-1)$
解析
【分析】
拿到本题，首先观察到草地被弯曲的小路分成了两块不规则图形，直接分别计算两块草地的面积难度较大。再结合题目给出的“小路任何地方的水平宽度都是1个单位长度”的条件，可想到运用平移的方法求解：将左右两块草地沿水平方向向中间拼接，刚好可以消除小路的部分，拼接后草地会变为一个规则的长方形。接下来只需确定新长方形的长和宽，就能计算出面积：新长方形的宽和原长方形的宽一致为b，长是原长方形的长a减去小路的水平宽度1，即a-1，最后代入长方形面积公式即可。
【解析】
解：将左右两侧的草地沿水平方向向中间平移拼接，
因为小路任意位置的水平宽度为1个单位长度，所以拼接后草地为一个长方形，
该长方形的长为$a-1$，宽为$b$，
根据长方形面积公式：$\mathrm{面积}=\mathrm{长}×\mathrm{宽}$，
可得草地面积为$(a-1)× b = b(a-1)$。
【答案】
$b(a-1)$
【知识点】
平移的性质；长方形面积计算
【点评】
本题考查平移思想在实际面积计算中的应用，通过平移将不规则的图形转化为规则的长方形求解，大大简化了计算步骤，解题的关键是理解小路水平宽度恒定的条件，准确得到拼接后长方形的长宽参数，是平移应用的典型题型。
【难度系数】
0.8
拿到本题，首先观察到草地被弯曲的小路分成了两块不规则图形，直接分别计算两块草地的面积难度较大。再结合题目给出的“小路任何地方的水平宽度都是1个单位长度”的条件，可想到运用平移的方法求解：将左右两块草地沿水平方向向中间拼接，刚好可以消除小路的部分，拼接后草地会变为一个规则的长方形。接下来只需确定新长方形的长和宽，就能计算出面积：新长方形的宽和原长方形的宽一致为b，长是原长方形的长a减去小路的水平宽度1，即a-1，最后代入长方形面积公式即可。
【解析】
解：将左右两侧的草地沿水平方向向中间平移拼接，
因为小路任意位置的水平宽度为1个单位长度，所以拼接后草地为一个长方形，
该长方形的长为$a-1$，宽为$b$，
根据长方形面积公式：$\mathrm{面积}=\mathrm{长}×\mathrm{宽}$，
可得草地面积为$(a-1)× b = b(a-1)$。
【答案】
$b(a-1)$
【知识点】
平移的性质；长方形面积计算
【点评】
本题考查平移思想在实际面积计算中的应用，通过平移将不规则的图形转化为规则的长方形求解，大大简化了计算步骤，解题的关键是理解小路水平宽度恒定的条件，准确得到拼接后长方形的长宽参数，是平移应用的典型题型。
【难度系数】
0.8
6. 如图，直线AB//CD，BC平分∠ABD，∠1=65°，求∠2的度数.
答案
6. 解：$\because AB// CD$,
$\therefore ∠ ABC=∠ 1=65°$, $∠ EBD=∠ 2$,
$\because BC$平分$∠ ABD$,
$\therefore ∠ ABC=∠ CBD=65°$,
$\therefore ∠ 2=∠ EBD=50°$.
$\therefore ∠ ABC=∠ 1=65°$, $∠ EBD=∠ 2$,
$\because BC$平分$∠ ABD$,
$\therefore ∠ ABC=∠ CBD=65°$,
$\therefore ∠ 2=∠ EBD=50°$.
解析
【分析】
要解决这道题可顺着已知条件逐步推导：①首先根据给出的AB//CD的平行条件，利用平行线同位角相等的性质，可得∠ABC和∠1相等、∠2和∠EBD相等，先求出∠ABC的度数；②结合BC平分∠ABD的条件，根据角平分线的定义可得∠CBD和∠ABC相等，就能算出∠ABD的总度数；③由于A、B、E共线，∠ABE是180°的平角，用180°减去∠ABD的度数即可得到∠EBD的度数，进而求出∠2的度数。
【解析】
解：$\because AB// CD$，
$\therefore ∠ ABC=∠ 1=65°$，$∠ 2=∠ EBD$（两直线平行，同位角相等），
$\because BC$平分$∠ ABD$，
$\therefore ∠ ABC=∠ CBD=65°$（角平分线的定义），
$\therefore ∠ ABD=∠ ABC+∠ CBD=65°+65°=130°$，
又$\because ∠ ABD+∠ EBD=180°$（平角的定义），
$\therefore ∠ EBD=180°-130°=50°$，
$\therefore ∠ 2=∠ EBD=50°$。
【答案】
$∠2=50°$
【知识点】
平行线的性质，角平分线的定义，平角的定义
【点评】
本题属于几何基础综合题，核心考察平行线性质和角平分线定义的结合应用，解题关键是找准平行线被截线形成的同位角，理清各角之间的数量关系，是几何入门阶段需要熟练掌握的常规题型。
【难度系数】
0.8
要解决这道题可顺着已知条件逐步推导：①首先根据给出的AB//CD的平行条件，利用平行线同位角相等的性质，可得∠ABC和∠1相等、∠2和∠EBD相等，先求出∠ABC的度数；②结合BC平分∠ABD的条件，根据角平分线的定义可得∠CBD和∠ABC相等，就能算出∠ABD的总度数；③由于A、B、E共线，∠ABE是180°的平角，用180°减去∠ABD的度数即可得到∠EBD的度数，进而求出∠2的度数。
【解析】
解：$\because AB// CD$，
$\therefore ∠ ABC=∠ 1=65°$，$∠ 2=∠ EBD$（两直线平行，同位角相等），
$\because BC$平分$∠ ABD$，
$\therefore ∠ ABC=∠ CBD=65°$（角平分线的定义），
$\therefore ∠ ABD=∠ ABC+∠ CBD=65°+65°=130°$，
又$\because ∠ ABD+∠ EBD=180°$（平角的定义），
$\therefore ∠ EBD=180°-130°=50°$，
$\therefore ∠ 2=∠ EBD=50°$。
【答案】
$∠2=50°$
【知识点】
平行线的性质，角平分线的定义，平角的定义
【点评】
本题属于几何基础综合题，核心考察平行线性质和角平分线定义的结合应用，解题关键是找准平行线被截线形成的同位角，理清各角之间的数量关系，是几何入门阶段需要熟练掌握的常规题型。
【难度系数】
0.8
7. 如图，$AB// CD$，$∠ 1=100°$，$∠ 2=120°$，则$∠ α$等于（
A.$100°$
B.$80°$
C.$60°$
D.$40°$
D
）A.$100°$
B.$80°$
C.$60°$
D.$40°$
答案
7. D
解析
【分析】
这是平行线间折线求角度的典型问题，解题思路如下：第一步，遇到两条平行线被折线所截的情况，我们可以过折线的中间交点作平行于AB的辅助线，根据平行公理的推论，这条辅助线也与CD平行；第二步，利用“两直线平行，同旁内角互补”的性质，分别求出∠1、∠2对应的同旁内角的度数；第三步，结合平角为180°的性质，用180°减去前面求出的两个角的度数，即可得到∠α的大小。
【解析】
解：过折线与AC的交点E作$EF// AB$。
$\because AB// CD$，$EF// AB$
$\therefore EF// CD$（平行于同一条直线的两条直线互相平行）
$\because EF// AB$
$\therefore ∠ 1 + ∠ AEF = 180°$（两直线平行，同旁内角互补）
代入$∠ 1=100°$，得$∠ AEF=180°-100°=80°$
$\because EF// CD$
$\therefore ∠ 2 + ∠ CEF = 180°$（两直线平行，同旁内角互补）
代入$∠ 2=120°$，得$∠ CEF=180°-120°=60°$
又$\because ∠ AEF + ∠ α + ∠ CEF = 180°$（平角的定义）
$\therefore ∠ α = 180° - 80° - 60° = 40°$
【答案】
D
【知识点】
平行线的性质，平行公理推论，平角定义
【点评】
本题是平行线性质的基础应用题型，解题核心是在平行线间的折线位置作辅助平行线，将分散的已知角和未知角建立关联，就能快速求解。
【难度系数】
0.7
这是平行线间折线求角度的典型问题，解题思路如下：第一步，遇到两条平行线被折线所截的情况，我们可以过折线的中间交点作平行于AB的辅助线，根据平行公理的推论，这条辅助线也与CD平行；第二步，利用“两直线平行，同旁内角互补”的性质，分别求出∠1、∠2对应的同旁内角的度数；第三步，结合平角为180°的性质，用180°减去前面求出的两个角的度数，即可得到∠α的大小。
【解析】
解：过折线与AC的交点E作$EF// AB$。
$\because AB// CD$，$EF// AB$
$\therefore EF// CD$（平行于同一条直线的两条直线互相平行）
$\because EF// AB$
$\therefore ∠ 1 + ∠ AEF = 180°$（两直线平行，同旁内角互补）
代入$∠ 1=100°$，得$∠ AEF=180°-100°=80°$
$\because EF// CD$
$\therefore ∠ 2 + ∠ CEF = 180°$（两直线平行，同旁内角互补）
代入$∠ 2=120°$，得$∠ CEF=180°-120°=60°$
又$\because ∠ AEF + ∠ α + ∠ CEF = 180°$（平角的定义）
$\therefore ∠ α = 180° - 80° - 60° = 40°$
【答案】
D
【知识点】
平行线的性质，平行公理推论，平角定义
【点评】
本题是平行线性质的基础应用题型，解题核心是在平行线间的折线位置作辅助平行线，将分散的已知角和未知角建立关联，就能快速求解。
【难度系数】
0.7
8. 图1是一盏台灯，图2是其侧面示意图，已知AB//FE，∠D=140°，∠DCB=77°，则∠E=
$117°$
。答案
8. $117°$
解析
【分析】
已知AB//FE，两条平行线间存在ED、DC两条折线，无法直接利用平行线性质建立已知角和∠E的关系，因此考虑过拐点D作辅助线DG平行于AB，根据平行公理的推论可得DG也平行于FE，再分别利用平行线的内错角相等、同旁内角互补的性质，逐步计算出∠E的度数。
【解析】
过点D作DG//AB，
∵AB//FE，
∴DG//FE//AB（平行于同一条直线的两条直线互相平行）。
∵DG//AB，
∴∠CDG=∠DCB=77°（两直线平行，内错角相等）。
∵∠CDE=140°，
∴∠EDG=∠CDE - ∠CDG=140°-77°=63°。
又
∵FE//DG，
∴∠E + ∠EDG=180°（两直线平行，同旁内角互补），
∴∠E=180°-63°=117°。
【答案】
$117°$
【知识点】
平行线的性质，平行公理的推论
【点评】
本题是平行线性质的典型应用题型，解题关键是在平行线间的拐点处作辅助平行线，即可将折线问题转化为常规的平行线求角问题，解题思路具有通用性。
【难度系数】
0.7
已知AB//FE，两条平行线间存在ED、DC两条折线，无法直接利用平行线性质建立已知角和∠E的关系，因此考虑过拐点D作辅助线DG平行于AB，根据平行公理的推论可得DG也平行于FE，再分别利用平行线的内错角相等、同旁内角互补的性质，逐步计算出∠E的度数。
【解析】
过点D作DG//AB，
∵AB//FE，
∴DG//FE//AB（平行于同一条直线的两条直线互相平行）。
∵DG//AB，
∴∠CDG=∠DCB=77°（两直线平行，内错角相等）。
∵∠CDE=140°，
∴∠EDG=∠CDE - ∠CDG=140°-77°=63°。
又
∵FE//DG，
∴∠E + ∠EDG=180°（两直线平行，同旁内角互补），
∴∠E=180°-63°=117°。
【答案】
$117°$
【知识点】
平行线的性质，平行公理的推论
【点评】
本题是平行线性质的典型应用题型，解题关键是在平行线间的拐点处作辅助平行线，即可将折线问题转化为常规的平行线求角问题，解题思路具有通用性。
【难度系数】
0.7
9. 如图，已知$△ ABC$中，$∠ ABC=90°$，$BC=12\mathrm{cm}$，把$△ ABC$向下平移至$△ DEF$后，$AD=5\mathrm{cm}$，$GC=4\mathrm{cm}$，则图中阴影部分的面积是
（第9题）
50
$\mathrm{cm}^2$.（第9题）答案
9. 50
解析
【分析】
首先根据平移的性质，平移前后的两个图形全等，面积相等，对应边相等，对应点的连线长度相等。观察图形可知，△ABC和△DEF的面积相等，二者同时减去公共部分△DBG的面积，剩余部分的面积也相等，即可将阴影部分的面积转化为梯形的面积计算。接下来先求出梯形的上底、下底和高：平移距离AD=BE=5cm即梯形的高，BC=EF=12cm是梯形的下底，通过BG=BC-GC算出上底，最后用梯形面积公式计算即可。
【解析】
解：
∵△ABC向下平移得到△DEF，
∴△ABC≌△DEF，
∴$S_{△ ABC}=S_{△ DEF}$，$BC=EF=12\mathrm{cm}$，$AD=BE=5\mathrm{cm}$。
∵$S_{△ ABC} - S_{△ DBG} = S_{△ DEF} - S_{△ DBG}$，
∴$S_{阴影} = S_{梯形BGFE}$。
又
∵$GC=4\mathrm{cm}$，
∴$BG=BC - GC=12 - 4=8(\mathrm{cm})$。
根据梯形面积公式$S=(a+b)h÷2$，代入$a=BG=8\mathrm{cm}$，$b=EF=12\mathrm{cm}$，$h=BE=5\mathrm{cm}$，
得$S_{阴影}=(8+12)×5÷2=50(\mathrm{cm}^2)$。
【答案】
50
【知识点】
平移的性质；梯形面积计算
【点评】
本题巧妙利用平移前后图形面积相等的性质，将不规则的阴影部分面积转化为规则梯形的面积求解，体现了转化思想的应用，解题的关键是找到阴影部分面积对应的规则图形。
【难度系数】
0.7
首先根据平移的性质，平移前后的两个图形全等，面积相等，对应边相等，对应点的连线长度相等。观察图形可知，△ABC和△DEF的面积相等，二者同时减去公共部分△DBG的面积，剩余部分的面积也相等，即可将阴影部分的面积转化为梯形的面积计算。接下来先求出梯形的上底、下底和高：平移距离AD=BE=5cm即梯形的高，BC=EF=12cm是梯形的下底，通过BG=BC-GC算出上底，最后用梯形面积公式计算即可。
【解析】
解：
∵△ABC向下平移得到△DEF，
∴△ABC≌△DEF，
∴$S_{△ ABC}=S_{△ DEF}$，$BC=EF=12\mathrm{cm}$，$AD=BE=5\mathrm{cm}$。
∵$S_{△ ABC} - S_{△ DBG} = S_{△ DEF} - S_{△ DBG}$，
∴$S_{阴影} = S_{梯形BGFE}$。
又
∵$GC=4\mathrm{cm}$，
∴$BG=BC - GC=12 - 4=8(\mathrm{cm})$。
根据梯形面积公式$S=(a+b)h÷2$，代入$a=BG=8\mathrm{cm}$，$b=EF=12\mathrm{cm}$，$h=BE=5\mathrm{cm}$，
得$S_{阴影}=(8+12)×5÷2=50(\mathrm{cm}^2)$。
【答案】
50
【知识点】
平移的性质；梯形面积计算
【点评】
本题巧妙利用平移前后图形面积相等的性质，将不规则的阴影部分面积转化为规则梯形的面积求解，体现了转化思想的应用，解题的关键是找到阴影部分面积对应的规则图形。
【难度系数】
0.7
10. 问题情境：如下页图1，$AB // CD$，$∠ PAB=130°$，$∠ PCD=120°$，求$∠ APC$度数.
小明的思路是：过$P$作$PE // AB$，通过平行线性质来求$∠ APC$.
（1）按小明的思路，易求得$∠ APC$的度数为
（2）问题迁移：如图2，$AB // CD$，点$P$在射线$OM$上运动，记$∠ PAB=α$，$∠ PCD=β$，当点$P$在$B$、$D$两点之间运动时，问$∠ APC$与$α$，$β$之间有何数量关系？请说明理由.
（3）在（2）的条件下，当点$P$在$B$、$D$两点外侧运动时（点$P$与点$O$、$B$、$D$三点不重合），请直接写出$∠ APC$与$α$，$β$之间的数量关系.
小明的思路是：过$P$作$PE // AB$，通过平行线性质来求$∠ APC$.
（1）按小明的思路，易求得$∠ APC$的度数为
110
度.(直接写出答案)（2）问题迁移：如图2，$AB // CD$，点$P$在射线$OM$上运动，记$∠ PAB=α$，$∠ PCD=β$，当点$P$在$B$、$D$两点之间运动时，问$∠ APC$与$α$，$β$之间有何数量关系？请说明理由.
（3）在（2）的条件下，当点$P$在$B$、$D$两点外侧运动时（点$P$与点$O$、$B$、$D$三点不重合），请直接写出$∠ APC$与$α$，$β$之间的数量关系.
答案
10.(1)110
(2) 解：$∠ APC=α+β$，理由如下：
如图所示，过点$P$作$PE// AB$交$AC$于点$E$，
$\because AB// CD$,
$\therefore AB// PE// CD$,
$\therefore α=∠ APE$, $β=∠ CPE$,
$\therefore ∠ APC=∠ APE+∠ CPE=α+β$.
(3) 解：当$P$在$BD$延长线上时，$∠ APC=α-β$，当$P$在$DB$延长线上时，$∠ APC=β-α$.
解析
【分析】
（1）已知$AB// CD$，求$∠ APC$可参考提示过$P$作$PE// AB$，根据平行公理的推论可得$PE// CD$，再利用两直线平行，同旁内角互补，分别求出$∠ APE$和$∠ CPE$的度数，相加即可得到$∠ APC$的度数。
（2）探究$∠ APC$与$α$、$β$的数量关系，沿用拐点问题的通用思路，过$P$作平行于$AB$的辅助线，可证该辅助线也平行于$CD$，再利用两直线平行，内错角相等，将$∠ APC$拆分为两个分别等于$α$、$β$的角，即可推出数量关系。
（3）当点$P$在$B$、$D$外侧运动时，分两种情况讨论：①点$P$在$BD$的延长线上（$D$的右侧）；②点$P$在$DB$的延长线上（$B$的左侧，靠近$O$的位置）。同样过$P$作平行线，利用平行线的内错角相等的性质，此时两个角为差的关系，分别推导即可得到对应数量关系。
【解析】
（1）过点$P$作$PE// AB$，
$\because AB// CD$，
$\therefore PE// AB// CD$，
根据两直线平行，同旁内角互补，得：
$∠ PAB + ∠ APE = 180°$，$∠ PCD + ∠ CPE = 180°$，
$\because ∠ PAB=130°$，$∠ PCD=120°$，
$\therefore ∠ APE=180° - 130°=50°$，$∠ CPE=180° - 120°=60°$，
$\therefore ∠ APC=∠ APE + ∠ CPE=50° + 60°=110°$。
（2）$∠ APC=α+β$，理由如下：
过点$P$作$PE// AB$交$AC$于点$E$，
$\because AB// CD$，
$\therefore AB// PE// CD$，
根据两直线平行，内错角相等，得：
$∠ PAB=∠ APE=α$，$∠ PCD=∠ CPE=β$，
$\therefore ∠ APC=∠ APE + ∠ CPE=α+β$。
（3）分两种情况：
①当点$P$在$BD$的延长线上（$D$的右侧）时，过$P$作$PE// AB$，
$\because AB// CD$，$\therefore PE// AB// CD$，
$\therefore ∠ PAB=∠ APE=α$，$∠ PCD=∠ CPE=β$，
$\therefore ∠ APC=∠ APE - ∠ CPE=α - β$；
②当点$P$在$DB$的延长线上（$B$的左侧）时，过$P$作$PE// AB$，
$\because AB// CD$，$\therefore PE// AB// CD$，
$\therefore ∠ PAB=∠ APE=α$，$∠ PCD=∠ CPE=β$，
$\therefore ∠ APC=∠ CPE - ∠ APE=β - α$。
【答案】
(1) $110$
(2) $∠ APC=α+β$，理由见解析
(3) 当$P$在$BD$延长线上时，$∠ APC=α-β$；当$P$在$DB$延长线上时，$∠ APC=β-α$
【知识点】
平行线的性质，平行公理推论，分类讨论
【点评】
本题是平行线章节典型的拐点类题型，解题核心是过拐点作已知直线的平行线，利用平行线的性质实现角的转化。涉及动点时要注意分情况讨论不同位置下的角的关系，避免漏解。
【难度系数】
0.6
（1）已知$AB// CD$，求$∠ APC$可参考提示过$P$作$PE// AB$，根据平行公理的推论可得$PE// CD$，再利用两直线平行，同旁内角互补，分别求出$∠ APE$和$∠ CPE$的度数，相加即可得到$∠ APC$的度数。
（2）探究$∠ APC$与$α$、$β$的数量关系，沿用拐点问题的通用思路，过$P$作平行于$AB$的辅助线，可证该辅助线也平行于$CD$，再利用两直线平行，内错角相等，将$∠ APC$拆分为两个分别等于$α$、$β$的角，即可推出数量关系。
（3）当点$P$在$B$、$D$外侧运动时，分两种情况讨论：①点$P$在$BD$的延长线上（$D$的右侧）；②点$P$在$DB$的延长线上（$B$的左侧，靠近$O$的位置）。同样过$P$作平行线，利用平行线的内错角相等的性质，此时两个角为差的关系，分别推导即可得到对应数量关系。
【解析】
（1）过点$P$作$PE// AB$，
$\because AB// CD$，
$\therefore PE// AB// CD$，
根据两直线平行，同旁内角互补，得：
$∠ PAB + ∠ APE = 180°$，$∠ PCD + ∠ CPE = 180°$，
$\because ∠ PAB=130°$，$∠ PCD=120°$，
$\therefore ∠ APE=180° - 130°=50°$，$∠ CPE=180° - 120°=60°$，
$\therefore ∠ APC=∠ APE + ∠ CPE=50° + 60°=110°$。
（2）$∠ APC=α+β$，理由如下：
过点$P$作$PE// AB$交$AC$于点$E$，
$\because AB// CD$，
$\therefore AB// PE// CD$，
根据两直线平行，内错角相等，得：
$∠ PAB=∠ APE=α$，$∠ PCD=∠ CPE=β$，
$\therefore ∠ APC=∠ APE + ∠ CPE=α+β$。
（3）分两种情况：
①当点$P$在$BD$的延长线上（$D$的右侧）时，过$P$作$PE// AB$，
$\because AB// CD$，$\therefore PE// AB// CD$，
$\therefore ∠ PAB=∠ APE=α$，$∠ PCD=∠ CPE=β$，
$\therefore ∠ APC=∠ APE - ∠ CPE=α - β$；
②当点$P$在$DB$的延长线上（$B$的左侧）时，过$P$作$PE// AB$，
$\because AB// CD$，$\therefore PE// AB// CD$，
$\therefore ∠ PAB=∠ APE=α$，$∠ PCD=∠ CPE=β$，
$\therefore ∠ APC=∠ CPE - ∠ APE=β - α$。
【答案】
(1) $110$
(2) $∠ APC=α+β$，理由见解析
(3) 当$P$在$BD$延长线上时，$∠ APC=α-β$；当$P$在$DB$延长线上时，$∠ APC=β-α$
【知识点】
平行线的性质，平行公理推论，分类讨论
【点评】
本题是平行线章节典型的拐点类题型，解题核心是过拐点作已知直线的平行线，利用平行线的性质实现角的转化。涉及动点时要注意分情况讨论不同位置下的角的关系，避免漏解。
【难度系数】
0.6
