小明在做《数学》课本“目标与评定”中的一道题：如图1，直线a，b所成的角跑到画板外面去了，你有什么办法量出这两条直线所成的角的度数吗？小明的做法是：如图2，画$PC// a$，量出直线b与PC的夹角度数，即直线a，b所成角的度数。

（1）请写出这种做法的理由.
（2）小明在此基础上又进行了如下操作和探究（如图3）：①以P为圆心，任意长为半径画圆弧，分别交直线b，PC于点A，D；②连结AD并延长交直线a于点B，请写出图3中所有与$∠ PAB$相等的角，并说明理由.（提示：题目解答涉及等腰三角形的性质，请参阅浙教版《数学》教材八年级上册相关内容）
（3）请在图3画板内作出“直线a，b所成的跑到画板外面去的角”的平分线（画板内的部分），要求作出图形，并保留作图痕迹.（提示：题目解答涉及等腰三角形“三线合一”的性质和中垂线的尺规作图方法，请参阅浙教版《数学》教材八年级上册相关内容）

解：(1) 两直线平行，同位角相等.
(2) $∠ PAB=∠ PDA=∠ BDC=∠ 1$,
如图，$\because PA=PD$,
$\therefore ∠ PAB=∠ PDA$,
$\because ∠ BDC=∠ PDA$（对顶角相等）,
又$\because PC// a$,
$\therefore ∠ PDA=∠ 1$,
$\therefore ∠ PAB=∠ PDA=∠ BDC=∠ 1$.
(3) 如图，作线段$AB$的垂直平分线$EF$，则$EF$是所求作的图形.

【分析】
（1）要解释小明的做法，我们先明确$PC// a$这个条件，根据平行线的性质，直线b与PC的夹角和直线a、b所成的角是同位角，二者大小相等，因此可以通过测量b和PC的夹角得到a、b的夹角。
（2）找与$∠PAB$相等的角可分三步思考：首先看$△ PAD$，由作图可知$PA=PD$，是等腰三角形，等腰三角形两底角相等，因此$∠PAB=∠PDA$；其次$∠BDC$和$∠PDA$是对顶角，对顶角相等，因此$∠BDC=∠PDA$；最后结合$PC// a$的条件，根据平行线的内错角相等，可得$∠PDA=∠1$，即可推出所有相等的角。
（3）要作直线a、b所成角的平分线，由第二问结论可推出$△ PAB$是等腰三角形，根据等腰三角形“三线合一”的性质，底边AB的垂直平分线就是顶角的平分线，也就是所求的角平分线，只需按垂直平分线的尺规作图方法作图即可。
【解析】
(1) 已知$PC// a$，根据“两直线平行，同位角相等”，直线b与PC的夹角度数和直线a、b所成角的度数相等，因此可以通过测量直线b与PC的夹角度数得到直线a、b所成角的度数。
(2) 与$∠PAB$相等的角有$∠PDA$、$∠BDC$、$∠1$，推导过程如下：
① 由作图步骤可知$PA=PD$，即$△ PAD$为等腰三角形，因此$∠PAB=∠PDA$；
② $∠BDC$和$∠PDA$互为对顶角，根据对顶角相等，可得$∠BDC=∠PDA$；
③ 已知$PC// a$，根据“两直线平行，内错角相等”，可得$∠PDA=∠1$；
综上可得$∠PAB=∠PDA=∠BDC=∠1$。
(3) 作图：分别以点A、B为圆心，大于$\frac{1}{2}AB$的长度为半径画弧，两弧交于画板内的E点和画板外的F点，连接E、F得到直线$EF$，$EF$就是所求的角平分线。
【答案】
(1) 两直线平行，同位角相等.
(2) $∠ PAB=∠ PDA=∠ BDC=∠ 1$,
理由：$\because PA=PD$,
$\therefore ∠ PAB=∠ PDA$,
$\because ∠ BDC=∠ PDA$（对顶角相等）,
又$\because PC// a$,
$\therefore ∠ PDA=∠ 1$,
$\therefore ∠ PAB=∠ PDA=∠ BDC=∠ 1$.
(3) 如图，作线段$AB$的垂直平分线$EF$，则$EF$是所求作的图形.

【知识点】
平行线的性质；等腰三角形的性质；尺规作图
【点评】
本题结合实际操作场景考查几何性质的应用，既需要学生熟练掌握平行线、等腰三角形的相关性质，又考查了学生的动手作图能力，能很好地检验学生对几何知识的灵活运用水平。
【难度系数】
0.7