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11. 如图，已知$∠ DEB = 100°$，$∠ BAC = 80°$。
(1)判断DF与AC的位置关系，并说明理由；
(2)若$∠ ADF = ∠ C$，$∠ DAC = 120°$，求$∠ B$的度数。
(1)判断DF与AC的位置关系，并说明理由；
(2)若$∠ ADF = ∠ C$，$∠ DAC = 120°$，求$∠ B$的度数。
答案
11. (1)$DF// AC$，理由略.
(2)$∠ B = 40°$.
(2)$∠ B = 40°$.
解析
【分析】
(1)判断两条直线的位置关系通常优先考虑平行或垂直，本题结合已知角的度数，可通过平行线的判定定理推导：首先利用对顶角相等将已知的∠DEB转化为∠AEF，计算可得∠AEF与∠BAC的和为180°，满足“同旁内角互补，两直线平行”的判定条件，即可得到DF和AC的位置关系。
(2)在第一问得到平行关系的基础上，利用平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补，结合∠DAC的度数先求出∠ADF的度数，再根据∠ADF=∠C得到∠C的度数，最后在△ABC中利用三角形内角和为180°，代入已知的∠BAC和求出的∠C的度数，即可计算出∠B的度数。
【解析】
(1) $DF// AC$，理由如下：
∵ ∠DEB与∠AEF是对顶角，
∴ $∠ AEF = ∠ DEB = 100°$，
又
∵ $∠ BAC = 80°$，
∴ $∠ AEF + ∠ BAC = 100° + 80° = 180°$，
根据“同旁内角互补，两直线平行”，可得$DF// AC$。
(2)
∵ $DF// AC$，AD为截线，
∴ $∠ ADF + ∠ DAC = 180°$（两直线平行，同旁内角互补），
∵ $∠ DAC = 120°$，
∴ $∠ ADF = 180° - 120° = 60°$，
又
∵ $∠ ADF = ∠ C$，
∴ $∠ C = 60°$，
在$△ ABC$中，$∠ BAC + ∠ B + ∠ C = 180°$，$∠ BAC = 80°$，
∴ $∠ B = 180° - 80° - 60° = 40°$。
【答案】
(1) $DF// AC$；
(2) $∠ B = 40°$
【知识点】
1. 平行线的判定与性质
2. 三角形内角和定理
3. 对顶角的性质
【点评】
本题属于基础几何综合题，核心考查平行线判定、性质与三角形内角和的综合运用，解题关键是能根据已知角的特征灵活进行角的转化，结合相关定理逐步推导所求角的度数，是对几何基础应用能力的常规考查。
【难度系数】
0.7
(1)判断两条直线的位置关系通常优先考虑平行或垂直，本题结合已知角的度数，可通过平行线的判定定理推导：首先利用对顶角相等将已知的∠DEB转化为∠AEF，计算可得∠AEF与∠BAC的和为180°，满足“同旁内角互补，两直线平行”的判定条件，即可得到DF和AC的位置关系。
(2)在第一问得到平行关系的基础上，利用平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补，结合∠DAC的度数先求出∠ADF的度数，再根据∠ADF=∠C得到∠C的度数，最后在△ABC中利用三角形内角和为180°，代入已知的∠BAC和求出的∠C的度数，即可计算出∠B的度数。
【解析】
(1) $DF// AC$，理由如下：
∵ ∠DEB与∠AEF是对顶角，
∴ $∠ AEF = ∠ DEB = 100°$，
又
∵ $∠ BAC = 80°$，
∴ $∠ AEF + ∠ BAC = 100° + 80° = 180°$，
根据“同旁内角互补，两直线平行”，可得$DF// AC$。
(2)
∵ $DF// AC$，AD为截线，
∴ $∠ ADF + ∠ DAC = 180°$（两直线平行，同旁内角互补），
∵ $∠ DAC = 120°$，
∴ $∠ ADF = 180° - 120° = 60°$，
又
∵ $∠ ADF = ∠ C$，
∴ $∠ C = 60°$，
在$△ ABC$中，$∠ BAC + ∠ B + ∠ C = 180°$，$∠ BAC = 80°$，
∴ $∠ B = 180° - 80° - 60° = 40°$。
【答案】
(1) $DF// AC$；
(2) $∠ B = 40°$
【知识点】
1. 平行线的判定与性质
2. 三角形内角和定理
3. 对顶角的性质
【点评】
本题属于基础几何综合题，核心考查平行线判定、性质与三角形内角和的综合运用，解题关键是能根据已知角的特征灵活进行角的转化，结合相关定理逐步推导所求角的度数，是对几何基础应用能力的常规考查。
【难度系数】
0.7
12. 如图，点C在线段AB上，$∠ ACD + ∠ E = 180°$，$CD // BE$，CF平分$∠ BCD$交DE于点F.
(1)求证：$DE // AB$；
(2)若$∠ ACD = 62°$，求$∠ DFC$的度数.
(1)求证：$DE // AB$；
(2)若$∠ ACD = 62°$，求$∠ DFC$的度数.
答案
12. (1)略 (2)$∠ DFC = 59°$.
解析
【分析】
(1) 要证明$DE// AB$，可利用“同旁内角互补，两直线平行”的判定定理推导。首先根据已知$CD// BE$，利用平行线的性质得到$∠ ACD$与$∠ B$的等量关系，再结合$∠ ACD+∠ E=180°$等量代换得到$∠ B+∠ E=180°$，即可证明两直线平行。
(2) 求$∠ DFC$的度数时，先根据平角定义求出$∠ BCD$的度数，再利用角平分线的定义求出$∠ BCF$的度数，最后结合第一问得到的$DE// AB$，利用平行线内错角相等的性质即可得出结果。
【解析】
(1) 证明：
$\because CD// BE$（已知）
$\therefore ∠ ACD=∠ B$（两直线平行，同位角相等）
又$\because ∠ ACD+∠ E=180°$（已知）
$\therefore ∠ B+∠ E=180°$（等量代换）
$\therefore DE// AB$（同旁内角互补，两直线平行）
(2) 解：
$\because$点$C$在线段$AB$上，$∠ ACD=62°$
$\therefore ∠ BCD=180°-∠ ACD=180°-62°=118°$（平角的定义）
$\because CF$平分$∠ BCD$（已知）
$\therefore ∠ BCF=\frac{1}{2}∠ BCD=\frac{1}{2}×118°=59°$（角平分线的定义）
由(1)知$DE// AB$
$\therefore ∠ DFC=∠ BCF$（两直线平行，内错角相等）
$\therefore ∠ DFC=59°$
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $∠ DFC=59°$
【知识点】
平行线的判定与性质，角平分线的定义，平角的定义
【点评】
本题是几何基础题，核心考查平行线判定、性质的综合运用，解题时要注意区分平行线的判定和性质的适用场景，结合角平分线、平角的基本定义逐步推导即可，是平行线章节的典型考法。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明$DE// AB$，可利用“同旁内角互补，两直线平行”的判定定理推导。首先根据已知$CD// BE$，利用平行线的性质得到$∠ ACD$与$∠ B$的等量关系，再结合$∠ ACD+∠ E=180°$等量代换得到$∠ B+∠ E=180°$，即可证明两直线平行。
(2) 求$∠ DFC$的度数时，先根据平角定义求出$∠ BCD$的度数，再利用角平分线的定义求出$∠ BCF$的度数，最后结合第一问得到的$DE// AB$，利用平行线内错角相等的性质即可得出结果。
【解析】
(1) 证明：
$\because CD// BE$（已知）
$\therefore ∠ ACD=∠ B$（两直线平行，同位角相等）
又$\because ∠ ACD+∠ E=180°$（已知）
$\therefore ∠ B+∠ E=180°$（等量代换）
$\therefore DE// AB$（同旁内角互补，两直线平行）
(2) 解：
$\because$点$C$在线段$AB$上，$∠ ACD=62°$
$\therefore ∠ BCD=180°-∠ ACD=180°-62°=118°$（平角的定义）
$\because CF$平分$∠ BCD$（已知）
$\therefore ∠ BCF=\frac{1}{2}∠ BCD=\frac{1}{2}×118°=59°$（角平分线的定义）
由(1)知$DE// AB$
$\therefore ∠ DFC=∠ BCF$（两直线平行，内错角相等）
$\therefore ∠ DFC=59°$
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $∠ DFC=59°$
【知识点】
平行线的判定与性质，角平分线的定义，平角的定义
【点评】
本题是几何基础题，核心考查平行线判定、性质的综合运用，解题时要注意区分平行线的判定和性质的适用场景，结合角平分线、平角的基本定义逐步推导即可，是平行线章节的典型考法。
【难度系数】
0.7
13.（传统文化）阅读题目，完成下面推理过程.
问题：中国汉字博大精深，方块文字智慧灵秀，奥妙无穷，如图①是一个“互”字.如图②是由图①抽象出来的几何图形，其中AB//CD，MG//FN，点E，M，F在同一直线上，点G，N，H在同一直线上，且∠AEF = ∠GHD.
求证：∠EFN = ∠G.
证明：如图，延长EF交CD于点P.
∵ AB//CD(已知)，∴ ∠AEF = ∠EPD(
又∵ ∠AEF = ∠GHD(已知)，∴ ∠EPD =
∴ EP//GH(
∴ ∠EFN +
问题：中国汉字博大精深，方块文字智慧灵秀，奥妙无穷，如图①是一个“互”字.如图②是由图①抽象出来的几何图形，其中AB//CD，MG//FN，点E，M，F在同一直线上，点G，N，H在同一直线上，且∠AEF = ∠GHD.
求证：∠EFN = ∠G.
证明：如图，延长EF交CD于点P.
∵ AB//CD(已知)，∴ ∠AEF = ∠EPD(
两直线平行，内错角相等
①).又∵ ∠AEF = ∠GHD(已知)，∴ ∠EPD =
∠GHD
②(等量代换
③).∴ EP//GH(
同位角相等，两直线平行
④).∴ ∠EFN +
∠FNG
⑤ = 180°(两直线平行，同旁内角互补).答案
13. ①两直线平行，内错角相等 ②$∠ GHD$
③等量代换 ④同位角相等，两直线平行
⑤$∠ FNG$
③等量代换 ④同位角相等，两直线平行
⑤$∠ FNG$
解析
【分析】
这是一道平行线性质与判定的推理填空题，解题时结合已知条件和角的位置关系逐步推导：首先根据已知的平行关系，判断对应角的类型，选择匹配的平行线性质；再通过已知的等角关系做等量替换，得到新的等角；之后判断新等角的类型，选择对应的平行线判定定理得到新的平行关系；最后根据平行的性质，找到对应同旁内角即可完成填空。
【解析】
① 已知$AB// CD$，$∠AEF$和$∠EPD$是直线$AB$、$CD$被直线$EP$所截形成的内错角，根据平行线的性质可得$∠ AEF=∠ EPD$，因此①填两直线平行，内错角相等；
② 已知$∠ AEF=∠ GHD$，结合上一步$∠ AEF=∠ EPD$的结论，通过等量替换可推出$∠ EPD=∠ GHD$，因此②填$∠ GHD$，③填等量代换；
③ $∠ EPD$和$∠ GHD$是直线$EP$、$GH$被直线$CD$所截形成的同位角，同位角相等可推出两直线平行，因此④填同位角相等，两直线平行，得到$EP// GH$；
④ 当$EP// GH$时，直线$FN$截$EP$、$GH$，$∠EFN$和$∠FNG$是同旁内角，根据“两直线平行，同旁内角互补”可得$∠ EFN+∠ FNG=180°$，因此⑤填$∠ FNG$。
【答案】
①两直线平行，内错角相等 ②$\boldsymbol{∠ GHD}$
③等量代换 ④同位角相等，两直线平行
⑤$\boldsymbol{∠ FNG}$
【知识点】
平行线的性质；平行线的判定；等量代换
【点评】
本题结合传统汉字文化设置问题，考查平行线性质与判定的基础应用，解题时需要准确区分平行线性质和判定的使用条件，理清角的位置关系，是锻炼几何基础推理能力的典型题型。
【难度系数】
0.85
这是一道平行线性质与判定的推理填空题，解题时结合已知条件和角的位置关系逐步推导：首先根据已知的平行关系，判断对应角的类型，选择匹配的平行线性质；再通过已知的等角关系做等量替换，得到新的等角；之后判断新等角的类型，选择对应的平行线判定定理得到新的平行关系；最后根据平行的性质，找到对应同旁内角即可完成填空。
【解析】
① 已知$AB// CD$，$∠AEF$和$∠EPD$是直线$AB$、$CD$被直线$EP$所截形成的内错角，根据平行线的性质可得$∠ AEF=∠ EPD$，因此①填两直线平行，内错角相等；
② 已知$∠ AEF=∠ GHD$，结合上一步$∠ AEF=∠ EPD$的结论，通过等量替换可推出$∠ EPD=∠ GHD$，因此②填$∠ GHD$，③填等量代换；
③ $∠ EPD$和$∠ GHD$是直线$EP$、$GH$被直线$CD$所截形成的同位角，同位角相等可推出两直线平行，因此④填同位角相等，两直线平行，得到$EP// GH$；
④ 当$EP// GH$时，直线$FN$截$EP$、$GH$，$∠EFN$和$∠FNG$是同旁内角，根据“两直线平行，同旁内角互补”可得$∠ EFN+∠ FNG=180°$，因此⑤填$∠ FNG$。
【答案】
①两直线平行，内错角相等 ②$\boldsymbol{∠ GHD}$
③等量代换 ④同位角相等，两直线平行
⑤$\boldsymbol{∠ FNG}$
【知识点】
平行线的性质；平行线的判定；等量代换
【点评】
本题结合传统汉字文化设置问题，考查平行线性质与判定的基础应用，解题时需要准确区分平行线性质和判定的使用条件，理清角的位置关系，是锻炼几何基础推理能力的典型题型。
【难度系数】
0.85
