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假日数学 七年级 暑假（RJ）
BE，∠BEF=130°，∠DCF=120°，则∠EFC的度数为（
A.100°
B.110°
C.120°
D.135°
BE，∠BEF=130°，∠DCF=120°，则∠EFC的度数为（
A
）A.100°
B.110°
C.120°
D.135°
答案
5.A
解析
【分析】
本题属于平行线间折线角度计算的典型题型，解题核心是用“拐点辅助线法”：过折线的拐点作已知平行线的平行线，把未知角拆分成能通过平行线性质计算的小角，再结合已知角度逐步推导即可。首先回忆平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补、内错角相等，我们可以过E、F两个拐点分别作AB的平行线，利用平行的传递性得到四条线互相平行，再拆分角度计算。
【解析】
由题可知隐含条件为$AB// CD$，解题步骤如下：
1. 过点E作$EM// AB$，过点F作$FN// AB$
2. 因为$AB// CD$，根据平行的传递性可得：$AB// EM// FN// CD$
3. 因为$FN// CD$，两直线平行同旁内角互补，所以$∠ DCF + ∠ CFN = 180°$，已知$∠ DCF=120°$，代入得$∠ CFN=180°-120°=60°$
4. 因为$EM// AB$，结合$∠ BEF=130°$，通过平行线内错角、同旁内角性质推导可得$∠ EFN=40°$
5. 所以$∠ EFC=∠ EFN+∠ CFN=40°+60°=100°$
【答案】
A
【知识点】
平行线的性质；辅助线构造；角度计算
【点评】
本题是平行线角度计算的经典基础题，重点考察拐点作辅助线的方法，掌握该技巧后可以快速转化角度关系，解决同类型折线角度问题。
【难度系数】
0.7
本题属于平行线间折线角度计算的典型题型，解题核心是用“拐点辅助线法”：过折线的拐点作已知平行线的平行线，把未知角拆分成能通过平行线性质计算的小角，再结合已知角度逐步推导即可。首先回忆平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补、内错角相等，我们可以过E、F两个拐点分别作AB的平行线，利用平行的传递性得到四条线互相平行，再拆分角度计算。
【解析】
由题可知隐含条件为$AB// CD$，解题步骤如下：
1. 过点E作$EM// AB$，过点F作$FN// AB$
2. 因为$AB// CD$，根据平行的传递性可得：$AB// EM// FN// CD$
3. 因为$FN// CD$，两直线平行同旁内角互补，所以$∠ DCF + ∠ CFN = 180°$，已知$∠ DCF=120°$，代入得$∠ CFN=180°-120°=60°$
4. 因为$EM// AB$，结合$∠ BEF=130°$，通过平行线内错角、同旁内角性质推导可得$∠ EFN=40°$
5. 所以$∠ EFC=∠ EFN+∠ CFN=40°+60°=100°$
【答案】
A
【知识点】
平行线的性质；辅助线构造；角度计算
【点评】
本题是平行线角度计算的经典基础题，重点考察拐点作辅助线的方法，掌握该技巧后可以快速转化角度关系，解决同类型折线角度问题。
【难度系数】
0.7
6. 如图，把一块含有$30°$角的直角三角板$BEF(∠ EBF=90°)$放在长方形纸片$ABCD$上，点$E$落在$AD$边上，若$∠ DEF=105°$，则$∠ CBE=$
45
$°$.答案
6.45
解析
【分析】
解题思路如下：第一步先明确直角三角板的角度特征，含30°角的直角三角板中，除直角外的两个锐角分别为30°和60°，本题中∠BEF=30°；第二步利用平角为180°的性质，结合已知的∠DEF，求出∠AEB的度数；第三步根据长方形对边平行的性质，利用平行线内错角相等的结论，即可得到∠CBE的度数。
【解析】
解：
∵ 三角板BEF是含30°角的直角三角板，且∠EBF=90°，
∴ ∠BEF=30°，
∵ 点E在AD边上，AD为直线，平角为180°，
∴ ∠AEB + ∠BEF + ∠DEF = 180°，
将∠DEF=105°代入得：
∠AEB = 180° - 30° - 105° = 45°，
又
∵ 四边形ABCD是长方形，
∴ AD//BC，根据两直线平行，内错角相等可得：
∠CBE = ∠AEB = 45°。
【答案】
45
【知识点】
平行线的性质，平角的定义，长方形的性质
【点评】
本题结合常见的直角三角板和长方形考查角度计算，解题的关键是熟练掌握平行线的性质和特殊几何图形的角度特征，属于基础类的角度运算题。
【难度系数】
0.75
解题思路如下：第一步先明确直角三角板的角度特征，含30°角的直角三角板中，除直角外的两个锐角分别为30°和60°，本题中∠BEF=30°；第二步利用平角为180°的性质，结合已知的∠DEF，求出∠AEB的度数；第三步根据长方形对边平行的性质，利用平行线内错角相等的结论，即可得到∠CBE的度数。
【解析】
解：
∵ 三角板BEF是含30°角的直角三角板，且∠EBF=90°，
∴ ∠BEF=30°，
∵ 点E在AD边上，AD为直线，平角为180°，
∴ ∠AEB + ∠BEF + ∠DEF = 180°，
将∠DEF=105°代入得：
∠AEB = 180° - 30° - 105° = 45°，
又
∵ 四边形ABCD是长方形，
∴ AD//BC，根据两直线平行，内错角相等可得：
∠CBE = ∠AEB = 45°。
【答案】
45
【知识点】
平行线的性质，平角的定义，长方形的性质
【点评】
本题结合常见的直角三角板和长方形考查角度计算，解题的关键是熟练掌握平行线的性质和特殊几何图形的角度特征，属于基础类的角度运算题。
【难度系数】
0.75
7. 如图是吉林白城风电基地发电机的模型示意图，当一片风叶OA所在直线旋转到与地面MN平行时，风叶OB和OC所在直线与地面
不平行
（填“平行”或“不平行”），理由是过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
。答案
7. 不平行 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
解析
【分析】
解题时首先观察图形特征，三片风叶OA、OB、OC共同交于点O，且点O在地面MN所在直线的外侧。我们可以结合学过的平行公理思考：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。当OA旋转到与MN平行时，OA就是过O点且平行于MN的唯一一条直线，因此其余过O点的OB、OC不可能再和MN平行。
【解析】
由图可知风叶OA、OB、OC相交于同一点O，点O是地面MN外的一点。根据平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行。当OA所在直线与地面MN平行时，过O点不存在其他与MN平行的直线，因此OB和OC所在直线与地面不平行。
【答案】
不平行；过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
【知识点】
平行公理
【点评】
本题结合生活中的风力发电机模型考查平行公理的实际应用，解题关键是明确公共交点O与地面直线MN的位置关系，再结合平行公理即可快速判断，体现了数学知识在实际生活中的应用价值。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察图形特征，三片风叶OA、OB、OC共同交于点O，且点O在地面MN所在直线的外侧。我们可以结合学过的平行公理思考：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。当OA旋转到与MN平行时，OA就是过O点且平行于MN的唯一一条直线，因此其余过O点的OB、OC不可能再和MN平行。
【解析】
由图可知风叶OA、OB、OC相交于同一点O，点O是地面MN外的一点。根据平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行。当OA所在直线与地面MN平行时，过O点不存在其他与MN平行的直线，因此OB和OC所在直线与地面不平行。
【答案】
不平行；过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
【知识点】
平行公理
【点评】
本题结合生活中的风力发电机模型考查平行公理的实际应用，解题关键是明确公共交点O与地面直线MN的位置关系，再结合平行公理即可快速判断，体现了数学知识在实际生活中的应用价值。
【难度系数】
0.8
8. 如图，$∠ B + ∠ DCB = 180°$，AC平分$∠ BAD$. 若$∠ DCA = 35°$，则$∠ D$的度数为
（第8题）
110
°.（第8题）答案
8.110
解析
【分析】
解题时先从已知的角度和条件出发：首先由∠B + ∠DCB = 180°，根据同旁内角互补可判定AB和CD平行；再利用平行线的内错角相等得到∠CAB的度数，结合AC是角平分线的条件求出∠BAD的度数；最后根据平行线的同旁内角互补，就能计算出∠D的度数。
【解析】
解：
∵ ∠B + ∠DCB = 180°，
∴ AB//CD（同旁内角互补，两直线平行），
∴ ∠CAB = ∠DCA = 35°（两直线平行，内错角相等）。
∵ AC平分∠BAD，
∴ ∠BAD = 2∠CAB = 2×35° = 70°（角平分线的定义）。
又
∵ AB//CD，
∴ ∠D + ∠BAD = 180°（两直线平行，同旁内角互补），
∴ ∠D = 180° - 70° = 110°。
【答案】
110
【知识点】
平行线的判定，平行线的性质，角平分线的定义
【点评】
本题是几何基础计算题，解题核心是先判定两直线平行，再结合平行线的性质和角平分线的定义逐步推导角度，解题时要注意平行线的判定和性质不要混淆。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知的角度和条件出发：首先由∠B + ∠DCB = 180°，根据同旁内角互补可判定AB和CD平行；再利用平行线的内错角相等得到∠CAB的度数，结合AC是角平分线的条件求出∠BAD的度数；最后根据平行线的同旁内角互补，就能计算出∠D的度数。
【解析】
解：
∵ ∠B + ∠DCB = 180°，
∴ AB//CD（同旁内角互补，两直线平行），
∴ ∠CAB = ∠DCA = 35°（两直线平行，内错角相等）。
∵ AC平分∠BAD，
∴ ∠BAD = 2∠CAB = 2×35° = 70°（角平分线的定义）。
又
∵ AB//CD，
∴ ∠D + ∠BAD = 180°（两直线平行，同旁内角互补），
∴ ∠D = 180° - 70° = 110°。
【答案】
110
【知识点】
平行线的判定，平行线的性质，角平分线的定义
【点评】
本题是几何基础计算题，解题核心是先判定两直线平行，再结合平行线的性质和角平分线的定义逐步推导角度，解题时要注意平行线的判定和性质不要混淆。
【难度系数】
0.7
9. (跨学科·物理)一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力$ G $的方向竖直向下，支持力$ F_1 $的方向与斜面垂直，摩擦力$ F_2 $的方向与斜面平行. 若斜面的坡角$ α = 25° $，则摩擦力$ F_2 $与重力$ G $方向的夹角$ β = $
115°
.答案
9.115°
解析
【分析】
解题时首先明确各力的方向特征：$F_2$与斜面平行、$G$竖直向下与水平面垂直、斜面与水平面的夹角$α=25°$。先根据平行线的性质得到$F_2$与水平面的夹角等于$α$，再结合竖直方向与水平面垂直的特点，将两个角度相加即可得到$β$的大小。
【解析】
已知斜面的坡角$α=25°$，即斜面与水平面的夹角为$25°$。
因为摩擦力$F_2$的方向与斜面平行，所以$F_2$与水平面的夹角等于$α=25°$；
又因为重力$G$的方向竖直向下，与水平面垂直，即$G$和水平面的夹角为$90°$；
观察$F_2$和$G$的位置可知，二者的夹角$β$为上述两个角度之和，即：
$β = 25° + 90° = 115°$
【答案】
$115°$
【知识点】
平行线的性质，角度计算，垂直的定义
【点评】
本题结合物理受力分析场景考查几何角度的计算，解题的关键是准确梳理各力的方向和线与线之间的平行、垂直关系，再结合已知角度推导未知角即可。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确各力的方向特征：$F_2$与斜面平行、$G$竖直向下与水平面垂直、斜面与水平面的夹角$α=25°$。先根据平行线的性质得到$F_2$与水平面的夹角等于$α$，再结合竖直方向与水平面垂直的特点，将两个角度相加即可得到$β$的大小。
【解析】
已知斜面的坡角$α=25°$，即斜面与水平面的夹角为$25°$。
因为摩擦力$F_2$的方向与斜面平行，所以$F_2$与水平面的夹角等于$α=25°$；
又因为重力$G$的方向竖直向下，与水平面垂直，即$G$和水平面的夹角为$90°$；
观察$F_2$和$G$的位置可知，二者的夹角$β$为上述两个角度之和，即：
$β = 25° + 90° = 115°$
【答案】
$115°$
【知识点】
平行线的性质，角度计算，垂直的定义
【点评】
本题结合物理受力分析场景考查几何角度的计算，解题的关键是准确梳理各力的方向和线与线之间的平行、垂直关系，再结合已知角度推导未知角即可。
【难度系数】
0.7
10. 如图，已知∠AGF = ∠ABC，BF // ED，∠2 = 135°，BF ⊥ AC，则∠AFG =
45
°。答案
10.45
解析
【分析】
解题时可按照“判定平行线→利用平行线性质求角→结合垂直定义计算”的思路推导：首先观察到∠AGF和∠ABC是同位角，二者相等可判定FG//BC，得到内错角∠GFB=∠FBC；再根据ED//BF，利用两直线平行同旁内角互补，结合已知∠2的度数求出∠FBC的度数，进而得到∠GFB的度数；最后根据BF垂直AC得到∠AFB为90°，用∠AFB减去∠GFB即可求出∠AFG的度数。
【解析】
解：
∵∠AGF = ∠ABC（已知）
∴FG//BC（同位角相等，两直线平行）
∴∠GFB = ∠FBC（两直线平行，内错角相等）
∵BF//ED（已知）
∴∠2 + ∠FBC = 180°（两直线平行，同旁内角互补）
又
∵∠2 = 135°（已知）
∴∠FBC = 180° - 135° = 45°
∴∠GFB = 45°（等量代换）
∵BF⊥AC（已知）
∴∠AFB = 90°（垂直的定义）
∴∠AFG = ∠AFB - ∠GFB = 90° - 45° = 45°
【答案】
45
【知识点】
平行线的判定；平行线的性质；垂直的定义
【点评】
本题属于基础几何计算题，综合考查了平行线的判定定理和性质定理的应用，解题的关键是找准角的位置关系，结合已知条件逐步推导，熟练掌握平行线的相关性质是解决这类题的基础。
【难度系数】
0.7
解题时可按照“判定平行线→利用平行线性质求角→结合垂直定义计算”的思路推导：首先观察到∠AGF和∠ABC是同位角，二者相等可判定FG//BC，得到内错角∠GFB=∠FBC；再根据ED//BF，利用两直线平行同旁内角互补，结合已知∠2的度数求出∠FBC的度数，进而得到∠GFB的度数；最后根据BF垂直AC得到∠AFB为90°，用∠AFB减去∠GFB即可求出∠AFG的度数。
【解析】
解：
∵∠AGF = ∠ABC（已知）
∴FG//BC（同位角相等，两直线平行）
∴∠GFB = ∠FBC（两直线平行，内错角相等）
∵BF//ED（已知）
∴∠2 + ∠FBC = 180°（两直线平行，同旁内角互补）
又
∵∠2 = 135°（已知）
∴∠FBC = 180° - 135° = 45°
∴∠GFB = 45°（等量代换）
∵BF⊥AC（已知）
∴∠AFB = 90°（垂直的定义）
∴∠AFG = ∠AFB - ∠GFB = 90° - 45° = 45°
【答案】
45
【知识点】
平行线的判定；平行线的性质；垂直的定义
【点评】
本题属于基础几何计算题，综合考查了平行线的判定定理和性质定理的应用，解题的关键是找准角的位置关系，结合已知条件逐步推导，熟练掌握平行线的相关性质是解决这类题的基础。
【难度系数】
0.7
