17. 探究问题：已知$∠ ABC$，画一个角$∠ DEF$，使$DE// AB$，$EF// BC$，且$DE$交$BC$于点$P$. $∠ ABC$与$∠ DEF$有怎样的数量关系？
(1)我们发现$∠ ABC$与$∠ DEF$有两种位置关系：如图①与图②所示.
i. 图①中$∠ ABC$与$∠ DEF$数量关系为；图②中$∠ ABC$与$∠ DEF$数量关系为；因此得出一个真命题(用文字叙述)：；
ii. 请选择其中一幅图证明结论.
(2)根据i所得的结论，解决以下问题：若两个角的两边互相平行，且一个角比另一个角的2倍少$30°$，请直接写出这两个角的度数.

17. (1)ⅰ. $ ∠ ABC $与$ ∠ DEF $互补
$ ∠ ABC = ∠ DEF $ 如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补
ⅱ. 题图①中，$ DE// AB $，$ EF// BC $，
$\therefore ∠ ABC = ∠ BPE $，$ ∠ DEF + ∠ BPE = 180° $.
$\therefore ∠ ABC + ∠ DEF = 180° $.
$\therefore ∠ ABC $与$ ∠ DEF $互补.
(2)$ 30° $，$ 30° $或$ 70° $，$ 110° $.

【分析】
解决本题分两步：第一步探究两角的数量关系，利用平行线的性质，找到中间角作为桥梁，分别建立∠ABC、∠DEF和中间角的关系，即可推导两者的数量关系，再总结出通用结论；第二步应用结论解题，因为两边平行的两个角要么相等要么互补，所以分两种情况列一元一次方程求解，注意不要漏解。
【解析】
(1)i. 结合图形和平行线性质推导：
图①中∠ABC与∠DEF互补，即$\boldsymbol{∠ABC + ∠DEF = 180°}$；
图②中$\boldsymbol{∠ABC = ∠DEF}$；
总结真命题：如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补。
ii. 选择图①证明：
∵ $DE//AB$（已知），
∴ $∠ABC = ∠BPE$（两直线平行，同位角相等），
∵ $EF//BC$（已知），
∴ $∠DEF + ∠BPE = 180°$（两直线平行，同旁内角互补），
∴ $∠ABC + ∠DEF = 180°$（等量代换），即∠ABC与∠DEF互补。
(若选择图②证明：
∵ $DE//AB$（已知），
∴ $∠ABC = ∠DPC$（两直线平行，同位角相等），
∵ $EF//BC$（已知），
∴ $∠DEF = ∠DPC$（两直线平行，同位角相等），
∴ $∠ABC = ∠DEF$（等量代换）。)
(2)设其中一个角的度数为$x$，则另一个角的度数为$2x-30°$，根据上述结论分两种情况：
① 两角相等时：
$x = 2x - 30°$，
解得$x=30°$，另一个角为$2×30°-30°=30°$；
② 两角互补时：
$x + (2x - 30°) = 180°$，
$3x = 210°$，
解得$x=70°$，另一个角为$2×70°-30°=110°$。
【答案】
(1)i. $∠ABC + ∠DEF = 180°$（或互补）；$∠ABC = ∠DEF$；如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补
ii. 证明见上述解析（任选一幅图即可）
(2)$30°$，$30°$或$70°$，$110°$
【知识点】
平行线的性质；分类讨论思想；一元一次方程的应用
【点评】
本题属于几何探究类题型，先通过观察推导得出通用结论，再应用结论解决计算问题，重点考察对平行线性质的掌握程度，以及分类讨论的数学思维，解题时注意不要遗漏两角互补的情况。
【难度系数】
0.7