6.如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,点E是CD的中点,连接OE.若BC=6,则OE的长为 ()

A.2
B.3
C.4
D.5

6.B

【分析】
解题时首先回忆平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分，由此可得出点O是BD的中点；再结合已知E是CD的中点，可知OE是△BCD的中位线，最后根据三角形中位线定理即可求出OE的长度。
【解析】
∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O
∴OB=OD，即O是BD的中点
又
∵E是CD的中点
∴OE是△BCD的中位线
根据三角形中位线定理：三角形的中位线等于第三边的一半，可得
OE = $\frac{1}{2}$BC
已知BC=6，代入得OE = $\frac{1}{2}$×6 = 3
故选B。
【答案】
B
【知识点】
平行四边形的性质；三角形中位线定理
【点评】
本题是基础几何应用题，解题的关键是结合平行四边形的性质判断出中位线，熟练掌握相关性质和定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8

7.如图，在$□ ABCD$中，$∠ ADC=119°$，$BE⊥ DC$于点$E$，$DF⊥ BC$于点$F$，$BE$与$DF$交于点$H$，则$∠ BHF=$.

7.$61°$

【分析】
解题时首先结合平行四边形的性质推导未知角与已知角的关系，先利用平行四边形邻角互补求出∠C的度数；再根据BE⊥DC、DF⊥BC得到两个直角，结合四边形内角和求出∠EHF的度数；最后利用邻补角的性质即可求出∠BHF的度数，也可通过直角三角形内角和结合对顶角相等求解，核心是找到角度之间的转化关系。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴∠ADC + ∠C = 180°（平行四边形邻角互补）
∵∠ADC=119°
∴∠C = 180° - 119° = 61°
∵BE⊥DC，DF⊥BC
∴∠CEH = 90°，∠CFH = 90°
∵四边形CEHF的内角和为360°
∴∠EHF = 360° - ∠CEH - ∠CFH - ∠C = 360° - 90° - 90° - 61° = 119°
又
∵∠EHF + ∠BHF = 180°（邻补角和为180°）
∴∠BHF = 180° - 119° = 61°
【答案】
61°
【知识点】
平行四边形的性质；垂直的定义；多边形内角和
【点评】
本题是基础的角度计算题，解题的关键是熟练掌握平行四边形的角的性质，结合垂直的特征灵活运用内角和定理完成角度转化。
【难度系数】
0.7

8.如图，在$△ ABC$中，点$M$，$N$分别是$AB$和$AC$的中点，连接$MN$，点$E$是$CN$的中点，连接$ME$并延长，交$BC$的延长线于点$D$.若$BC＝4$，则$CD$的长为.

8.2

【分析】
解题时首先从已知的中点条件入手：M、N是AB、AC中点，可优先考虑三角形中位线定理，得到MN与BC的平行关系及长度关系；再结合E是CN中点的条件，利用平行线得到的内错角相等，证明△MNE与△DCE全等，即可将CD的长度转化为MN的长度，最终求出结果。
【解析】
∵ 点M，N分别是AB和AC的中点，
∴ MN是△ABC的中位线，
根据三角形中位线定理可得：$MN// BC$，且$MN=\frac{1}{2}BC$，
已知$BC=4$，代入得$MN=\frac{1}{2}×4=2$。
∵ $MN// BD$（BD是BC的延长线），
∴ $∠ NME=∠ D$，$∠ MNE=∠ DCE$（两直线平行，内错角相等）。
∵ 点E是CN的中点，
∴ $NE=CE$。
在$△ MNE$和$△ DCE$中：
$\begin{cases}∠ NME=∠ D \\∠ MNE=∠ DCE \\NE=CE\end{cases}$
∴ $△ MNE≌△ DCE$（AAS），
∴ $CD=MN=2$。
【答案】
2
【知识点】
三角形中位线定理；全等三角形的判定；全等三角形的性质
【点评】
本题是几何基础题型，核心是通过中位线得到平行关系，进而构造全等三角形实现线段的等量转化，解题思路清晰，是三角形章节的典型考题。
【难度系数】
0.7

9.如图，在$□ ABCD$中，$AE ⊥ BD$，$CF ⊥ BD$，垂足分别为点$E,F$。求证：$DE=BF$。

9. 证明:$\because$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形,$\therefore AD=CB,AD// BC$.
$\therefore∠ ADE=∠ CBF$.
$\because AE⊥ BD,CF⊥ BD$,
$\therefore∠ AED=∠ CFB=90°$.
在$△ ADE$ 和 $△ CBF$ 中,
$\begin{cases}∠ AED=∠ CFB,\\∠ ADE=∠ CBF,\\AD=CB,\end{cases}$
$\therefore△ ADE≌△ CBF(\mathrm{AAS})$.
$\therefore DE=BF$.

【分析】
要证明$DE=BF$，可通过证明两条线段所在的三角形全等来推导。首先结合平行四边形的性质，能得到对边的数量、位置关系，进而推出一组内错角相等；再结合垂直的条件得到一组直角相等，此时即可通过AAS判定$△ ADE$和$△ CBF$全等，最后根据全等三角形对应边相等就能得到待证结论。
【解析】
证明:$\because$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形,$\therefore AD=CB,AD// BC$.
$\therefore∠ ADE=∠ CBF$.
$\because AE⊥ BD,CF⊥ BD$,
$\therefore∠ AED=∠ CFB=90°$.
在$△ ADE$ 和 $△ CBF$ 中,
$\begin{cases}∠ AED=∠ CFB,\\∠ ADE=∠ CBF,\\AD=CB,\end{cases}$
$\therefore△ ADE≌△ CBF(\mathrm{AAS})$.
$\therefore DE=BF$.
【答案】
$DE=BF$
【知识点】
平行四边形的性质、全等三角形的判定、全等三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，核心是利用平行四边形性质找到全等三角形的判定条件，熟练掌握相关定理就能快速解题。
【难度系数】
0.85

10.如图，在$□ ABCD$中，点$E$，$F$分别在$AD$，$BC$上，且$∠ AEB = ∠ CFD$。求证：四边形$BFDE$是平行四边形。

10. 证明:$\because$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形, $\therefore∠ A=∠ C,AB=CD$,
$AD// BC,AD=BC$.
在$△ ABE$ 和 $△ CDF$ 中,
$\begin{cases}∠ AEB=∠ CFD,\\∠ A=∠ C,\\AB=CD,\end{cases}$
$\therefore△ ABE≌△ CDF(\mathrm{AAS})$.
$\therefore AE=CF$.
$\therefore AD-AE=BC-CF$,
即 $DE=BF$.
$\therefore$ 四边形 $BFDE$ 是平行四边形.

【分析】要证明四边形BFDE是平行四边形，可结合已知条件选择判定方法。首先由平行四边形ABCD的性质可得AD//BC，即DE和BF已经满足平行关系，因此只需再证明DE=BF，即可用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”完成证明。要得到DE=BF，可先证△ABE≌△CDF，结合题中给出的∠AEB=∠CFD，以及平行四边形对角相等、对边相等的性质，用AAS证明两三角形全等得到AE=CF，再结合AD=BC作差即可得到DE=BF。
【解析】
证明:$\because$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形, $\therefore∠ A=∠ C,AB=CD$,$AD// BC,AD=BC$.
在$△ ABE$ 和 $△ CDF$ 中,
$\begin{cases}∠ AEB=∠ CFD,\\∠ A=∠ C,\\AB=CD,\end{cases}$
$\therefore△ ABE≌△ CDF(\mathrm{AAS})$.
$\therefore AE=CF$.
$\therefore AD-AE=BC-CF$,
即 $DE=BF$.
$\therefore$ 四边形 $BFDE$ 是平行四边形.
【答案】
证明:$\because$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形, $\therefore∠ A=∠ C,AB=CD$,$AD// BC,AD=BC$.
在$△ ABE$ 和 $△ CDF$ 中,
$\begin{cases}∠ AEB=∠ CFD,\\∠ A=∠ C,\\AB=CD,\end{cases}$
$\therefore△ ABE≌△ CDF(\mathrm{AAS})$.
$\therefore AE=CF$.
$\therefore AD-AE=BC-CF$,
即 $DE=BF$.
$\therefore$ 四边形 $BFDE$ 是平行四边形.
【知识点】
平行四边形的性质；全等三角形的判定；平行四边形的判定
【点评】
本题是平行四边形相关的基础证明题，注重考查基础知识点的综合运用，解题关键是通过证明三角形全等得到对应边相等，再结合平行四边形的判定定理完成推导。
【难度系数】
0.8